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1.2.3 空间几何体的直观图
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.在原图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )
A.平行且相等
B.平行不相等
C.相等不平行
D.既不平行也不相等
答案 A
2.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A.90°，90°
B.45°，90°
C.135°，90°
D.45°或135°，90°
答案 D
解析 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.
3.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
答案 A
解析 由图形，知在原△ABC中，AO⊥BC.
∵A′O′＝，∴AO＝.
∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，AB＝AC＝2，
∴△ABC为等边三角形.故选A.
4.下列说法中正确的个数是( )
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直；
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 如图，由正方形的直观图是平行四边形可知①②③错误，易知④正确，故选A.
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5.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )
A.16
B.64
C.16或64
D.无法确定
答案 C
解析 等于4的一边在原图形中可能等于4，也可能等于8，所以正方形的面积为16或64.
6.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到O′x′轴的距离为( )
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A.
B.
C.1
D.
答案 B
解析 因为BC垂直于x轴，所以在直观图中B′C′的长度是1，且与O′x′轴的夹角是45°，所以B′与O′x′轴的距离是.
7.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
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答案 C
解析 可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论.
8.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
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A.2
B.4
C.2
D.4
答案 D
解析 设△AOB的边OB上的高为h，因为S原图形＝2S直观图，所以×OB×h＝2××2×O′B′.
又OB＝O′B′，所以h＝4.
二、填空题
9.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.
答案 (4,2)
解析 由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4,2).
10.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________
cm2.
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答案 矩形 8
解析 由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其中OA＝2
cm，OC＝4
cm，∴四边形OABC的面积为S＝2×4＝8(cm2).
11.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________.
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答案 36
解析 在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.
三、解答题
12.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积.
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解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1
cm；
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在y轴上取OB＝2O′B′＝2cm；
在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1
cm.
连接O，A，B，C各点，即得到了原图形.
由作法可知，OABC为平行四边形，
OC＝＝＝3
cm，
∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8
cm，面积为S＝1×2＝2
cm2.
13.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积.
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解 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变.如图所示，
在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝.
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14.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________.
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答案
解析 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.
15.如图所示，在△ABC中，AC＝12
cm，AC边上的高BD＝12
cm，求其水平放置的直观图的面积.
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解 画x′轴，y′轴，两轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，作△ABC的直观图如图所示，
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则A′C′＝AC＝12
cm，B′D′＝BD＝6
cm，
故△A′B′C′的高为B′D′＝3
cm，
所以S△A′B′C′＝×12×3＝18(cm2).
即水平放置的直观图的面积为18
cm2.
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1.2.3 空间几何体的直观图
班级______________
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学号________
一、选择题
1.在原图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )
A.平行且相等
B.平行不相等
C.相等不平行
D.既不平行也不相
2.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A.90°，90°
B.45°，90°
C.135°，90°
D.45°或135°，90°
3.水平放置的△ABC的直观图如图所示，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
4.下列说法中正确的个数是( )
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；
②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；
③互相垂直的线段在直观图中对应的线段仍然垂直；
④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为( )
A.16
B.64
C.16或64
D.无法确定
6.如图所示为水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系中点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，点B′到O′x′轴的距离为( )
A.
B.
C.1
D.
7.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
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8.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为( )
A.2
B.4
C.2
D.4
二、填空题
9.在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________.
10.在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2
cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为______(填形状)，面积为________
cm2.
11.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________.
三、解答题
12.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积.
13.如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积.
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14.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中AB边上的中线的长度为________.
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15.如图所示，在△ABC中，AC＝12
cm，AC边上的高BD＝12
cm，求其水平放置的直观图的面积.
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1.2.3 空间几何体的直观图
第一章
§1.2 空间几何体的三视图和直观图
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.
知识点一 水平放置的平面图形的直观图的画法
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则
45°
135°
水平面
x′轴或y′
轴的线段
保持原长度不变
一半
知识点二 空间几何体直观图的画法
立体图形直观图的画法规则
(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个
轴，直观图中与之对应的是
轴.
(2)画底面：平面
表示水平平面，平面
和
表示竖直平面.
(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中
和_____
都不变.
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为
.
z
z′
x′O′y′
y′O′z′
x′O′z′
平行性
长度
虚线
1.在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变.( )
2.在几何体的直观图中，原来平行的直线仍然平行.( )
3.在斜二测画法中平行于y轴的线段在直观图中长度保持不变.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.
题型一 平面图形的直观图
解 在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示.
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝
OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)所示.
(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)所示.
引申探究
例1中的直角梯形改为等腰梯形，画出其直观图.
解 画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝
OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
反思感悟
在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可.
跟踪训练1 已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图.
解 画法：
(1)在图(1)中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.
(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
(4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3)).
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别为4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图.
题型二 空间几何体的直观图
解 (1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4
cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝
cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图.顺次连结A′，B′，C′，D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.
反思感悟
空间几何体的直观图的画法：
(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向.
(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致.
跟踪训练2 用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定)
解 画法：
(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面.
①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；
②在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝
MN，以点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；
③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′.
(3)成图.连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3).
典例 (1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是
直观图的还原与计算
核心素养之数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
YUN
SUAN
√
(2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝
C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积.
解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形.
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，
素养
评析
借助原图形与其直观图的关系，理解所求图形的面积，分析探究解题思路，求得运算结果，突出体现了数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是
A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形
B.平行四边形的直观图仍是平行四边形
C.两条相交直线的直观图可能是平行直线
D.两条垂直的直线的直观图仍互相垂直
1
2
3
4
5
√
2.利用斜二测画法画出边长为3
cm的正方形的直观图，正确的是图中的
1
2
3
4
5
√
解析 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
3.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的
1
2
3
4
5
√
解析 在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的
，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为C.
4.有一个长为5
cm，宽为4
cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为______cm2.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.三角形ABC的斜二测直观图如图所示，则三角形ABC的面积为___.
2
1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上.
2.用斜二测画法画直观图时要紧紧把握住“一斜”、“二测”两点：
(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
