(共15张PPT)
第三章
图形的相似
3.4
相似三角形的判定与性质
第3课时
相似三角形的判定
——利用边角的关系
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
相似三角形的判定定理
2
相似三角形的判定定理2的应用
根据所学知识，完成下列内容.
猜想图中相似的三角形有哪些
?
(②和④)
1
知识点
相似三角形的判定定理2
我们学习过判定三角形全等的
SAS
方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢?
知1－导
任意画
△ABC
与△A′B′C′，使∠A＝∠A′，
(1)
分别度量
∠B
和
∠B′
，∠C
和∠C′
的大小，它们分别相等吗
?
知1－导
(2)
分别量出
BC
和
B′
C′
的长，它们的比等于
k
吗
?
(3)
改变∠A
或
k
的大小，
你的结论相同吗
?
由此你有什么发现
?
(
我发现这两个三角形是相似的)
知1－讲
下面我们来证明：
如图，在
△ABC
与
△A′B′C′
中，已知∠A＝∠A′，
在△A′B′C′
的边
A′B′
上取一点
D
，使A′D
=
AB.
过
点D作DE
∥
B′C′
，交A′C′
于点
E.
∵
DE
∥
B′C′
，
∴
△A′DE∽△A′B′C′
.
∴
知1－讲
又A′D
=
AB
，
∴
∴
A′E
=
AC。
∵∠A＝∠A′，
∴△A′DE≌△ABC
.
∴
△ABC∽△A′B′C′
.
归
纳
知1－讲
由此得到相似三角形的判定定理
2：
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
知1－讲
如图，在△ABC
与△DEF
中，
已知∠C＝∠F＝70°，
AC＝3.5
cm，BC＝2.5
cm，DF＝2.1
cm，EF＝1.5
cm.
求证：△ABC
∽
△DEF.
例1
证明：
∵AC＝3.5
cm，BC＝2.5
cm，
DF＝2.1
cm，EF＝1.5
cm，
∴
∴
又
∠C＝∠F＝70°，
∴
△ABC
∽△DEF
(两边成比例且夹角相等的两个
三角形相似).
总
结
知1－讲
运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角.类似于判定三角形全等的SAS的方法.
2
知识点
相似三角形的判定定理2的应用
知2－讲
如图，在正方形
ABCD
中，
P
是
BC
上的一点，且BP
=3PC
，
Q
是
CD
的中点
.
求证：△
ADQ
∽△
QCP.
例2
解题秘方：
紧扣“边角关系判定三角形相似定理”证明
即可.
知2－讲
证明：设正方形
ABCD
的边长为4a
，则
AD
=
CD
=
BC
=4a
.
∵
Q
是
CD
的中点，
BP
=3PC，
∴
DQ
=
CQ
=2a
，
PC
=
a
.
∴
又∵∠D
=
∠C
=90
°，
∴△
ADQ
∽△
QCP
.
总
结
知2－讲
利用两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：
先找出两个三角形中相等的那个角；
再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；
最后看这两组对应边是否成比例，若成比例，则两个三角形相似，否则不相似.
相似三角形的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
完成与本课教学内容相对应的习题(共15张PPT)
第三章
图形的相似
3.4
相似三角形的判定与性质
第4课时
相似三角形的判定
——利用三边的关系
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
三边成比例的两个三角形相似
网格上相似三角形的判定
根据所学知识，完成下列内容.
右图中全等的三角形有哪些
?
(
①和③
)
你的判断依据是什么?
(
三条边对应相等的
两个三角形全等
)
1
知识点
三边成比例的两个三角形相似
我们学习过判定三角形全等的
SSS
方法，能不能通过三边来判定两个三角形相似呢?
知1－导
任意画
两个三角形△ABC
与△A′B′C′，使△ABC
的边长是△A′B′C′
的边长的
k
倍.
分别度量
∠A和∠A′，
∠B
和
∠B′
，∠C
和∠C′
的大小，它们分别相等吗
?
由此你有什么发现
?
(
我发现这两个三角形是相似的)
知1－讲
下面我们来证明：
如图，在
△ABC
与
△A′B′C′
中，已知
在△A′B′C′
的边
A′B′
上取一点
D
，使A′D
=
AB.
