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高二年级
数学
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；
从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路.
问：从甲地到丁地有多少种走法？
情境引入
甲
丙
乙
丁
探究一 分类加法计数原理
问题1
用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同
的号码？
探究一 分类加法计数原理
问题1
用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同
的号码？
分析:
因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共
有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的
号码.
探究一 分类加法计数原理
问题1
用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同
的号码？
问题2
问题1中最重要的特征是什么？
探究一 分类加法计数原理
问题1
用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯
数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同
的号码？
问题2
问题1中最重要的特征是什么？
分析：最重要的特征是可以按两类不同的方式编号.
例
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.
一天中，火车有4班，
探究一 分类加法计数原理
例
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.
一天中，火车有4班，汽车有2班
探究一 分类加法计数原理
一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少
种不同走法?
探究一 分类加法计数原理
分析:从甲地到乙地有两类方法.
第一类：乘火车，有4种方法；
第二类：乘汽车，有2种方法.
结论
将每一类的放法
数相加得出结果
探究一 分类加法计数原理
分析:从甲地到乙地有两类方法.
第一类：乘火车，有4种方法；
第二类：乘汽车，有2种方法.
结论
将每一类的放法
数相加得出结果
探究一 分类加法计数原理
共有：4
+
2
=
6（种）方法.
探究一 分类加法计数原理
问题3
你能由前两个例子归纳出一般结论吗？
探究一 分类加法计数原理
问题3
你能由前两个例子归纳出一般结论吗？
分析：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
探究一 分类加法计数原理
问题4
“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？
探究一 分类加法计数原理
问题4
“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？
分析：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”.
探究一 分类加法计数原理
问题5
如果完成一件事不只有两类“不同方案”，
每一类方案中还有多种方法，那该如何计数呢？
分类加法计数原理
完成一件事，有n类不同方案.在第1类方案中有
种不同的方法，在第2类方案中有
种不同的方法，……，在第n类方案中有
种不同的方法,则完成这件事共有
种不同的方法.
分类加法计数原理特点
分类加法计数原理特点
（1）各类方案之间相互独立,都能独立的完成这件事；
分类加法计数原理特点
（2）先要根据具体的问题确定一个分类标准.
（1）各类方案之间相互独立,都能独立的完成这件事；
探究二 分步乘法计数原理
问题1
用A-F六个大写英文字母和1～9九个阿
拉伯数字，以A1
，A2，…，B1，B2，…
的方式给
教室里座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
探究二 分步乘法计数原理
分析:编写一个号码先确定一个英文字母，后确
定一个阿拉伯数字.
探究二 分步乘法计数原理
分析:编写一个号码先确定一个英文字母，后确
定一个阿拉伯数字.
探究二 分步乘法计数原理
分析:由于A-F六个大写英文字母中
的任意一个都能与9个数字中的任何一
个组成一个号码，而且它们各不相同.
共有6×9＝54(个)不同的号码.
例
某班有男生14名，女生16名.要从中选出男、
女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的
选法？
探究二 分步乘法计数原理
分析:
第一步，从14名男生中选出1人，有14
种不同选择；第二步，从16名女生中选出1人，有
16种不同选择.
探究二 分步乘法计数原理
分析:
第一步，从14名男生中选出1人，有14
种不同选择；第二步，从16名女生中选出1人，有
16种不同选择.
共有14×16＝224种不同的方法.
探究二 分步乘法计数原理
探究二 分步乘法计数原理
问题2
你能由前面两个例子归纳出一般结论吗？
探究二 分步乘法计数原理
问题2
你能由前面两个例子归纳出一般结论吗？
分析：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
探究二 分步乘法计数原理
问题3
“分步方法”与“完成这件事”有什么关系？
探究二 分步乘法计数原理
问题3
“分步方法”与“完成这件事”有什么关系？
分析：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存.
探究二 分步乘法计数原理
问题4
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步
有
种不同的方法，做第2步有
种不同的方法，做
第3步有
种不同的方法，那么完成这件事共有多少
种不同的方法？
探究二 分步乘法计数原理
问题4
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步
有
种不同的方法，做第2步有
种不同的方法，做
第3步有
种不同的方法，那么完成这件事共有多少
种不同的方法？
探究二 分步乘法计数原理
问题5
如果完成一件事需要
个步骤，做每
一步都有若干种不同的方法，那么如何计数呢？
分步乘法计数原理
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有
种不同的方法，做第2步有
种不同的方法，……，做第n步有
种不同的方法，则完成这件事共有
种不同的方法.
