2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六十九中七年级下学期期中数学试卷（五四学制） （解析版）

2019-2020学年七年级第二学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．x+＝2
B．xy+5＝﹣4
C．3x2+y＝8
D．x+＝2
2．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（　　）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两定确定一条直线
D．三角形的稳定性
3．在下列长度中的三条线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2
cm，3
cm，4
cm
B．2
cm，3
cm，5
cm
C．3
cm，5
cm，9
cm
D．8
cm，4
cm，4
cm
4．若不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则以下数轴表示中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．下列不等式变形正确的是（　　）
A．由a＜b，得ac＜bc
B．由x＞y，且m≠0，得﹣＜﹣
C．由x＞y，得xz2＞yz2
D．由xz2＞yz2得x＞y
7．等腰三角形两边长分别是5cm和12cm，则这个三角形的周长为（　　）
A．17cm
B．22cm或29cm
C．22cm
D．29cm
8．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A＝∠B＝2∠C
D．∠A＝∠B＝∠C
9．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（　　）
A．90°
B．135°
C．120°
D．45°或135°
10．给出下列命题：
①三角形的三条高相交于一点；
②如果一组数据中有一个数据变动，那么它的平均数、众数、中位数都随之变动；
③如果不等式（m﹣3）x＞m﹣3的解集为x＜1，那么m＜3；
④如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角则这个三角形是直角三角形；
其中正确的命题有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二.填空题（每题3分，共计30分）
11．在方程4x﹣y＝7中，如果用含有x的式子表示y，则y＝　
　．
12．已知三角形的两边长分别为2和7，则第三边x的范围是　
　．
13．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为S甲2＝3.6，S乙2＝15.8，则　
　种小麦的长势比较整齐．
14．若方程mx﹣y＝4的一个解是，则m＝　
　．
15．在平面直角坐标系内，点P（m﹣3，m﹣5）在第四象限，则m的取值范围是　
　．
16．如图，AD、CE、BF是△ABC的高，AB＝5，BC＝4，AD＝3，则CE＝　
　．
17．不等式组所有整数解的和是　
　．
18．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为　
　．
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠CDE＝∠BAD，∠CAD＝70°，则∠AED＝　
　．
20．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　
　．
三、解答题（（21、22每题8分，23题6分，24题8分，25题10分，共40分））
21．计算题：
（1）解方程组；
（2）解一元一次不等式﹣2＞并把解集在数轴上表示出来．
22．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝57°，∠ACD＝35°，∠ABE＝19°，求∠BFD的度数．
23．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为　
　，图①中m的值为　
　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
24．某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆车A型车和B型车的售价各多少万元？
（2）甲公司拟向该商店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，购车总费用不超过140万元，则至少购进A型车多少辆？
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，∠BDE＝∠ABC，BE⊥DE于E，BE交AC于点G．
（1）如图1，请写出∠A与∠DBE的数量关系　
　；
（2）如图2，若BF平分∠ABE，∠AFB＝∠EFB，求证：EF⊥AC；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接DF，若F是AC中点，G是FC中点，S△ABF＝S△ADF，S△ADF+S△BCG＝12.8，BG＝ED，求BG的长．
参考答案
一.选择题（每题3分，共计30分）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A．x+＝2
B．xy+5＝﹣4
C．3x2+y＝8
D．x+＝2
【分析】依据二元一次方程的定义求解即可．
解：A、因为分母中含未知数，故不是二元一次方程，故A错误；
B、xy的次数为2，不是二元一次方程，故B错误；
C、未知数x的次数为2，不是二元一次方程，故C错误；
D、x+＝2是二元一次方程，故D正确．
故选：D．
2．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB即可固定，这里所用的几何原理是（　　）
A．两点之间线段最短
B．垂线段最短
C．两定确定一条直线
D．三角形的稳定性
【分析】将其固定，显然是运用了三角形的稳定性．
解：一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：D．
3．在下列长度中的三条线段中，能组成三角形的是（　　）
A．2
cm，3
cm，4
cm
B．2
cm，3
cm，5
cm
C．3
cm，5
cm，9
cm
D．8
cm，4
cm，4
cm
【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．
解：A、2+3＞4，故本选项正确．
B、2+3＝5，故本选项错误．
C、3+5＜9，故本选项错误．
D、4+4＝8，故本选项错误．
故选：A．
4．若不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则以下数轴表示中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】把已知解集表示出数轴上即可．
解：若不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则以下数轴表示中正确的是，
故选：B．
5．如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
