(共15张PPT)
2020
9.5多项式的因式分解（1）
——提公因式法
苏科版七年级下册
数学
x2+xy-x
a2-9
x(x+y-1)
(a+3)(a-3)
（2）根据上面等式的结论填空:
①
x2+xy-x
=
.
②
a2-9
=
.
（1）计算：
①
x(x+y-1)
=
.
②
(a+3)(a-3)
=
.
整式的乘积
一个多项式
整式的乘积
一个多项式
整式乘法
因式分解
像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。
互
逆
温故知新
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有
，不是的，请说明为什么？
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x
·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+
)
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
等式右边最终不是积的运算
等式左边不是多项式，
从左到右是整式乘法
等式右边的一个因式不是整式
尝试练习
单项式乘多项式法则：
a（b+c+d）
=
ab+ac+ad
把这个法则反过来写成：ab+ac+ad
=
a（b+c+d）
整式乘法
因式分解
ab+ac+ad
=
a
(b+c+d）
公因式
提取公因式
温故知新
多项式中的公因式是如何确定的？
找
3x
2
–
6
x3y
的公因式。
定系数
3
定字母
x
所以，
3x
2
–
6
x3y
的公因式是3x2
。
定指数
2
新知探究
的指数，取次数
.
最大公约数
相同的字母
相同字母
最低的
一看系数
二看字母
三看指数
当一个多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的
.
公因式中的字母应取各项
.
寻找公因式的方法（步骤）
新知探究
尝试练习
(1)
a2b＋ab2
(2)
3x2－6x3
(3)
9abc－6a2b2＋12abc2
找出下列多项式各项的公因式
公因式：ab
公因式：3x2
公因式：3ab
(1)
5x3-10x2
(2)
12ab2c-6ab
(3)
-2m3+8m2-12m
1.把下列多项式分解因式
第一步：找公因式
第二步：提取公因式
（1）解：原式=5x2·x-5x2·2
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1
（3）解：原式=-(2m3
-8m2
+12m)
=-(2m·m2-2m·4m+2m·6)
=-2m(m2-4m+6)
记得写出因数“1”
记得先把首项的
“-”提出来
=5x2(x-2)
=6ab(2bc-1)
例题讲解
(5x2
)
(6ab
)
(-2m
)
如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提到括号外,把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
ab+ac+ad
=
a（b+c+d）
找公因式
提公因式
概念总结：
下列多项式可以用提公因式法分解因式吗？如果可以,
请你找出多项式各项的公因式。
思维拓展
（1）
a(x+y)+b(x+y)
（2）
a(x-y)+b(y-x)
（3）
a(x+y)+b(-y+x)
（4）
3a(x-y)3+9b(y-x)2
（5）
3a(x-y)2n+9b(y-x)2n+1
可以，公因式(x+y)
可以，公因式(x-y)
不可以，
可以，公因式3(x-y)2
发现：一个多项式的公因式可以是单项式也可以是多项式。
（整体思想）
可以，公因式3(x-y)2n或3(y-x)2n
（1）
3a(x-y)2-6b(x-y)3
2.把下列多项式分解因式
（1）解：原式=3(x-y)2·a-3(x-y)2·2b(x-y)
3a(x-y)2-6b(x-y)3
改写成
（2）
3a(x-y)2+6b(y-x)3
=3(x-y)2·[a-
2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
例题讲解
（2）解：原式=
3a(x-y)2-6b(x-y)3
学以致用
1、已知a+b=5
，
ab=3，
求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a
+ab·b
=ab(a+b)
当a+b=5
,ab=3时
原式=3×5=15
因式分解
整体代入
学以致用
2、试说明3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
=3198(9-12+10）
=3198×7
∵
3198为整数，
∴
3198×7是7的倍数，
即：
3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
提公因式法
“数”与“式”
的相互变换
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，
a(1+2b)-c(1+2b)＝0，
∴1＋2b＝0或a－c＝0，
即b＝－0.5(舍去),或
a＝c
，
学以致用
(1＋2b)(a-c)＝0，
因式
分解
概念
形式：am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
找公因式的方法：定系数；定字母；定指数
步骤：一找公因式；二提公因式
其它方法（未完待续…
）
注意点：1.公因式要找准；
2.不要漏项，尤其是因数1；
3.首项有“-”提负号，要注意变号。
把一个多项式写成几个整式的积的形式
课堂小结(共14张PPT)
2020
9.5多项式的因式分解（2）
——平方差公式
苏科版七年级下册
数学
2.根据上题中的结论填空:
①
=
.