分步乘法计数原理特点
分步乘法计数原理特点
（1）各步骤相互依存,
每步都完成才算完成此事.
分步乘法计数原理特点
（1）各步骤相互依存,
每步都完成才算完成此事；
（2）确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.
思考
思考
：你能总结出分类加法计数原理和分步
乘法计数原理的区别与联系吗？
思考
相同点：都是回答完成一件事的不同方法种数.
思考
不同点：分类加法计数原理针对
“分类”问题，
各类方案相互独立，方案中各种方法相互独立，任何
一类中的任何一种方法都能单独完成这件事；
思考
不同点：分类加法计数原理针对
“分类”问题，
各类方案相互独立，方案中各种方法相互独立，任何
一类中的任何一种方法都能单独完成这件事；
分步乘法计数原理针对
“分步”问题，各个步骤
相互依存，各个步骤都完成才算完成这件事.
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
探究三 两个计数原理综合应用
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.
(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
探究三 两个计数原理综合应用
解：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水粉画中选，有4种不同的选法.共有5＋2＋4＝11(种)选法.
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.(2)从这些国画、油画、水粉画中各选一
幅布置房间，有几种不同的选法？
探究三 两个计数原理综合应用
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.(2)从这些国画、油画、水粉画中各选一
幅布置房间，有几种不同的选法？
探究三 两个计数原理综合应用
解：分为三步：国画、油画、水粉画分别有5种、
2种、4种不同的选法.共有5×2×4＝40(种)选法.
探究三 两个计数原理综合应用
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布
置房间，有几种不同的选法？
解：分为三类：
①一幅国画、一幅油画，5×2＝10(种)；
②一幅国画、一幅水粉画，5×4＝20(种)；
③一幅油画、一幅水粉画，2×4＝8(种).
探究三 两个计数原理综合应用
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布
置房间，有几种不同的选法？
解:共有10＋20＋8＝38(种)
探究三 两个计数原理综合应用
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布
置房间，有几种不同的选法？
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.
(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出
2幅，分别挂在左、右两边墙的指定位置，问共有多少
种不同的挂法？
探究三 两个计数原理综合应用
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.
(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出
2幅，分别挂在左、右两边墙的指定位置，问共有多少
种不同的挂法？
探究三 两个计数原理综合应用
解：分两步完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.
(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出
2幅，分别挂在左、右两边墙的指定位置，问共有多少
种不同的挂法？
探究三 两个计数原理综合应用
解：第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，4幅不
同的水粉画.
(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出
2幅，分别挂在左、右两边墙的指定位置，问共有多少
种不同的挂法？
探究三 两个计数原理综合应用
解：第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.
共有3×2＝6（种）.
【题后反思】
两个计数原理的综合应用题，明确
“完成一件事”含义是突破口；区分“分类”、“分步”是关键.
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
探究三 两个计数原理综合应用
（4）无重复数字的三位奇数？
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数？
探究三 两个计数原理综合应用
十位
1~9
个位
百位
9种
10种
10种
法1（直接法）：9ⅹ10ⅹ10=900
解：
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数？
探究三 两个计数原理综合应用
解：
算出不限
条件种数
去掉不符
条件种数
得结果
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数？
解：
探究三 两个计数原理综合应用
十位
0
个位
百位
法2（间接法）：
1种
10种
10种
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(2)无重复数字的三位整数？
解：
探究三 两个计数原理综合应用
十位
1~9
个位
百位
9种
9种
8种
法1（直接法）：9ⅹ9ⅹ8=648
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(2)无重复数字的三位整数？
解：
探究三 两个计数原理综合应用
算出不限
条件种数
去掉不符
条件种数
得结果
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(2)无重复数字的三位整数？
解：
探究三 两个计数原理综合应用
十位
0
个位
百位
法2（间接法）：
1种
9种
8种
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
解：
探究三 两个计数原理综合应用
十位
1~4
个位
百位
4种
9种
8种
4ⅹ9ⅹ8=288
直接法：
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(4)无重复数字的三位奇数？
解：
探究三 两个计数原理综合应用
再排特殊百位
2个特殊
位置
先排特殊个位
最后排十位
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(4)无重复数字的三位奇数？
直接法1：
探究三 两个计数原理综合应用
十位
个位
百位
8种
8种
5种
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(4)无重复数字的三位奇数？
直接法2：
探究三 两个计数原理综合应用
再排其
它元素
再排其
它元素
先排0和
奇数
有0
先排
奇数
0不能排
在百位
分类
计算
无0
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(4)无重复数字的三位奇数？
直接法2：
探究三 两个计数原理综合应用
再排其
它元素
再排其
它元素
先排0和
奇数
有0
先排
奇数
0不能排
在百位
分类
计算
无0
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(4)无重复数字的三位奇数？
间接法：
探究三 两个计数原理综合应用
算出不限
条件种数
去掉不符条件种数
得结果
十位
个位
百位
0
【题后反思】对于组数问题，应掌握以下原则：
(1)
明确
“分类”、“分步”是关键；
【题后反思】对于组数问题，应掌握以下原则：
(1)
明确
“分类”、“分步”是关键；
（2）特殊位置(末位或首位)、
特殊元素优先；
【题后反思】对于组数问题，应掌握以下原则：
(1)
明确
“分类”、“分步”是关键；
（2）特殊位置(末位或首位)、
特殊元素优先；
（3）正面分类较多，采用间接法，“正难则反”.