过
点D作DE
∥
B′C′
，交A′C′
于点
E.
∵
DE
∥
B′C′
，
∴
△A′DE∽△A′B′C′
.
∴
知1－讲
又
A′D
=
AB
，
∴
A′E
=
AC
，DE=BC.
∴△A′DE≌△ABC
.
∴
△ABC∽△A′B′C′
.
归
纳
知1－讲
由此得到相似三角形的判定定理
3：
三边成比例的两个三角形相似.
知1－讲
判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
例1
知1－讲
解：
在△ABC
中，AB＞BC＞CA，
在△DEF
中，
DE＞EF＞FD.
∵
∴
∴
△DEF
∽△ABC
.
总
结
知1－讲
由三边成比例判定两三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.
应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，用大边对大边，小边对小边的思路找对应边.
2
知识点
网格上相似三角形的判定
知2－讲
图a、图b
中小正方形的边长均为1，则图
b
中的哪一个三角形
(
阴影部分
)
与图
a
中的△ABC
相似?
例2
解题秘方：
利用网格的特征用勾股定理求各边的长，紧扣
“三边成比例的两个三角形相似”判断
.
图a
图b
知2－讲
解：易知
AC
=
，
BC
=2，
AB
=
.
图
b①中，三角形的三边长分别为
1，
，
；
图
b②中，三角形的三边长分别为
1，
，
；
图
b③中，三角形的三边长分别为
，
，3；
图
b④中，三角形的三边长分别为
，
，
.
∵
∴图
b②中的三角形与图
a
中的△
ABC
相似
.
总
结
知2－讲
利用三边成比例判定两三角形相似的方法：
①把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；
②分别计算小、中、大三组对应边的比;
③看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.
相似三角形的判定
判定定理3
三边成比例的两个三角形相似.
完成与本课教学内容相对应的习题(共14张PPT)
第三章
图形的相似
3.4
相似三角形的判定与性质
第1课时
相似三角形的判定
---利用平行线
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
平行线判定三角形相似定理
相似三角形性质的应用
观察下图中图形的构成，试着发现它们的规律.
得到图形是否与原图形相似
?
1
知识点
平行线判定三角形相似定理
如图，在
△ABC
中，D
为AB上任意一点.
过点
D
作BC
的平行线
DE，交
AC
于点
E.
(1)
△ADE
与△ABC
的三个角分别相等吗?
(2)
分别度量△ADE
与△ABC
的边长，它
们的边长是否对应成比例
?
(3)
△ADE
与△ABC
之间有什么关系
?
平行移动
DE
的位置，你的结论还成立吗?
知1－导
知1－讲
下面我们来证明：
在△
ADE
与△ABC
中，∠A
=∠A.
∵
DE
∥
BC
，
∴
∠
ADE
=∠B
，
∠
AED
=∠C
.
如图，过点
D
作DF∥
AC
，交
BC
于点F
.
∵DE
∥
BC
，DF
∥
AC
，
∴
知1－讲
∵
四边形
DFCE为平行四边形，
∴DE
=
FC
.
∴
∴
△
ADE
∽△ABC
.
知1－讲
由此得到如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
知1－讲
如图所示，已知在
□ABCD
中，E
为
AB
延长线上的一点，AB
=
3BE，DE
与
BC
相交于点
F，
请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
例1
解题秘方：紧扣“平行线截三角形相似
的两种基本图形：‘A’型
和‘
X
’型”进行查找
.
知1－讲
解：
∵四边形ABCD
是平行四边形，
∴
AB∥CD
，AD∥BC，
∴△BEF
∽△CDF
，△BEF
∽△AED.
∴△BEF
∽△CDF
∽△AED
.
∴△BEF
∽△CDF
，相似比
△BEF
∽△AED
，相似比
△CDF
∽△AED
，相似比
2
知识点
相似三角形性质的应用
知2－讲
本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它
通过平行证三角形相似，
再由相似证对应角相等、
对应边成比例.
知2－讲
如图
，在?ABCD
中，
AE
=
EB
，
AF
=2，则
CF
=
_______.
例2
解题秘方：掌握平行线截三角形相似的定理和相似三角
形的对应边成比例是解题的关键.