②
=
.
③
=
.
1.计算：①
(x-5)(x+5)
=
.
②
(2x-y)(2x+y)
=
.
③
(-2a+3b)(2a+3b)=
.
整式乘法
因式分解
复习旧知
(x+5)(x-5)
(2x-y)(2x+y)
x2-25
x2-25
4x2-y2
4x2-y2
9b2-4a2
9b2-4a2
(3b+2a)(3b-2a)
上面用到了我们学过的哪个公式？
平方差公式：
a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
整式乘法：
因式分解：
新知探究
（１）公式左边：
（是一个将要被因式分解的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成
“（ ）２－（ ）２”
的形式。
(2)
公式右边:
（是因式分解的结果）
★分解的结果是前面两个底数的和乘以这两个底数的差的形式。
a2-b2
=
(a+b)(a-b)
公式再认识
1、下列多项式是否可以用平方差公式因式分解？
4x2-y
4x2-(-y)2
(3)
-4x2-y2
(4)
-4x2+y2
(5)
(a+3)2-4
(6)
a2-b+32
(3)不可以，其中两个平方项的符号相同；
(6)不可以，其中有三个项。
尝试练习
(1)不可以，其中没有两个平方项；
(2)可以，
(5)可以，
(4)可以，
例题精讲
1、把下列各式分解因式:
(1)
36-25x2
(1)解:原式
=62-(5x)2
=(6+5x)(6-5x)
(2)
16a2-9b2
(2)解:原式
=(4a)2-(3b)2
=(4a+3b)(4a-3b)
a2-b2=(a+b)(a-b)
公式中的a和b表示单项式
★在使用平方差公式分解因式时，步骤为：
1.变形（明确哪个相当于
a
,
哪个相当于
b.
）
2.分解
2、把多项式9(a+b)2-4(a-b)2因式分解.
解：9(a+b)2-4(a-b)2
=[3(a+b)]2-[2(a-b)]2
=[3(a+b)+2(a-b)]
[3(a+b)-2(a-b)]
=(3a+3b+2a-2b)
(3a+3b-2a+2b)
=(5a+b)(a+5b)
★平方差公式中字母a、b可以表示单项式，
也可以表示多项式。
例题精讲
a2-b2=(a+b)(a-b)
公式中的a和b表示多项式
尝试练习
把多项式49(a-b)2-16(a+b)2因式分解.
解：49(a-b)2-16(a+b)2
=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2
=[7(a-b)+4(a+b)]
[7(a-b)-4(a+b)]
=(7a-7b+4a+4b)
(7a-7b-4a-4b)
=(11a-3b)(3a-11b)
(1)x4-16
解:原式
=(x2)2-42
=(x2+4)(x2-4)
★分解因式应分解到各因式都不能再分解为止.
=(x2+4)(x+2)(x-2)
(2)2x3-18x
解：原式
=2x
(x+3)(x-3)
=2x
(x2-9)
★若多项式中有公因式,应先提取公因式,然后再进一步分解因式,直到不能分解为止.
