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空间直角坐标系
空间两点间的距离公式
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )
A．
B．|a|
C．|b|
D．|c|
解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.
2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4
B．2
C．4
D．3
解析：选A |AB|＝＝4.
3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )
A．(3，－1,5)
B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5)
D．(－3,1，－5)
解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．
4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7
B．－7
C．－1
D．1
解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.
5．点P(1，，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )
A．(0,0，)
B．(0，，)
C．(1,0，)
D．(1，，0)
解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，，0)．
6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．
解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．
答案：(－1,2，－3)
7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.
解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝＝.
答案：
8．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．
解析：由题意，知点M1的坐标为(－2,0，－3)，点M1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．
答案：(2,0,3)
9.如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
解：由题意，得点B与点A关于xOz平面对称，
故点B的坐标为(－2,3，－1)；
点D与点A关于yOz平面对称，故点D的坐标为(2，－3，－1)；
点C与点A关于z轴对称，故点C的坐标为(2,3，－1)；
由于点A1，B1，C1，D1分别与点A，B，C，D关于xOy平面对称，
故点A1，B1，C1，D1的坐标分别为A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，
－3,1)．
10.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离．
解析：由已知条件，得|A1C1|＝2.由|MC1|＝2|A1M|，得|A1M|＝，且∠B1A1M＝∠D1A1M＝.如图，以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则M，C(2,2,0)，D1(0,2,4)．由N为CD1的中点，可得N(1,2,2)．
∴|MN|＝
＝.
层级二 应试能力达标
1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．在x轴上
B．在xOy平面内
C．在yOz平面内
D．在xOz平面内
解析：选C ∵点A的横坐标为0，∴点A(0，－2,3)在yOz平面内．
2．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
解析：选C 点P和点Q的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．
3．设A(1,1，－2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A．
B．
C.
D．
解析：选D 利用中点坐标公式，得点P的坐标为，由空间两点间的距离公式，得|PC|＝＝.
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9
B．
C．5
D．2
解析：选B 由已知，可得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝＝.
5．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝.
答案：
6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________．
解析：因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．
由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，
整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．
答案：(0，－1,0)
7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．
解：(1)设P(x,0,0)．
由题意，得|P0P|＝＝，
解得x＝9或x＝－1.
所以点P的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．
(2)由已知，可设M(x0,1－x0,0)．
则|MN|＝
＝.
所以当x0＝1时，|MN|min＝.
此时点M的坐标为(1,0,0)．
8.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．
解：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．
由于M为BD1的中点，
所以M，取A1C1中点O1，则O1，
因为|A1N|＝3|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N.
由两点间的距离公式可得：
|MN|＝
＝A．
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空间两点间的距离公式
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层级一 学业水平达标
1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )
A．
B．|a|
C．|b|
D．|c|
2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )
A．4
B．2
C．4
D．3
3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )
A．(3，－1,5)
B．(－3，－1,5)
C．(3，－1，－5)
D．(－3,1，－5)
4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A．7
B．－7
C．－1
D．1
5．点P(1，，)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )
A．(0,0，)
B．(0，，)
C．(1,0，)
D．(1，，0)
6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．
7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.
8．在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是________．
9.如图，已知长方体ABCD?A1B1C1D1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．
10.如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝4，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M，N两点间的距离．
层级二 应试能力达标
1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．在x轴上
B．在xOy平面内
C．在yOz平面内
D．在xOz平面内
2．在空间直角坐标系中，点P(2,3,4)和点Q(－2，－3，－4)的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
3．设A(1,1，－2)，B(3,2,8)，C(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A．
B．
C.
D．
4．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )
A．9
B．
C．5
D．2
5．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．
6．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________．
7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．
(1)在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；
(2)在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．
8.如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．
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