4
知2－讲
解：
在?ABCD
中，
AB∥
CD
，
AB
=
CD
.
∴
△AEF
∽△CDF
.
∴
∵
AE
＝
EB,
∴
∴
又
AF
=2
，∴
CF
=4.
知2－讲
利用成比例线段求线段的长的方法：
对于被平行线所截形成“A”型或“X”型的图形，当所求的线段或已知线段在平行的边上时，通常考虑通过证三角形相似，再利用相似三角形的对应边的比相等构建包含已知与未知线段的比例式，即可求出线段的长；当所求的线段或已知线段不在平行的边上时，则考虑直接用平行线截线段成比例求线段的长
.
相似三角形的判定
利用平行线判定三角形相似
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.(共15张PPT)
第三章
图形的相似
3.4
相似三角形的判定与性质
第2课时
相似三角形的判定
---利用角的关系
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
用两角对应相等判定两三角形相似
用直角三角形判定两三角形相似
观察大家手中的三角板，试着发现它们的规律.
1
知识点
用两角对应相等判定两三角形相似
我们通过观察三角板发现，其中有同样两个锐角
(
30°与60°，或45°与45°)
的两个三角板大小可能不相同，但它们看起来是相似，你能给出一个较为确定的推论吗?
(
两个角对应相等
的两个三角形相
似)
知1－导
知1－讲
如图，在△ABC
和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，∠B
＝∠B′.
在△A′B′C′中的边A′B′上取一点D，使A′D=AB.过
点D作DE∥B′C′，交A′C′
于点E.
在△A′DE与△ABC中，
∵∠A＝∠A′，
A′D
＝
AB，
∠A′DE＝∠B′
＝∠B，
∴
△A′DE
≌
△ABC.
根据所学知识，试着证明你的推论.
知1－讲
又DE∥
B′C′，
∴△A′DE∽△A'B'C'.
∴△ABC
≌
△A'B'C'.
知1－讲
由此得到相似三角形的判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似
.
知1－讲
如图，在△
ABC
中，
AD
是∠
BAC
的平分线，
AD
的垂直平分线交
AD
于点
E
，交
BC
的延长线于点F
.
连接
AF.
求证：△
ABF
∽△
CAF
.
例1
解题秘方：
紧扣“两组对应角相等的两三角形相似”
证明.
由于∠
BFA
是公共角，因此只需说明∠B
=
∠4
即可.
知1－讲
证明：
∵
EF
垂直平分
AD
，
∴
AF
=
DF
.
∴∠FAD
=
∠3.
∵
AD
是∠
BAC
的平分线，
∴∠1
=
∠2.
又∵∠B
=
∠3－∠1
，∠4
=
∠FAD－∠2
，
∴∠B
=
∠4.
又∵∠BFA
=
∠AFC
，
∴△ABF
∽△CAF
.
知1－讲
由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角.一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角（等角）的余角（补角）、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
2
知识点
用直角三角形判定定两三角形相似
知2－讲
如图，在
Rt△ABC
中，∠C
=
90°，AB
=
10，AC
=
8.
E
是
AC
上一点，AE
=
5，ED⊥AB，垂足为D.
求
AD
的长.
例2
知2－讲
解：
∵
ED⊥AB，
∴∠EDA=90°.
又∠C=90
°，∠A=∠A，
∴
△AED
∽△ABC.
∴
∴
知2－讲
由相似三角形的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，那么这两个直角三角形相似.
相似三角形的判定
判定定理1
两边分别相等的两个三角形相似.
完成与本课教学内容相对应的习题(共27张PPT)
第三章
图形的相似
3.4
相似三角形的判定与性质
第5课时
相似三角形的性质
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
相似三角形对应线段的比
相似三角形周长的比
相似三角形面积的比
两个三角形相似，除了它们的对应角相等，对应边成比例等性质外，相似三角形还有哪些性质呢?
1
知识点
相似三角形对应线段的比
知1－导
如图，已知△ABC
∽△A′B′C′，AH，
A′H′分别为对应边BC，B′C′上的高，那么
吗?
知1－导
∵△ABC
∽△A′B′C′
，
∴∠B=∠B′.
又∠AHB=∠A′H′B′
=90°，
∴
△ABH∽△A′B′
H′.
∴
类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的
比也等于相似比.