例
将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
探究三 两个计数原理综合应用
1
2
3
4
探究三 两个计数原理综合应用
1
2
3
4
解：第一步：先涂第1个小方格.从5种颜色中任取一种颜色，有5种不同的涂法.
探究三 两个计数原理综合应用
1
2
3
4
解：第一步：先涂第1个小方格.从5种颜色中任取一种颜色，有5种不同的涂法.
第二步：按照第2，3个小方格涂不同或相同颜色进行分类.
探究三 两个计数原理综合应用
1
2
3
4
解：①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法；第4个小方格有3种不同的涂法.
共有5×12×3＝180(种)不同的涂法.
探究三 两个计数原理综合应用
1
2
3
4
解：②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法；第4个小方格也有4种不同的涂法.
共有5×4×4＝80(种)不同的涂法.
探究三 两个计数原理综合应用
1
2
3
4
解：由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同涂法.
【题后反思】求解涂色问题常用的方法有：
(1)按区域不同以区域为主分步计数；
【题后反思】求解涂色问题常用的方法有：
(1)按区域不同以区域为主分步计数；
(2)以颜色为主用分类加法计数；
【题后反思】求解涂色问题常用的方法有：
(1)按区域不同以区域为主分步计数；
(2)以颜色为主用分类加法计数；
(3)不相邻的区域，常分为同色和不同色两类.
例
将3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个
盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
探究三 两个计数原理综合应用
例
将3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个
盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
探究三 两个计数原理综合应用
分析：这是抽取问题.要弄清楚“研究对象”；
要注意把握关键词的含义.
例
将3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个
盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
探究三 两个计数原理综合应用
解：以小球为研究对象.
例
将3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个
盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
探究三 两个计数原理综合应用
解：以小球为研究对象
分三步来完成：①放第一个小球有5种选择；②放
第二个小球有4种选择；③放第三个小球有3种选择.
共有
5×4×3＝60（种）.
另解：以盒子为研究对象
探究三 两个计数原理综合应用
另解：以盒子为研究对象
盒子标上序号1，2，3，4，5分成以下十类：
第一类：空盒子标号为(1,2)，选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)，选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)，选法有3×2×1＝6(种)；……
探究三 两个计数原理综合应用
探究三 两个计数原理综合应用
分类还有以下几种情况：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十类，每一类都有6种方法.
根据分类加法计数原理得：
总方法数N＝6＋6＋…＋6＝60.
共10个6
解决抽取问题的方法
(1)列举法、树状图法、框图法、图表法会方便解题；
(2)若抽取有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取
的，则按分类进行.
先分类
再分步
【题后反思】
课堂小结
1.本节课你学到了什么知识？
2.本节课你是如何获得这些知识的？
3.本节课的学习你有什么体会？
课堂小结
1.两个计数原理的区别与联系
课堂小结
1.两个计数原理的区别与联系
相同点:用来计算完成一件事的方法种类.
课堂小结
1.两个计数原理的区别与联系
不同点:分类加法计数原理分类完成，类类相加；
分步乘法计数原理分步完成，步步相乘.
课堂小结
1.两个计数原理的区别与联系
注意点:分类加法计数原理类类独立，不重不漏；
分步乘法计数原理步步相依，缺一不可.
课堂小结
2.从解决实际问题的提炼出常用方法
列举法
种数较少
各种情况一一列举
间接法
正面复杂
用总数减去不满足条件的种数
课堂小结
3.
解题过程中体现主次思想
有特殊元素、特殊位置，优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，“特殊优先，一般在后”.
课堂作业
某校高中二年级一班有志愿者8人，二班有志愿者10人，
三班有志愿者6人，学校组织他们去参加志愿服务.
