人教版八年级下册数学 18．2．3 正方形 教案（含同步练习 有答案）

18.2.3
正方形
教案
【学习目标】
1．探索并掌握正方形的概念及特征，并学会识别正方形．
2．能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．
【基础知识概述】
1．正方形定义：
(1)有一组邻边相等并且有—个角是直角的平行四边形叫做正方形．
(2)正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有—个角是直角的菱形．
(3)既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
2．正方形的特征：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．
(1)边——四边相等、邻边垂直、对边平行．
(2)角——四角都是直角．
(3)对角线——①相等；②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角．
(4)是轴对称图形，有4条对称轴．
3．正方形的识别方法：
(1)一组邻边相等的矩形是正方形．
(2)—个角是直角的菱形是正方形．
4．正方形与矩形、菱形、平行四边形的关系：
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图12-2-13．
5．正方形的面积：
正方形的面积等于边长的平方或者等于两条对角线乘积的一半．
【例题精讲】
例1
如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F．试说明AP＝EF．
分析：由PE⊥BC，PF⊥CD知，四边形PECF为矩形，故有EF＝PC，这时只需证AP＝CP，由正方形对角线互相垂直平分知AP＝CP．
解：连结AC、PC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD垂直平分AC，
∴AP＝CP．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∴AP＝EF．
注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等．
②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中．
思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF．
提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN．
又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE，
而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF．
例2
如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形．
解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AB，同理，DF∥BC，
∴BEDF是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴DE＝DF．
又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是正方形．
思考：还有没有其他方法？
提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得)
注意：灵活选择正方形的识别方法．
例3
如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．
分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算．在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系．在(1)图中，△ABE和△DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角∠AEB与∠DEC都是15°，则∠BEC为30°．而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，△ABE和△DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角∠AEB和∠DEC为75°，再利用周角可求得∠BEC＝150°．
解：(1)当等边△ADE在正方形ABCD外部时，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，所以∠AEB＝15°．同理可得∠DEC＝15°，则∠BEC＝60°－15°－15°＝30°．
(2)当等边△ADE在正方形ABCD内部时，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，所以∠AEB＝75°．同理可得∠DEC＝75°，则∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°．
【中考考点】
会用正方形的性质来解决有关问题，并能用正方形的定义来判断四边形是否为正方形．
【命题方向】
本节出题比较灵活，填空题、选择题、证明题均可出现．
正方形是特殊的平行四边形，考查正方形的内容，实质上是对平行四边形知识的综合，涉及正方形知识的题型较多，多以证明题形式出现．
【常见错误分析】
已知如图12-2-18，△ABC中，∠C＝90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFH和正方形BCED，HM⊥BA的延长线于M，DK⊥AB的延长线于K．试说明AB＝DK＋HM．
错解：延长DK到S，使KS＝HM，连结SB．
∵∠2＝∠3，∠2＋∠4＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°．
在△ABC和△SDB中，
∵∠ACB＝∠SBD＝90°，
BC＝BD，
∠2＝90°－∠4＝∠5
∴△ABC与△SDB重合，
∴AB＝SD＝SK＋DK，
即AB＝HM＋DK．
分析指导：由于S、B、C三点共线未经证明，所以∠2＝∠3的理由是不充足的，因此又犯了思维不严密的错误．
正解：如图12-2-18，延长DK交CB延长线于S，下面证KS＝MH．
在△ACB和△SBD中，
∵BD＝BC，∠SBD＝∠ACB＝90°，
又∠2＝∠3＝∠5，
∴△ACB与△SBD重合，
∴AB＝DS，BS＝AC＝AH．
在△BKS和△AMH中，
∵∠1＝∠2＝∠3，∠AMH＝∠SKB＝90°，BS＝AH，
∴△BKS与△AMH重合，
∴KS＝HM，
∴AB＝DK＋HM．
【学习方法指导】
正方形是最特殊的平行四边形，它既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形，所以它的性质最多，易混淆．故最好把平行四边形、矩形、菱形、正方形列表写出它们的定义、性质、判定，这样更容易记忆和区分．
【同步达纲练习】
一、填空题
1．正方形既是________相等的矩形，又是有一个角是________的菱形．
2．正方形ABCD中，对角线AC＝24，P是AB边上一点，则点P到对角线AC、BD的距离和为________．
3．已知对角线AC、BD相交于O，
(1)若AB＝BC，则是________；
(2)若AC＝BD，则是________；
(3)若∠BCD＝90°，是________；
(4)若OA＝OB，则是________；
(5)若AB＝BC，且AC＝BD，则是________．
4．在边长为2的正方形中有一点P，那么这个点P到四边的距离之和是________．
5．如图12-2-19，正方形ABCD的面积等于，正方形DEFG的面积等于，则阴影部分的面积S＝________．
6．如图12-2-20，下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形由n个正方形组成，通过观察可以发现：
(1)第4个图形中火柴棒的根数是________；
(2)第n个图形中火柴棒的根数是________．
7．已知E、F为正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF＝50°，则∠CME＋∠CNF＝________．
二、解答题
8．如图12-2-21所示，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，求∠AFC的度数．
9．如图12-2-22，已知正方形ABCD中，BE∥AC，AE＝AC，试说明CE＝CF．
10．如图12-2-23，正方形ABCD中，AC与BD相交于O，E、F分别是DB、BD延长线上的点，且BE＝DF，试说明∠E＝∠F．
11．如图12-2-24所示，点G是边长为4的正方形ABCD边上的一点，矩形DEFG的边EF过点A，已知DG＝5，求FC的值．
参考答案
【同步达纲练习】
1．邻边，直角
2．12
3．(1)菱形
(2)矩形
(3)矩形
(4)矩形
(5)正方形
4．4
5．
6．(1)13
(2)3n＋1
7．100°
8．在正方形ABCD中，∠ACB＝45°(正方形的每条对角线平分一组对角)．已知AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，所以∠CAE＋∠E＝45°，所以∠E＝22.5°．因为∠DCE＝90°，∠AFC＝∠DCE＋∠E＝90°＋22.5°＝112.5°．
9．过点E作EG⊥AC于G，连结BD，
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴EG∥BD．
又AC∥BE，
∴四边形EGOB是矩形，
∴EG＝BO．
∵BD＝AC，
∴，
∴∠EAG＝30°．
∵△ACE是等腰三角形，
∴．
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB＝45°．
∵∠CFE＝∠EAC＋∠FCA＝30°＋45°＝75°，
即∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE．
10．提示：易知OF＝OE，且AC⊥BD于O，
∴AC为EF的中垂线，
∴EC＝CF，
∴∠E＝∠F．
11．连结AG，过点A作AH⊥GD，过点G作GP⊥AD，垂足分别为H、P，易知AH＝FG，PG＝AB，所以依题意有，即，所以AH＝3.2，即FG＝3.2．