解：
归
纳
知1－讲
由此得到，相似三角形对应高的比等于相似比.
知1－讲
对应中线、角平分线的比也等于相似比
k
.
如图，△ABC
∽△A′B′C′，相似比为k，类比对应高的关系，说说它们对应中线、对应角平分线的比是多少?
归
纳
知1－讲
由此得到，
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
知1－讲
如图
，在△ABC
中，
AD是
BC
边上的高，矩形EFGH
内接于△
ABC
，且长边
FG
在
BC
上，
AD
与
EH
的交点为
P
，矩形相邻两边的比为
1
∶
2.
若
BC
=30
cm
，
AD
=10
cm
，求矩形EFGH
的周长
.
例1
将求矩形周长问题转化
为相似三角形对应高的
比求解
.
解题秘方：
知1－讲
解：
设
HG
=
x
cm
，则
EH
=2x
cm.
易得
AP
⊥
EH
，
PD=HG.
∵
AD
=10
cm
，
∴
AP
=
(10－x
)
cm.
∵四边形
EFGH
为矩形，
∴
EH
∥
BC
.
∴△
AEH
∽△
ABC
.
∴
解得
x
=6.
∴
HG
=6
cm
，
EH
=12
cm.
∴矩形
EFGH
的周长为
36
cm.
总
结
知1－讲
对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似三
角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线.
2
知识点
相似三角形周长的比
知2－讲
根据相似三角形的特点和已经学习的知识，想一想相似三角形的周长比是多少?
(
相似三角形的周长比等于相似比
k
)
知识点
知2－讲
根据所学知识，试着证明你的猜想.
已知：如图，△ABC和△
A′B′C′中，△ABC∽△A′B′C′，
相似比为k．
求证：△ABC和△
A′B′C′的周长比是k.
知2－讲
∵△ABC
∽△A′B′C′
，相似比为
k.
∴
∴AB=kA′B′
，BC=kB′C′
，CA=kC′A′
，
∴
=
k.
证明：
归
纳
知2－讲
相似三角形周长的比等于相似比.
知2－讲
如果两个相似三角形的相似比是
3
∶
2，它们的周长差为8，那么较大的三角形的周长为
________.
例2
解题秘方：
紧扣“相似三角形周长的比等于相似比”列方程
求解
.
解：设较大的三角形的周长为
x
，则较小的三角形的周长
为
x－8.
∵这两个相似三角形的相似比为
3
∶
2
，
∴这两个三角形的周长比为
3
∶
2
，
∴
解得
x
=24.
24
总
结
知2－讲
用方程求解周长的思路:
当问题中出现两个相似三角形的周长差求周长时，一般先将两个三角形的周长都用含未知数的代数式表示，再根据“相似三角形周长的比等于相似比”列方程，解方程即可解决问题
.
3
知识点
相似三角形面积的比
知3－讲
如图，已知△ABC
∽△A′B′C′，相似比为
k，则S△ABC
:S△A′B′C′的值是多少呢?
知3－讲
解：分别作BC，B′C′边上的高AD，A′D′，则
因此，
归
纳
知3－讲
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
知3－讲
如图，△
ABC
∽△
A′B′C′，BC
=6，B′C′=4，AD⊥BC，
AD
=4，求△
A′B′C′的面积
.
例3
利用“相似三角形面积的比等于相似比的平方”
求解
.
解题秘方：
知3－讲
解：
∵
△
ABC
∽△
A′B′C′，
相似三角形的性质
对应高的
比
相似三角形对应高的比等于相似比.
对应中线的
比
对应角平分线的
比
周长的
比
面积的
比
相似三角形对应中线的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应角
平分线的比为
(
)
A.3∶2
B.3∶5
C.9∶4
D.4∶9
已知△ABC∽△A′B′C
′，CD是AB
边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD=4
cm，C′D′=10
cm，AE是△ABC的一条高，AE=4.8
cm，求△A′B′C′
中对应高A′E′的长.
A
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′
是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线，
∴
即
∴
A′E′=12
cm.
已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长
分别为20
cm和25
cm，且BC=5
cm，DF=4
cm，
求EF和AC的长.
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴
∴
同理可得
∴
完成与本课教学内容相对应的习题