例题精讲
综合运用，
分解彻底。
3、把下列各式分解因式:
(1)
10122-9882
1.利用因式分解计算:
学以致用
解(1)原式=(1012+988)(1012-988)
=2000×24
=4800
(2)
9×1222-4×1332
运用因式分解，
使运算更简便！
(2)
原式=(3×122)2
-(2×133)2
=3662
-2662
=(366+266)(366-266)
=632×100
=63200
“数”与“式”
的相互变换
2.如图，求圆环形绿地的面积S（结果保留π
）。
解:S=
π
×352-π
×152
=
π
(352-152
)
=
π
(35+15
)(35-15)
=
1000π(m2)
答:圆环形绿地的面积是1000πm2
提公因式法
运用
“平方差”公式
学以致用
3.已知：4m+n=90，2m－3n=10，
求(m+2n)2－(3m－n)2的值。
解：
(m+2n)2－(3m－n)2
当4m+n=90，2m－3n=10时，
原式=90
×(-10)=-900
因式分解整体代入
学以致用
=[(m+2n)+(3m－n)]
[(m+2n)-(3m－n)]
=(m+2n+3m－n)
(m+2n-3m+n)
=(4m+n)
(3n-2m)
4.设n为整数，试说明(2n+1)2-25一定能被4整除。
解：(2n+1)2-25=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
运用平方差公式法
提公因式法
∵n为整数，
∴n+3和n-2均为整数，
∴
4(n+3)(n-2)是4的倍数，
即：(2n+1)2-25一定能被4整除
=2(n+3)
×2(n-2)
=4(n+3)(n-2)
学以致用
因式
分解
概念
形式：a2-b2=(a+b)(a-b)
方法
提公因式法（已学习）
方法：明确哪个相当于
a
,
哪个相当于
b.
步骤：一变形；二分解
其它方法（未完待续…
）
注意点：1.两平方项且异号；
2.找准公式中的a和b，既可以是单项式又可以是多项式；
3.综合运用，分解彻底。
把一个多项式写成几个整式的积的形式
课堂小结
运用平方差公式法(共16张PPT)
2020
9.5
多项式的因式分解（3）
——
完全平方公式
苏科版七年级下册
数学
复习回顾
1、因式分解：
把一个多项式写成几个整式的积的形式.
2、我们已经学过哪些因式分解的方法？
（1）提公因式法
ma+mb+mc=m(a+b+c)
a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）平方差公式
你能用已学的因式分解的方法分解x2+10x+25吗？
在横线上填上适当的式子，使等式成立。
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
(1)(a+b)2=
(2)(a-b)2=
复习回顾
(3)a2+
+1=
(a+1)2
(4)a2
-
+1=
(a
-
1)2
请观察上面的等式，回答下列问题。
因式分解
(1)(2)两式从左到右是什么变形？
整式乘法
(3)(4)两式从左到右是什么变形？
2a
2a
互逆
(a+b)2
=
a2+2ab+b2
(a-b)2
=
a2-2ab+b2
完全平方公式
+a2+2ab+b2=(a+b)2
-a2-2ab+b2=(a-b)2
探索新知
（1）多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是两个数（或式）的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
+a2+2ab+b2=(a+b)2
-a2-2ab+b2=(a-b)2
因式分解
完全平方公式
我们把a?+2ab+b?、a?-2ab+b?这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
公式左边：（是一个将要被因式分解的多项式）
（1）必须有三项
（2）有两项为平方项，且这两项符号相同
（3）另一项为两数（或式）积的2倍，符号可正可负
公式再认识
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
2
a
b
+b2
±
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
=(首±尾)2
=(a
±
b)?
两个数的平方和加上（或减去）这两个数积的两倍，等于这两个数和（或差）的平方。
（1）a2+6a+9=a2+2·(
)·(
)+(
)2=(
)2
（2）a2-4ab+4b2=a2-2·(
)·(
)+(
)2=(
)2
（3）x2-8xy+16y2
=
x2-2·
(
)
·(
)+(
)2=(
)2
填一填
a
3
3
a+3
a
2b
2b
a-2b
x
4y
4y
x-4y
a2±2ab+b2=(a±b)2
?
