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圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含
解析：选D 因为r1＝1，r2＝8，|O1O2|＝＝6，则|O1O2|＜r2－r1.所以两圆内含．
2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A.
B．
C.
D．5
解析：选B 由题意，知2r＝
＝，r＝.
3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
解析：选C 圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，
O1(3，－8)，r＝11，
圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，
∴|O1O2|＝
＝13，
∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，
∴两圆相交．∴公切线有2条．
4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
解析：选C AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D．
5．台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，城市B在A地正东40
km处，则城市B处于危险区内的时间为( )
A．0.5
h
B．1
h
C．1.5
h
D．2
h
解析：选B 如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，可求得|MN|＝20，∴时间为1
h.
6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
解析：由题意可得两圆圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1，因为两圆相离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
答案：a2＋b2>3＋2
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝，又a>0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝
＝1?a＝1.
答案：1
8．已知圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最小值是________．
解析：将圆C的方程化为标准方程，得(x－4)2＋y2＝1，故圆心为C(4,0)，半径r＝1.又直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，所以点C到直线y＝kx＋2的距离小于或等于2，即≤2，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值是－.
答案：－
9．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解：圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知解得
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；
(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当m＝1时，圆C1的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C1(1，－2)，半径长为r1＝3，
圆C2的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆心为C2(－1,0)，半径长为r2＝1，
两圆的圆心距d＝
＝2，
又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，
所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．
(2)不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．理由如下：
圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆心C1的坐标为(m，－2)，半径为3.
假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，
则圆心距d＝＜3－1，
即(m＋1)2＜0，此不等式无解．
故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．
层级二 应试能力达标
1．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r<＋1
B．r>＋1
C．|r－|<1
D．|r－|≤1
解析：选D 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为＝.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤≤r＋1，∴－1≤r≤＋1，即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
2．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )
A．5
B．7
C．9
D．11
解析：选C 由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.
3．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8
B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8
D．E＝4，F＝8
解析：选C 由题意联立两圆方程得4x＋Ey－4－F＝0，
则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C.
4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5
B．1
C．3－5
D．3＋5
解析：选C 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
5．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
解析：连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝2，
∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，
∴|AB|＝4.
答案：4
6．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．
解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0
7．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
8．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路
km和2
km，且A，B景点间相距2
km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x轴，B点在y轴正半轴上建立平面直角坐标系．
由题意，得A(，)，B(0,2)，
设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2，由A，B两点在圆上，
得
或
由实际意义知a＝0，b＝，
∴圆的方程为x2＋(y－)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在B景点在小路的投影处．
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圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相交
C．相切
D．内含
2．两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则正实数r的值是( )
A.
B．
C.
D．5
3．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为( )
A．4条
B．3条
C．2条
D．1条
4．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
5．台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，城市B在A地正东40
km处，则城市B处于危险区内的时间为( )
A．0.5
h
B．1
h
C．1.5
h
D．2
h
6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
8．已知圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的最小值是________．
9．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
10．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
(1)当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；
(2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
层级二 应试能力达标
1．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r<＋1
B．r>＋1
C．|r－|<1
D．|r－|≤1
2．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是( )
A．5
B．7
C．9
D．11
3．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8
B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8
D．E＝4，F＝8
4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5
B．1
C．3－5
D．3＋5
5．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．
6．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是________．
7．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
8．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路
km和2
km，且A，B景点间相距2
km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？
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