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1.2.1 中心投影与平行投影~1.2.2 空间几何体的三视图
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC( )
A.全等
B.相似
C.不相似
D.以上都不正确
答案 B
解析 中心投影的投影线交于一点，几何体在这种投影下的形状相似.
2.关于几何体的三视图，下列说法正确的是( )
A.正视图反映物体的长和宽
B.俯视图反映物体的长和高
C.侧视图反映物体的高和宽
D.正视图反映物体的高和宽
答案 C
3.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是( )
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答案 D
4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
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答案 D
解析 从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的.
5.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
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答案 B
6.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )
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A.8
B.4
C.4
D.2
答案 C
解析 设该三棱柱的侧棱长为a，则2a＝8，所以a＝4，该三棱柱的侧视图是一个矩形，一边长为4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，即为，所以侧视图的面积为4，故选C.
7.一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )
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答案 A
解析 由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面.正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故A对，B错；侧视图中的线应是虚线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错.
8.一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
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答案 C
解析 注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C中，其宽度为，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，故选C.
二、填空题
9.如图，在多面体ABC－A′B′C′中，底面ABC为正三角形，三条侧棱AA′，BB′，CC′分别平行，侧棱垂直于底面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则下面图形可视为多面体ABC－A′B′C′的正视图的是________.
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答案 ④
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________.
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答案 1
解析 依题意得三棱锥P－ABC的正视图与侧视图分别是一个三角形，且这两个三角形的一条边长都等于正方体的棱长，这条边上的高也都等于正方体的棱长，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1.
11.一个几何体的三视图如图所示，则其侧视图的面积为________.
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答案 4＋
解析 依题意得几何体的侧视图面积为22＋×2×＝4＋.
12.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形；
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其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是________.
答案 4
解析 ④不可以，因为等边三角形的边与高不等，所以正视图和侧视图不相同.其余4个图都可以作为俯视图，故其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是4.
三、解答题
13.画出所给几何体的三视图.
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解 题图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出，其三视图如图a；题图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状，其三视图如图b.
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14.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为下列选项中的( )
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答案 B
解析 显然从左边看到的是一个正方形，因为割线AD1可见，所以用实线表示；而割线B1C不可见，所以用虚线表示.故选B.
15.一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：
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(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
解 (1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来.
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排.
(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.
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1.2.1 中心投影与平行投影~1.2.2 空间几何体的三视图
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC( )
A.全等
B.相似
C.不相似
D.以上都不正确
2.关于几何体的三视图，下列说法正确的是( )
A.正视图反映物体的长和宽
B.俯视图反映物体的长和高
C.侧视图反映物体的高和宽
D.正视图反映物体的高和宽
3.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体的直观图是( )
4.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
5.一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )
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6.已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为( )
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A.8
B.4
C.4
D.2
7.一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )
8.一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
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二、填空题
9.如图，在多面体ABC－A′B′C′中，底面ABC为正三角形，三条侧棱AA′，BB′，CC′分别平行，侧棱垂直于底面ABC，且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则下面图形可视为多面体ABC－A′B′C′的正视图的是________.
10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________.
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11.一个几何体的三视图如图所示，则其侧视图的面积为________.
12.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形；
其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是________.
三、解答题
13.画出所给几何体的三视图.
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14.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为下列选项中的( )
15.一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：
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(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
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1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图
第一章
§1.2 空间几何体的三视图和直观图
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解中心投影和平行投影.
2.能画出简单空间图形的三视图.
3.能识别三视图所表示的立体模型.
知识点一 投影的概念
(1)定义：由于光的照射，在
物体后面的屏幕上可以留下这个物体的
，这种现象叫做投影.
(2)投影线：
.
(3)投影面：
.
不透明
影子
光线
留下物体影子的屏幕
知识点二 投影的分类
投影
定义
特征
分类
中心投影
光由
向外散射形成的投影
投影线__________
?