判一判
能
不能
判断下列多项式能否利用完全平方公式进行因式分解
不能
不能
能
(1)有三项
(2)有两个平方项且同号
(3)剩下项是两数(或式)积2倍，符号可正可负
判断方法：
不能
(2)
因为4x不是x与2y乘积的2倍
(4)
-ab不是a与b乘积的-2倍
(5)
x2与-9的符号不统一
分析：
(3)
因为只有二项
例题解析
例1、把下列各式分解因式
=
(x+5)2
(1)x2+10x+25
解:原式=x2+2·x·5+52
a2
+
2
·
a
·
b
+
b2
变形成完全平方公
式的形式
（确定公式中的a、b）
用完全平方公式分解因式的一般步骤：
一变形
二分解
（写成(a±b)2的形式）
例题解析
解:原式=(2a)2-
2·
2a
·
9b
+
(9b)2
(2)4a2
-
36ab+81b2
?
a2
-
2
·
a
·
b
+
b2
=（2a
-
9b）2
?
（确定公式中的a、b）
用完全平方公式分解因式的一般步骤：
一变形
二分解
（写成(a±b)2的形式）
归纳小结：这种利用完全平方公式分解因式的方法也称为运用公式法。
(1)(m+n)2-6(m+n)+9
例2、把下列各式分解因式
解:原式=
-
(x2-4xy+4y2)
=
-
[x2-2·x·2y+(2y)2]
=
-
(x-2y)2
把m+n看成一个整体
例题解析
(2)
-
x2
-
4y2+4xy
解:原式=(m+n)2-2·
(m+n)·3+32
当平方项为负号时先提出负号
=(m+n-3)2
解:原式=(3x)2-2·3x·2(x-y)+[2(x-y)]2
=[3x-2(x-y)]2
=(3x-2x+2y)2
(3)9x2-12(x-y)+4(x-y)2
出现中括号时，要将中括号里进行化简
例题解析
=(x+2y)2
注意：
（1）变形成完全平方公式的形式
（2）确定公式中的a、b
（3）公式中的a、b可以表示一个数，也可以表示一个式
(1)解：原式＝3a
(x2＋2xy＋y2)
＝3a
(x
＋
y)2
(2)解：原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2
(1)3ax2+6axy+3ay2
有公因式要先提公因式
要检查分解后的每一个因式能否继续分解。
例3、把下列各式分解因式
例题解析
因式分解的一般步骤:
二套
一提
三查
(2)(a2＋4)2－16a2
（有公因式先提公因式）
（套用公式）
（分解是否彻底）
(1)
解：原式=（100－99)?
=1
(2)
解：原式=342+2×34×16+162
=
(34＋16)2
=
502
(1)1002－2×100×99+99?
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算。
例4、简便计算
例题解析
=2500
(2)342＋34×32＋162
解：a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2
当a+b=5，ab=3时
原式＝3×52=3×25=75
已知a+b=5,ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值。
本题利用因式分解后，整体代入求值。
拓展延伸
解：∵
a2+b2+6a-10b+34=0
已知a2+b2+6a-10b+34=0，
求a、b的值。
2个非负数的和为0，
则这2个非负数都为0.
拓展延伸
∴
a+3=0，
b
-
5=0
∴
(a2+6a+
)+
(b2-10b+
)=0
∴
(a+3)2+
(b
-
5)2=0
∴
a=
-
3，
b
=
5
9
25
∵(a+3)2≥0，(b－5)2≥0，
课堂小结
a2±2ab+b2=(a±b)2
1、完全平方公式：
2、完全平方公式的结构特征：
公式左边：(1)多项式是三项式
(2)有两个同号的平方项
(3)有一个两数（或式)乘积的2倍，符号可正可负
公式右边：两数（或式）的和（或差）的平方
3、因式分解的方法：
4、因式分解的一般步骤:
一提
二套
三查
（1）提公因式法
（2）公式法（平法差公式、完全平方公式）(共15张PPT)
2020
9.5
多项式的因式分解（4）
——十字相乘法
苏科版七年级下册
数学
复习回顾
将下列多项式分解因式：
(1)
3x3-6x2
(2)
4x2-9y2
你能用已学的因式分解的方法分解x2+4x+3吗？
(3)
x2+4x+4
解原式=3x2(x-2)
解原式=
(2x)2-(3y)2
=(2x+3y)
(2x-3y)
解原式=
(x+2)2
因式分解的方法：
1、提公因式法（有公因式）
2、公式法（平方差公式、完全平方公式）
计算以下式子，你能发现什么规律？
复习回顾
?
