湘教版九年级数学上册 第3章图形的相似达标测试卷（含答案）

第3章达标测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C′等于(　　)
A．20°
B．40°
C．60°
D．80°
2．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则等于(　　)
A.
B.
C.
D．1
3．下列四组线段中，不是成比例线段的为(　　)
A．3，6，2，4
B．4，6，5，10
C．1，，，
D．2，，2
，
4．下列各组图形中有可能不相似的是(　　)
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
5．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，位似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)
A．(2，1)
B．(2，0)
C．(3，3)
D．(3，1)
6．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81.其中正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，为计算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一直线上，若测得BE＝20
m，CE＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB为(　　)
A．60
m
B．40
m
C．30
m
D．20
m
8．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(　　)
A．(6，0)
B．(6，3)
C．(6，5)
D．(4，2)
9．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使OC＝FO，连接AB，AC，BC，则在△ABC中，S△ABO：S△AOC：S△BOC等于(　　)
A．6：2：1
B．3：2：1
C．6：3：2
D．4：3：2
10．已知△ABC的三边长分别为20
cm，50
cm，60
cm，现要利用长度分别为30
cm和60
cm的细木条各一根，做一个与△ABC相似的三角形木架，要求以其中一根为一边，将另一根截下两段(允许有余料)作为另外两边，那么另两边的长度分别为(　　)
A．10
cm，25
cm
B．10
cm，36
cm或12
cm，36
cm
C．12
cm，36
cm
D．10
cm，25
cm或12
cm，36
cm
二、填空题(每题3分，共24分)
11．已知＝＝≠0，则＝________.
12．如图，∠1＝∠2，添加一个条件____________使得△ADE∽△ACB.
13．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC.若S1表示以BC为边的正方形的面积，S2表示长为AD(AD＝AB)、宽为AC的矩形的面积，则S1与S2的大小关系为____________．
　
14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝______，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．
15．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且＝，则＝________．
16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是________步．
17．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为____________．
18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则Sn＝______________(用含n的式子表示，n为正整数)．
三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)
19．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．
　
20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；
(2)计算△A′B′C′的面积．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
22．如图，竖立在B处的标杆AB＝2.4米，在F处的观测者从E处看到标杆顶端A、树顶C在同一条直线上(点F，B，D也在同一条直线上)．已知BD＝8米，FB＝2.5米，EF＝1.5米，求树高CD.
23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．
(1)若△CEF与△ABC相似．
①当AC＝BC＝2时，AD的长为________．
②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为__________．
(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．
24．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.
将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．
(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．
答案
一、1.D　2.B　3.B　4.A　5.A　6.B
7．B　点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
∴＝，即＝.
∴AB＝40
m.
8．B　
9．B　点拨：设AB与OF相交于点M，
∵AF∥OB，
∴△FAM∽△OBM，
∴
＝
＝
＝.
设S△BOM＝S，则S△AOM＝2S，
∵OC＝FO，OM＝FM，
∴OM＝OC.
∴S△AOC＝S△AOM＝2S，
S△BOC＝S△BOM＝S.
∴S△ABO：S△AOC：S△BOC＝3：2：1.
10．D　点拨：如果从30
cm长的一根中截，那么60
cm长的一根只能作为最长边，而△ABC的最长边也为60
cm，且另两边长之和大于30
cm，所以不符合题意．如果从60
cm长的一根中截，设截得的短边和长边的长分别为x
cm，y
cm，那么有三种情况，即20：30＝50：x＝60：y或20：x＝50：30＝60：y或20：x＝50：y＝60：30，解得x＝75，y＝90(x＋y＞60，不符合题意，舍去)或x＝12，y＝36或x＝10，y＝25.故选D.
二、11.
12．∠D＝∠C(答案不唯一)
13．S1＝S2　点拨：∵点C是线段AB的黄金分割点，且BC>AC，
∴BC2＝AC·AB.
又∵S1＝BC2,
S2＝AC·AD＝AC·AB，
∴S1＝S2.
14．2；1：2；1：6
15.
16.　点拨：∵四边形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
设ED＝x步，则CD＝x步，AD＝(12－x)步，
∵DE∥CF，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，∴x＝.
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步．
17.或3　点拨：如图．
∵四边形ABCD为矩形，
?∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝10，
当PD＝AD＝8时，BP＝BD－PD＝2，
∵△PBE∽△DBC，
∴＝，即＝，
解得PE＝，
当P′D＝P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′＝CD＝3，
当PA＝AD时，显然不成立．
故答案为或3.
18.×　点拨：在正三角形ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1.
在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，
根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，
∴＝.∴S1＝S.
同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，….
∵S＝×1×＝，
∴S1＝S＝×，
S2＝S1＝×，S3＝S2＝×，S4＝S3＝×，…，Sn＝×.
三、19.解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.
∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.
∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴＝，
∴x∶7＝12∶6，解得x＝14.
20．解：(1)如图．
(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.
21．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝∠ADC＝90°.
∴△BDE∽△CAD.
(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD＝5.
∵AC＝AB＝13，
∴由勾股定理可知
AD＝＝12.
由(1)中△BDE∽△CAD可知＝，得＝，故DE＝.
22．解：过点E作EH⊥CD交CD于点H，交AB于点G，如图所示．
由题意得，EF⊥FD，AB⊥FD，
CD⊥FD.
∵EH⊥CD，EH⊥AB，
∴四边形EFDH为矩形，
∴EF＝GB＝DH＝1.5米，EG＝FB＝2.5米，GH＝BD＝8米，
∴AG＝AB－GB＝2.4－1.5＝0.9(米)．
∵EH⊥CD，EH⊥AB，∴AG∥CH，
∴△AEG∽△CEH，∴＝，
∴＝，
解得CH＝3.78米，
∴CD＝CH＋DH＝3.78＋1.5＝5.28(米)．
答：树高CD为5.28米．
23．解：(1)①　②或
(2)相似．理由：连接CD交EF于点O.
∵CD是Rt△ABC的中线，
∴CD＝DB＝AB，
∴∠DCB＝∠B，
由折叠知∠COF＝∠DOF＝90°，
∴∠DCB＋∠CFE＝90°，
∴∠B＋∠CFE＝90°.
∵∠CEF＋∠CFE＝90°，
∴∠B＝∠CEF.
在△CEF和△CBA中，∠ECF＝∠BCA，∠CEF＝∠B，
∴△CEF∽△CBA.
24．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.
∵点D，E分别是边BC，AC的中点，
∴BD＝4，AE＝EC＝AC.
∵∠B＝90°，
∴AC＝＝4
，
∴AE＝CE＝2
，
∴＝＝.
当α＝180°时，如图①，
易得AC＝4
，CE＝2
，CD＝4，
∴＝＝＝.
(2)无变化．
证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.
在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
∴＝仍然成立．
∵∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD.∴＝.
由(1)可知AC＝4
.
∴＝＝.∴＝.
∴的大小不变．
(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4
；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又知DE＝2，∴AE＝6.
∵＝，∴BD＝.
综上，BD的长为4
或.