(共43张PPT)
导数复习(2)
高二年级
数学
例
已知定义在
上的函数
满足
,
且
的导函数
在
上恒有
,
求解不等式
.
有同学这么做：对不等式
,
两边求导数,
得到
而由题意知,
在
上恒成立.
所以
.
不等式的两边同时求导数,
不等式不一定成立
(1).
不等式
恒成立，但是
不成立;
(2).
不等式
恒成立，但是
不成立.
反例：
例
已知定义在
上的函数
满足
,
且
的导函数
在
上恒有
,
求解不等式
.
分析：不等式
不能两边求导数,
但是移项作差后可以得到:
将不等式的左边看成一个新的函数,
注意到它在
处的函数值为0,
若我们能判断其单调性,
则问题可解.
例
已知定义在
上的函数
满足
,
且
的导函数
在
上恒有
,
求解不等式
.
解：构造函数
,
函数
在
上单调递减.
当
时,
,
所以原不等式的解集是
.
例
已知曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线相互垂直,
则求点
的坐标.
两个几何对象：切线
一种位置关系：垂直
例
已知曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线相互垂直,
则求点
的坐标.
解：函数
的导函数为
,
所以曲线
在点
处的切线的斜率
设点
,
函数
的导函数为
,
所以曲线
在点
处的切线的斜率
两条切线相互垂直,
则有
,
即
解得
,
又
,
所以
,
故点
的坐标为
.
例
设
为曲线
在点
处的切线,
证明：除切点
外,
曲线
在直线
的下方.
两个几何对象：
曲线及其切线
一种位置关系：下方
最小值点只有一个
一种位置关系：下方
切线方程为:
例
设
为曲线
在点
处的切线,
证明：除切点
外,
曲线
在直线
的下方.
证明：设
,
曲线
在点
处的切线的斜率
令
,
设
,
与
的符号相同.
注意到：
除切点
外,
曲线
在直线
的下方等价于证明
,
当且仅当
时取得,
即证明,
且最小值点只有一个.
在
单调递增.
当
时,
;
当
时,
.
极小值
所以当且仅当
时,
.
例
已知函数
.
(1)
对任意的实数
,
使得
恒成立,
求实数
的取值范围;
(2)
存在实数
,
使得
能成立,
求实数
的取值范围.
分析:
函数
在
上存在最大值
和最小值
,
存在实数
,
使得
能成立
对任意的实数
,
使得
恒成立
函数
在区间
上的最值涉及到参数
的讨论，极其繁琐.
当
时,
对任意的实数
,
使得
恒成立
存在实数
,
使得
能成立
例
已知函数
.
(1)
对任意的实数
,
使得
恒成立,
求实数
的取值范围;
(2)
存在实数
,
使得
能成立,
求实数
的取值范围.
解:
设函数
,
对任意的实数
,
使得
恒成立等价于
存在实数
,
使得
能成立等价于
极小值
(1)
;
(2)
.
例
已知函数
在
处取得极小值,
求
的取值范围.
的符号由正到负,
则
是极大值;
的符号不改变,
不是极值点.
的符号由负到正,
则
是极小值;
对于可导函数
,
是其定义域内一点,
函数的极值与最值
若函数
在
处取得极值,
则
;
考察
左右两侧导函数
的符号：
例
已知函数
在
处取得极小值,
求
的取值范围.
分析：
我们考察导函数
在
左右两侧符号的变化情况,
包含参数
,
不可避免地我们需要对
进行分类讨论.
例
已知函数
在
处取得极小值,
求
的取值范围.
解：
函数
的导数
设
,
与
符号相同,
(1)
当
时,
极小值
极大值
在
处取得极大值,
不合题意;
(2)
当
时,
极大值
在
处取得极大值,
不合题意;
(3)
当
时,
极大值
极小值
在
处取得极大值,
不合题意;
(5)
当
时,
(4)
当
时,
,
函数单调增,
没有极小值,
不合题意;
极大值
极小值
在
处取得极小值,
合乎题意;
综合
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
知
的取值范围是
发现当
时,
的一个充分条件是
在
上单调增,
例
证明不等式：当
时,
.
分析：作差,
证明
等价于证明
记
,
注意到
,
这样我们就需要考虑
在
上的单调性,
即讨论
的符号.
再次注意到
,
这样
的符号又跟刚才一样归结到讨论导函数
的单调性上了.
例
证明不等式：当
时,
.
证明：设
,
而
,
设
,
当
时,
,
单调递增,
.
即当
时,
,
单调递增,
所以
即
当
时成立.
例
已知函数
,
,
试问过点
可以作多少条直线与曲线
相切?
分析：
设出切点
,
我们能得到曲线的切线方程.
将点
的坐标代入得到关于
的方程,
切线的条数转化为讨论方程的解的个数.
而方程的解我们往往借助于讨论函数的零点来处理.
例
已知函数
,
,
试问过点
可以作多少条直线与曲线
相切?
解：
设过
与曲线
相切的切线的切点为
设切线方程为：
.
把
的坐标代入切线方程,
得
.
整理得：
.
方程有几个不同的解,
就能作几条不
同的切线
.
设
,
当
时,
,
单调减;
当
时,
,
单调增.
如何取
,使得
取
使得
,
则
,
设
,
当
时,
由上个例题知
,
如何取
,使得
当
时,
取
即可.
由上个例题知
,
存在
使得
取
,
,
;
取
,
,
.
所以存在唯一的
,
,
使得
那么过点
可以作两条直线与曲线
相切.
课堂小结
(1)
通过例题的讲解我们熟悉涉及函数图象切线、函数零点、不等式成立及证明等综合问题的解题思路.