(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？
(3)从他们中选出2个人负责与基地接洽，要求这2个人不
同班，有多少种不同的选法？教
案
教学基本信息
课题
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学科
数学
学段：
高中
年级
高二
教材
书名：
普通高中课程标准实验教科书
数学
选修2-3
（A版）
出版社：人民教育出版社
出版日期：2007
年
1
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：1.
通过实例，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，弄清楚它们之间的主要区别和内在联系，经历由直观到抽象，由特殊到一般的过程；
2.
能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题，理解学习两个计数原理的必要，有先分类再分步的意识；
3.
经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验发现数学、运用数学的过程.
教学重点：归纳得出分类计数原理和分步计数原理，能应用它们解决简单的实际问题.
教学难点：正确理解“完成一件事情”的含义，能根据实际问题正确区分“分类”或“分步”.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
情境
引入
从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；
从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路.
问：从甲地到丁地有多少种走法？
今天我们就来研究这样的计数问题.
通过设置情境，使学生提取相关知识，明确学习目标.
探究一 分类加法计数原理
问题1
用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析:因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码.
问题2
问题1中最重要的特征是什么？
分析：最重要的特征是可以按两类不同的方式编号.
例
从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.
一天中，火车有4班，汽车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法?
分析:从甲地到乙地有两类方法，第一类：乘火车，有4种方法；第二类：乘汽车，有2种方法.
共有：4
+
2
=
6（种）方法.
问题3
你能由前两个例子归纳出一般结论吗？
分析：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.
问题4
“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？
分析：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”.
问题5
如果完成一件事不只有两类“不同方案”，每一类方案中还有多种方法，那该如何计数呢？
得出分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方案.在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有
种不同的方法，……，在第n类方法中有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.
归纳：分类加法计数原理特点
（1）各类方案之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方法数相加；
（2）要先根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
通过问题、归纳、操作确认、解释说明等环节，得出分类加法计数原理.
探究二 分步乘法计数原理
问题1
用A-F六个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1
，A2，…，B1，B2，…
的方式给教室里座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
分析:编写一个号码先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字.
由于用A-F六个大写英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同.共有6×9＝54(个)不同的号码.
例
某班有男生14名，女生16名.要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
分析:
第一步，从14名男生中选出1人，有14种不同选择；第二步，从16名女生中选出1人，有16种不同选择.
共有14×16＝224种不同的方法.
问题2
你能由前面两个例子归纳出一般结论吗？
分析：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.
问题3
“分步方法”与“完成这件事”有什么关系？
分析：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存.
问题4
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步
有
种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
答案:
.
问题5
如果完成一件事需要个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么如何计数呢？
得出分步乘法计数原理：完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有
种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有不同的方法，
则完成这件事共有
种不同的方法.
归纳：分步乘法计数原理特点
（1）各步骤相互依存,
每步都完成才算完成此事；
（2）确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.
思考
：你能总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别与联系吗？
相同点：都是回答完成一件事的不同方法种数.
不同点：分类加法计数原理针对
“分类”问题，各类方案相互独立，方案中各种方法相互独立，任何一类中的任何一种方法都能单独完成这件事.分步乘法计数原理针对
“分步”问题，各个步骤相互依存，各个步骤都完成才算完成这件事.
列举熟悉的、简单的问题，使学生在情感上接受分步计数的方式.
借助具体问题，使学生理解分步乘法计数原理；通过设问，加深学生对原理的理解.
只有明确两个原理的联系和区别，才能更好地使用.培养学生概括问题的能力.
探究三： 两个计数原理综合应用
例
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画.
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
分析：四个问题都需要弄清楚在干什么事？是分类还是分步完成？若混合在一起，一定是先分类，再分步.
解：分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法.共有5＋2＋7＝14(种)选法.
(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
解：分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、
2种、7种不同的选法.共有5×2×7＝70(种)选法.
(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
解：分为三类：
①一幅国画、一幅油画，5×2＝10(种)；
②一幅国画、一幅水彩画，5×7＝35(种)；
③一幅油画、一幅水彩画，2×7＝14(种).
共有10+35+14=59（种）
(4)要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？
解：分两步完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法.
共有3×2＝6（种）.
【题后反思】两个计数原理的综合应用题，区分“分类”、“分步”是关键；明确“完成一件事”含义是突破口；“化繁为简”是原则.
例
用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个：
(1)三位整数？
(2)无重复数字的三位整数？
(3)小于500的无重复数字的三位整数？
（4）无重复数字的三位奇数？
分析：排数问题涉及到数位，需要每个数位分步排.