解：由图可得，线段BE是△ABC的高的图是D选项．
故选：D．
6．下列不等式变形正确的是（　　）
A．由a＜b，得ac＜bc
B．由x＞y，且m≠0，得﹣＜﹣
C．由x＞y，得xz2＞yz2
D．由xz2＞yz2得x＞y
【分析】根据不等式的性质2性质3，可得答案．
解：A、c＜0时，ac＞bc，故A错误；
B、m＜0时，﹣，故B错误；
C、z＝0时
错误，故C错误；
D、不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故D正确；
故选：D．
7．等腰三角形两边长分别是5cm和12cm，则这个三角形的周长为（　　）
A．17cm
B．22cm或29cm
C．22cm
D．29cm
【分析】因为等腰三角形的两边分别为12和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：当12为底时，其它两边都为5，12、5、5不能构成三角形，
当12为腰时，其它两边为12和5，因为12+5＞12，所以能构成三角形，
所以答案只有29．
故选：D．
8．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C
B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．∠A＝∠B＝2∠C
D．∠A＝∠B＝∠C
【分析】根据三角形的内角和是180°，分别求出每个三角形中∠A、∠B、∠C的度数各是多少，判断出不是直角三角形的是哪个即可．
解：∵∠A+∠B＝∠C，
∴∠C＝180°÷2＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴选项A不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝180°×＝30°，∠B＝30°×2＝60°，∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴选项B不符合题意；
∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴∠C＝180°÷（2+2+1）＝36°，∠A＝∠B＝36°×2＝72°，
∴△ABC不是直角三角形，
∴选项C符合题意；
∵∠A＝∠B＝∠C，
∴∠C＝180°÷（++1）＝90°，∠A＝∠B＝90°×＝45°，
∴△ABC是直角三角形，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
9．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为（　　）
A．90°
B．135°
C．120°
D．45°或135°
【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解．
解：如图：∵AE、BD是直角三角形中两锐角平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝90°÷2＝45°，
两角平分线组成的角有两个：∠BOE与∠EOD这两个角互补，
根据三角形外角和定理，∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝45°，
∴∠EOD＝180°﹣45°＝135°，
故选：B．
10．给出下列命题：
①三角形的三条高相交于一点；
②如果一组数据中有一个数据变动，那么它的平均数、众数、中位数都随之变动；
③如果不等式（m﹣3）x＞m﹣3的解集为x＜1，那么m＜3；
④如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角则这个三角形是直角三角形；
其中正确的命题有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：①三角形的三条高相交于一点，是真命题；
②如果一组数据中有一个数据变动，那么它的平均数、众数、中位数不一定都随之变动，比如，1，3，5，5，6，7．把3改成2，中位数并没有变，众数也没有变，是假命题；
③如果不等式（m﹣3）x＞m﹣3的解集为x＜1，那么m＜3，是真命题；
④如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角则这个三角形是直角三角形，是真命题；
故选：C．
二.填空题（每题3分，共计30分）
11．在方程4x﹣y＝7中，如果用含有x的式子表示y，则y＝　4x﹣7　．
【分析】把x看做已知数表示出y即可．
解：方程4x﹣y＝7，
解得：y＝4x﹣7．
故答案为：4x﹣7
12．已知三角形的两边长分别为2和7，则第三边x的范围是　5＜x＜9　．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
解：根据三角形的三边关系：7﹣2＜x＜7+2，
解得：5＜x＜9．
故答案为：5＜x＜9．
13．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为S甲2＝3.6，S乙2＝15.8，则　甲　种小麦的长势比较整齐．
【分析】根据方差的定义判断．方差越小小麦的长势越整齐．
解：因为S甲2＝3.6＜S乙2＝15.8，方差小的为甲，所以长势比较整齐的小麦是甲．
故填甲．
14．若方程mx﹣y＝4的一个解是，则m＝　　．
【分析】把代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求得m的值．
解：把代入方程，得：4m﹣3＝4，
解得：m＝．
故答案是：．
15．在平面直角坐标系内，点P（m﹣3，m﹣5）在第四象限，则m的取值范围是　3＜m＜5　．
【分析】根据点所处的位置可以判定其横纵坐标的正负，进而能得到关于m的一元一次不等式组，求解即可．
解：∵点P（m﹣3，m﹣5）在第四象限，
∴
解得：3＜m＜5．
故答案为：3＜m＜5．
16．如图，AD、CE、BF是△ABC的高，AB＝5，BC＝4，AD＝3，则CE＝　　．
【分析】根据三角形的面积公式列出CE的方程进行解答便可．
解：∵，
∴，
故答案为：．
17．不等式组所有整数解的和是　﹣3　．
【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案．
解：，
解①得：x＜1，
解②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
故所有整数解为：﹣2，﹣1，0，
则所有整数解的和是：﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
18．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为　54°或126°　．
【分析】根据等腰三角形的性质即可求出答案．
解：当△ABC是锐角三角形时，
∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠A＝54°，
当△ABC是钝角三角形时，
∴∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC+∠ACD＝126°
故答案为：54°或126°
19．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠CDE＝∠BAD，∠CAD＝70°，则∠AED＝　55°　．