(2)
在问题解决的过程中,
我们一起感悟了函数与方程、数形结合、等价转化与分类讨论等数学思想方法的应用.
课后作业
(3)
设
,
记
在区间
上的最大值为
,
当
最小时,
求
的值.
(2)
当
时,
求证：
;
(1)
求曲线
的斜率为1的切线方程;
设函数
.教
案
教学基本信息
课题
导数复习（2）
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名：
普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1
（B版）
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2007
年
4
月第二版
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.
掌握利用导数研究函数的性质的方法，熟悉解题过程，规范解题格式；
2.
了解对导数综合应用的读题审题、分析转化的一般思路.
3.
加深对函数与方程，等价转化，数形结合等数学思想方法的理解.
教学重点：利用导数来研究函数的单调性与极值，零点等性质.
教学难点：导数的综合应用.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
上节课我们复习了导数的有关概念，研究了函数的单调性与极值，并且利用单调性与极值解决了有关函数零点的问题，今天我们继续复习导数的综合应用.
开门见山，指明复习课的主题.
新课
和
例题
例.
已知定义在上的函数满足，且的导函数在上恒有，求解不等式.
解：构造函数，则，而
，因为在上恒成立,
所以，在上单调递减，当时，，所以不等式的解集为.
例.
设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线相互垂直，则求点的坐标.
解：函数的导函数为，所以曲线在点处的切线的斜率
，我们设点，
函数的导函数为，曲线在点处的切线的斜率，两条切线相互垂直，则有，即，解得，又，，故点的坐标为.
例.
设为曲线在处的切线，证明:除切点之外，曲线在直线下方.
证明：设，的自然对数的导数是
，
的导数是1，化简得函数
的导数为
，
曲线在处的切线的斜率，则切线的方程为，，
令，证明除切点之外，曲线在直线下方等价于证明，“”当且仅当时取得，即证明且最小值点只有一个.
,，的符号与分子相同，设，所以与的符号相同,注意到，，当时，单调递增，的自然数对数单调递增，它们的和单调递增，当然减去1不改变单调性，所以在上单调递增.
当时，，
当时，，
这样我们可以列表如下：在上，，单调减;
在上，，单调增，是唯一极小值点，
当然是唯一最小点，所以当且仅当时
例.
已知函数.
(1)
对任意的实数，使得恒成立，求实数的取值范围.
(2)
存在实数，使得能成立，求实数的取值范围.
解：设，对任意的实数，使得恒成立等价于，
存在实数，使得能成立等价于.
，在区间上只有唯一解
.列表如下：
1
2
305↘极小值↗
我们比较端点的函数值，，，
.
所以当时，，，那么
（1）中的取值范围是.
（2）中的取值范围是.
例10.
已知函数在处取得极小值，求的取值范围.
解：函数是一个多项式与指数函数的乘积，根据函数乘积的求导法则有：
设，与的符号相同，
（1）当时，
2
0
0
↘极小值↗极大值↘
在处取极大值，不满足题意；
（2）当时，，成为一个一次函数，是它的唯一零点，
2
0
↗极大值↘
在处取极大值，不满足题意；
（3）当时，，
2
00
↗极大值↘极小值↗
在处取极大值，不满足题意；
（4）当时，
，函数单调递增，此时函数没有极小值;
（5）当时，
，
2
0
0
↗极大值↘极小值↗
在处取极小值，满足题意；
综合(1)(2)(3)(4)(5),所以的取值范围是.
例.
证明不等式：当时，.
证明：设，而
.
,
且.
设，，
当时，，函数单调增，
，
而就是，所以当时，，单调递增，
所以，
.
即
，
那么，当时成立.
原不等式成立.
例.
已知函数，()
，试问过点可以做多少条直线与曲线相切？
解：设过点与曲线相切的切点为，切线的斜率，
切线方程为：，将代入切线方程，得
，
理得：，方程有几个不同的解，就能作几条不同的切线.
设，
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
由上个例题知，，知道存在，使得，
取，，；
取，，.
所以存在唯一的，使得，
所以，过点可以做2条直线与曲线相切.
利用函数的性质来处理不等式，感悟函数与方程，函数与不等式的数学思想.
利用反例，说明求导运算对不等关系不成立.
要求学生深刻理解导数的几何意义，知道如何用曲线的解析特征来描述位置关系.
加深对函数商的导数的求法的印象.
切线方程的公式.
将曲线的位置关系转化为不等式的恒成立问题，继而转化为函数的最值问题.
掌握分离变量的技巧和将等式恒成立问题与能成立问题转化为函数的最值问题.
已知函数的性质求出函数中参数的取值范围，是一类常见题目，此题中涉及到分类讨论，用最基本的方法来讨论，显得清楚透彻，技巧性不强而具有代表性.
利用函数的零点即单调性得出优美的不等式，而此不等式也是指数函数的最佳二阶逼近，常用于放缩技巧.
此题为曲线切线，函数零点，函数单调性，函数最值，不等式放缩的综合应用，难度较大，希冀学生能理解思想，理清思路，听懂证明有所收获.
总结
（1）通过例题的讲解我们熟悉涉及函数图象切线、函数零点、不等式证明等综合问题的解题思路.
(2)
在问题解决的过程中,
我们一起感悟了函数与方程、数形结合、等价转化与分类讨论等数学思想方法的应用.
作业
设函数.
(1)
求曲线的斜率为1的切线方程；
(2)
当时，求证：;
(3)
设,记在区间上的最大值为，当最小时，求的值.
1