?
?
?
?
?
x2+(a+b)x+ab
(x+a)(x+b)=
x2+(a+b)x+ab=
(x+a)(x+b)
整式乘法
因式分解
像这种利用十字交叉分解系数，把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
x2+(a+b)x+ab
=
(x+a)(x+b)
?
1
1
a
b
b
+a
?
x2+(a+b)x+ab
公式左边：（是一个将要被因式分解的多项式）
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个因数的积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和
探索新知
公式右边:(是因式分解的结果)
两个含有相同字母的一次二项式的积
=(x+a)(x+b)
二次三项式
例1
步骤：
①竖分二次项系数与常数项
②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
用十字相乘法分解因式
?
?
1
1
4
?
?
?
?
例题解析
?
口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式
例1
用十字相乘法分解因式
?
?
1
1
4
?
?
?
?
例题解析
?
1
1
?
?
?
?
小结：
(1)当常数项为正数时，分解成同号两因数，与一次项系数符号相同。
想一想：常数项分解时，两因数的符号如何快速确定？
例1
用十字相乘法分解因式
?
?
1
1
4
?
?
?
?
例题解析
?
?
1
1
?
?
?
?
小结：
(2)当常数项为负数时，分解成异号两因数，绝对值大的因数与一次项系数符号相同；
想一想：常数项分解时，两因数的符号如何快速确定？
?
?
1
1
?
?
?
?
1
1
?
?
?
?
练一练
用十字相乘法分解因式
解题关键：
（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；
（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数。
x2+4x+3
1
1
?
3
?
?
?
?
?
例题解析
1
1
?
?
?
当二次项系数为-1时，
先提出负号再分解因式
?
例3：用十字相乘法分解因式
?
?
1
1
?
?
?
1
1
?
?
?
?
例题解析
不要漏写字母
a+b看做整体
1
1
?
?
?
?
?
例题解析
1
1
?
?
?
x2看做整体
?
?
=(x+2)(x-2)(x2+5)
注意：因式分解的结果要分解到每一个因式不能分解为止。
1
1
?
5
?
拓展延伸
?
解：整数
m
有4个。
?
?
分析：x2+(a+b)x+ab
=(x+a)(x+b)，a+b=m
，ab=8，
（3）
m
=6，原式=(x+4)(x+2)
8能分解成1×8；（-1）×（-8）；2×4；（-2）×（-4）。
（1）
m
=9，原式=(x+1)(x+8)
拓展延伸
?
变式：关于x的二次三项式x2﹣5x+m在整数范围内能进行因式分解，那么整数m有多少个？
分析：x2+(a+b)x+ab
=(x+a)(x+b)，a+b=-5
，ab=m，
和=-5的情况有：-5=(-1)+(-4)=(-2)+(-3)=1+(-6)=2+(-7)=……
这样的a与b的有很多，因此它们的积有很多。
解：整数
m
有无数个。
1
2
?
?
?
?
?
1
2
?
1
?
拓展延伸
?
?
将下列多项式分解因式
二次项系数不为1
×
√
1
2
?
7
?
?
?
课堂小结
1、十字相乘法公式：
x2+(a+b)x+ab
=
(x+a)(x+b)
①竖分二次项系数与常数项
②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
2、用十字相乘法分解因式的步骤：
3、常数项分解的两因数符号的确定：
①当常数项为正数时，分解成同号两因数，与一次项系数符号相同；
②当常数项为负数时，分解成异号两因数，绝对值大的因数与一次项系数符号相同；