【分析】设∠CDE＝x，则∠BAD＝2x，再由三角形内角和定理得出x+∠B的值，根据三角形外角的性质即可得出结论．
解：设∠CDE＝x，则∠BAD＝2x，
∵∠B＝∠C，∠CAD＝70°，
∴∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，即2x+70°+2∠C＝180°，解得x+∠C＝55°．
∵∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝x+∠C＝55°．
故答案为：55°．
20．如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是　4　．
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解答】方法1
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故答案为4．
方法2
设△AFG，△BFG，△BDG，△CDG，△CEG，△AEG的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，S6，根据中线平分三角形面积可得：S1＝S2，S3＝S4，S5＝S6，S1+S2+S3＝S4+S5+S6①，S2+S3+S4＝S1+S5+S6②
由①﹣②可得S1＝S4，所以S1＝S2＝S3＝S4＝S5＝S6＝2，故阴影部分的面积为4．
故答案为：4．
三、解答题（（21、22每题8分，23题6分，24题8分，25题10分，共40分））
21．计算题：
（1）解方程组；
（2）解一元一次不等式﹣2＞并把解集在数轴上表示出来．
【分析】（1）利用加减消元法求解可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
解：（1），
①×3+②，得：10x＝﹣22，
解得x＝﹣，
将x＝﹣代入②，得：﹣+9y＝﹣7，
解得y＝，
∴方程组的解为；
（2）2（5x+1）﹣24＞3（x﹣5），
10x+2﹣24＞3x﹣15，
10x﹣3x＞﹣15﹣2+24，
7x＞7，
x＞1，
将解集表示在数轴上如下：
22．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A＝57°，∠ACD＝35°，∠ABE＝19°，求∠BFD的度数．
【分析】先利用三角形外角的性质求出∠BDC＝92°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．
解：∵∠A＝57°，∠ACD＝35°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝92°，
∵∠ABE＝19°，
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝69°．
23．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为　40　，图①中m的值为　15　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
（Ⅱ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（Ⅲ）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4＝40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；
故答案为：40；15；
（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为＝36；
（Ⅲ）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
则计划购买200双运动鞋，有200×30%＝60双为35号．
24．某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆车A型车和B型车的售价各多少万元？
（2）甲公司拟向该商店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，购车总费用不超过140万元，则至少购进A型车多少辆？
【分析】（1）设每辆车A型车的售价为x万元，每辆车B型车的售价为y万元，根据“上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（6﹣m）辆，根据总价＝单价×数量结合购车总费用不超过140万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小值即可得出结论．
解：（1）设每辆车A型车的售价为x万元，每辆车B型车的售价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元．
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（6﹣m）辆，
依题意，得：18m+26（6﹣m）≤140，
解得：m≥2．
答：至少购进A型车2辆．
25．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC的延长线上，∠BDE＝∠ABC，BE⊥DE于E，BE交AC于点G．
（1）如图1，请写出∠A与∠DBE的数量关系　∠A＝∠DBE　；
（2）如图2，若BF平分∠ABE，∠AFB＝∠EFB，求证：EF⊥AC；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接DF，若F是AC中点，G是FC中点，S△ABF＝S△ADF，S△ADF+S△BCG＝12.8，BG＝ED，求BG的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可．
（2）利用三角形内角和定理证明∠EFG＝∠BCG＝90°即可．
（3）如图3中，连接DG．设△BCG的面积为m．首先证明△ABF的面积为2m，△ADF的面积为3m，△GCD的面积为1.5m，求出△BDG的面积，构建方程解决问题即可．
【解答】（1）解：结论：∠A＝∠DBE．
理由：如图1中，
∵BE⊥DE，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE+∠D＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠A＝∠DBE．
故答案为：∠A＝∠DBE．
（2）证明：如图2中，
∵BF平分∠ABG，
∴∠ABF＝∠FBE，
∵∠AFB＝∠EFB，∠A+∠ABF+∠AFB＝180°，∠FBE+∠EFB+∠FEB＝180°，
∴∠A＝∠FEB，
∵∠A＝∠DBE，
∴∠DBE＝∠FEB，
∵∠CGB＝∠EGF，
∴∠EFG＝∠BCG，
∵∠BCG＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∴EF⊥AC．
（3）解：如图3中，连接DG．设△BCG的面积为m．
∵AF＝FC，FG＝CG，
∴AF＝2CG，
∴△ABF的面积为2m，
∵S△ABF＝S△ADF，
∴△ADF的面积为3m，
∵AF＝2CG，
∴△GCD的面积为1.5m，
∵S△ADF+S△BCG＝12.8，
∴3m+m＝12.8，
∴m＝3.2，
∴△BDG的面积＝3.2+1.5×3.2＝8，
∴?BG?DE＝8，
∵BG＝DE，
∴BG2＝16，
∴BG＝8．