平行投影
在一束
照射下形成的投影
投影线_____
和_______
一点
平行光线
交于一点
平行
正投影
斜投影
知识点三 三视图
(1)定义
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图.
侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图.
俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图.
(2)三视图的画法规则
①
视图都反映物体的长度——“长对正”；
②
视图都反映物体的高度——“高平齐”；
③
视图都反映物体的宽度——“宽相等”.
(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的
，俯视图在正视图的
.
正、俯
正、侧
俯、侧
右边
下边
1.直线的平行投影是直线.( )
2.圆柱的正视图与侧视图一定相同.( )
3.球的正视图、侧视图、俯视图都相同.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 (1)下列说法正确的是
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.平行投影与中心投影的投影线均互相平行
C.两条相交直线的投影可能平行
D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段
投影的中点
题型一 平行投影的概念
√
解析 平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确.
平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确.
无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确.
两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确.
(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影是
√
解析 由正投影的定义，知点M，N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1，DA的中点，D在平面ADD1A1上的投影还是D，因此A正确.
反思感悟
(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.
(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影.
跟踪训练1 如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图2中的________.(填序号)
①②③
解析 要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的.
在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的投影是图①；
在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的投影是图②；
在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的投影是图③.
例2 如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
题型二 三视图的识别
解析 在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；
②圆锥有两个视图相同；
③三棱台的三个视图都不同；
④正四棱锥有两个视图相同.
√
反思感悟
根据空间几何体的直观图找三视图可以直接进行，找正视图就从正面看过去，找侧视图就从左边向右边看去，找俯视图就从上面向下面看去.注意能看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示.
跟踪训练2 已知三棱柱ABC－A1B1C1，如图所示，则其三视图为
√
解析 其正视图为矩形，侧视图为三角形，俯视图中棱CC1可见，为实线，只有A符合.
例3 (1)画出如图所示的几何体(正棱锥)的三视图.
题型三 画几何体的三视图
解 正四棱锥的三视图如图所示，
(2)画出如图所示的组合体的三视图.
解
反思感悟
画三视图的注意事项：
(1)务必做到长对正，高平齐，宽相等.
(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方.
(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法.
跟踪训练3 如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图.
解 三视图如图所示.
(1)
(2)
典例 说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.
由三视图还原几何体
核心素养之直观想象
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
解 几何体为三棱台，结构特征如图：
素养
评析
(1)由三视图还原几何体，要遵循以下三步：①看视图，明关系；②分部分，想整体；③综合起来，定整体，只要熟悉简单几何体的三视图的形状，由简单几何体的三视图还原几何体并不困难.对于组合体，需要依据三视图将它分几部分考虑，确定它是由哪些简单几何体组成的，然后利用上面的步骤，分开还原，再合并即可.注意依据三视图中虚线、实线确定轮廓线.
(2)借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，由三视图还原几何体是培养学生直观想象的数学核心素养的好素材.
3
达标检测
PART
THREE
1.以下关于投影的叙述不正确的是
A.手影就是一种投影
B.中心投影的投影线相交于点光源
C.斜投影的投影线不平行
D.正投影的投影线和投影面垂直
1
2
3
4
5
√
2.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是
A.棱柱
B.棱台
C.圆柱
D.圆台
√
1
2
3
4
5
3.一个几何体的三视图如图所示，这个几何体可能是一个
A.三棱锥
B.底面不规则的四棱锥
C.三棱柱
D.底面为正方形的四棱锥
√
1
2
3
4
5
4.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是
A.球
B.三棱锥
C.圆柱
D.正方体
1
2
3
4
5
解析 球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同，大小相等；
三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；
正方体的正视图、侧视图和俯视图均为正方形，且形状相同，大小相等；
圆柱的正视图、侧视图和俯视图不可能形状相同，故选C.
√
1
2
3
4
5
5.有一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为_____.
2,4
1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
2.画组合体的三视图的步骤
特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示.