解：(1)法1（直接法）：
法2（间接法）：
（2）法1（直接法）：
法2（间接法）：
（3）
（4）个位有1,3,5,7,9五种放数字方法，百位不能排0，个位用去一个数字，所以有8种放数字方法；最后十位剩下八个数字可以放，有八种方法，所以共计：8×8×5=320种排法；换个角度来思考这道题：因为零不能排百位，我们按照三位奇数中有零和无零来进行分类.有零就先排零和奇数，再排其他元素；无零就先排奇数，再排其他元素，最后将两类相加，计算8×1×5+8×7×5=40+280=320种.还可以用间接法算出不限条件的种数，去掉不符条件种数，得出结果.先排个位，可以放1,3,5,7,9，有5种放数字方法，用去一个数字后百位有9种放数字的方法，个位和百位个用去一个数字后，十位还有8种放数字的方法，共5×9×8=360种方法；不符合条件的是百位放数字0，有1种方法，个位有5种种放数字方法，十位有8种放数字方法，共5×1×8=40种方法.所以，符合条件的共计5×9×8-5×1×8=320种方法.
【题后反思】对于组数问题，应掌握以下原则：
（1）明确
“分类”、“分步”是关键；
（2）特殊位置(末位或首位)、
特殊元素优先；
（3）正面分类较多，采用间接法，“正难则反”.
例
将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
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分析：涂色需要一块一块图，所以需要分步；是有限制条件的计数问题，所以再排“对角格”时需要分类.
解：第一步：先涂第1个小方格.从5种颜色中任取一种颜色，有5种不同的涂法.第二步：按照第2、3个小方格涂相同或不同颜色进行分类.
①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法；第4个小方格有3种不同的涂法:共有5×12×3＝180(种)不同的涂法.
②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法；第4个小方格也有4种不同的涂法.
共有5×4×4＝80(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260(种)不同涂法.
【题后反思】求解涂色问题常用的方法有：
（1）按区域不同以区域为主分步计数；
（2）以颜色为主用分类加法计数；
（3）不相邻的区域，常分为同色和不同色两类.
例
将3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个
盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
分析：这是抽取问题.要弄清楚“研究对象”；
要注意把握关键词的含义.
我们首先明确这是一件什么事？——小球往盒子里放!“至多”是什么意思——每个盒子只能放一个球，盒子会有空着的.
解法1：以小球为研究对象
分三步来完成：①放第一个小球有5种选择；②放
第二个小球有4种选择；③放第三个小球有3种选择.
共有
5×4×3＝60（种）.
解法2：以盒子为研究对象
盒子标上序号1，2，3，4，5分成以下十类：
第一类：空盒子标号为(1,2)，选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)，选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)，选法有3×2×1＝6(种)；……
分类还有以下几种情况：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共十类，每一类都有6种方法.
根据分类加法计数原理得：
总方法数N＝6＋6＋…＋6＝60.
【题后反思】解决抽取问题的方法
(1)列举法、树状图法、框图法、图表法会方便解题；
(2)当涉及对象数目较大时，若抽取有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行.
先分类，再分步.
学以致用.巩固对两个原理的理解；通过对比两个原理以及不同的解题思路让学生体会到两个计数原理在实际生活中的应用.
从正反两个角度解决问题，为后面排列问题的有序性做好铺垫.本着特殊位置、特殊元素优先的思路解题.
通过反思，不断提升学生解决问题的能力.
解题时注重培养学生分类讨论的思想.
此题要让学生注意关键词的含义，审题时明确干什么事非常重要；对象选择不同，采用的计数方法也会不同.
课堂小结
【总结】请同学们总结一下：
1.本节课学到了哪些知识？
2.本节课你是如何获得这些知识的？
3.本节课的学习你有什么体会？
预设：
1.两个计数原理的区别与联系
相同点:用来计算完成一件事的方法种类.
不同点:分类加法计数原理分类完成，类类相加；分步乘法计数原理分步完成，步步相乘.
注意点:分类加法计数原理类类独立，不重不漏；分步乘法计数原理步步相依，步骤完整.
2.从解决实际问题的提炼出常用方法：列举法、间接法.
3.解题过程中体现主次思想
有特殊元素、特殊位置，优先安排特殊元素，优先确定特殊位置，“特殊优先，一般在后”.
引导学生完成课堂小结，梳理知识、方法、体会.
布置作业
某校高中二年级一班有志愿者8人，二班有志愿者10人，三班有志愿者6人，学校组织他们去参加志愿服务.
(1)推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？
(3)从他们中选出2个人负责与基地接洽，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？
布置有针对性的训练，对学生课堂知识加以巩固.
