(共15张PPT)
第25章
图形的相似
第2课时
平行线分线段
成比例的应用
名师点金
利用平行线证比例式或等积式的方法：
当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行线为一组(两条以上)时，可直接利用平行线分线段成比例的基本事实证明；若平行线只有两条时，则利用平行线分线段成比例的基本事实的推论证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线段时，则利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进行论证．
1
类型
证比例式
技巧1
中间比代换法证比例式
如图，已知在△ABC中，点D，
E，F分别是边AB，AC，BC上
的点，DE∥BC，EF∥AB，
(1)求证：
(2)AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB的值．
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB为平行四边形．∴DE＝BF.
∵DE∥BC，
∴
∵EF∥AB，∴
又∵DE＝BF，
∴
∴
(1)证明：
∵AD∶DB＝3∶5，
∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，
∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.
∵EF∥AB，
∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.
(2)解：
技巧2
等积代换法证比例式
如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，连接BF，求证：
证明：∵DE∥BC，∴
∴PD·PC＝PE·PB.
∵DF∥AC，∴
∴PD·PC＝PF·PA.
∴PE·PB＝PF·PA.
∴
证明：∵EF∥CD，
∴
∵DE∥BC.
∴
∴
技巧3
等比代换法证比例中项
如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
求证：
技巧4
平行法证比例式
4．如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，
△ABC与△DCE都是等边三角形．其中线段BD
交AC于点G，线段AE交CD于点F，连接GF.
求证：(1)△ACE≌△BCD；
(2)
(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD.
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
证明：
(2)∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠AEC.
又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE
＝60°＝∠FCE，CD＝CE，
∴△GCD≌△FCE(ASA)．
∴CG＝CF.
∴△CFG为等边三角形．
∴∠CGF＝∠ACB＝60°.
∴GF∥CE.
∴
2
类型
证线段相等
技巧5
等比例过渡法证线段相等(等比例过渡法)
5.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，
点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，
CF∥BA交DE的延长线于点F.
求证：DE＝EF.
证明：∵DE∥BC，∴
∵点D为AB的中点，
∴AD＝DB，即
∵CF∥BA，
∴
∴DE＝EF.
3
类型
证比例和为1
技巧6
同分母的中间比代换法
6.
如图，已知AC∥FE∥BD，求证：
∵AC∥EF，
∴
①.
又∵FE∥BD，
∴
②
.
①＋②，得
即
证明：(共33张PPT)
第25章
图形的相似
25.2
平行线分线段成比例
第1课时
算平行线分线段成比例的基本事实及推论
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例的基本事实推论1
平行线分线段成比例的基本事实推论2
1.什么是线段的比?
2.什么是成比例线段?
3.你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，
使得这两部分的比是2
∶
3?
1
知识点
平行线分线段成比例的基本事实
问
题
1.在下图中，所有已知条件如前所述，结合下列条件回答：
线段AB，BC之间具有什么关系?
等于多少?
相等吗?
请说明理由.
(1)在图(1)中，d1＝1，d2＝2.
(2)在图(2)中，d1＝2，d2＝3.
知1－导
知1－导
2.猜想：在图25-2-1中，
相等吗?
事实上，经过观察、测量、验证等过程，我们发现：
一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比，都等于
它们所对应的两条平行线之间的距离之比.
知1－导
基本事实 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线
段成比例.
知1－讲
1.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平
行线所截，截得的对应线段成比例．
数学表达式：如图，
∵l3∥l4∥l5，
∴
可简记为：
知1－讲
要点精析：
(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组
平行线上的线段无关；
(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等．
2.易错警示：当被截的两条直线相交时，其交点处可看
作含一条隐形的平行线．
知1－讲
如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )
A.
B.
C.
D.
例1
C
知1－讲
导引：
本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形
主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线
段即可判断．
根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例
的基本事实可得解．
∵
AB∥CD∥EF，
∴
故选项A，B，
D正确．
∵CD∥EF，∴
故选项C错误.
知1－讲
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从
两个方面获取信息：一是位置角之间的关系(同位角相
等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关
系，即平行线分线段成比例．?
知1－练
1 如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝2，BC＝3，DE=1，则EF的值为( )
A．
B．
C．6
D．
知1－练
2
【中考·杭州】如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，
E，F，若
等于( )
A.
B.
C.
D．1
知1－练
3
【中考·舟山】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则
的值为( )
A.
B．2
C.
D．
2
知识点
平行线分线段成比例的基本事实推论1
知2－导
已知：如图25-2-3，直线EF平行于△ABC的边BC，与BA，CA(或它们的延长线)分别相交于点E，F.
求证：
知2－导
事实上，对于图25-2-3(1)的情形，如图25-2-4(1)，
过点A作PQ∥EF，那么PQ//EF//BC.依据平行线分线段
成比例的基本事实，即得
知2－导
因为
所以
对于图25-2-3(2)的情形，如图25-2-4(2)，同理可得
知2－导
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延
长线)，所得的对应线段成比例.
知2－讲
1.数学表达式：如图，
∵DE∥BC，
∴
2.要点精析：
(1)本推论实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组
平行线中的一条过三角形一顶点，一条在三角形一边
上的一种特殊情况．
(2)成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段．
知2－讲
已知：如图，在△ABC中，EF∥BC，EF与两边AB，AC分别相交于点E，F.
求证：
例2
知2－讲
证明：
∵EF∥BC,
∴
如图，过点
E作EG∥AC，
EG与边BC相交于点G，
则
∵EF∥BC，EG∥AC，
∴四边形EGCF为平行四边形，从而GC＝EF.
知2－讲
利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求线
段长时，关键要扣住由平行线截得的线段间的对应关
系，相同位置的线段写在相同的位置上．
知2－练
1 如图，已知AB∥EF∥CD，若AB＝6cm，CD＝9cm，BF＝7cm.则BC＝________．
知2－练
2
【中考·兰州】如图，在△ABC中，DE∥BC，若
等于( )
A.
B.
C.
D.
知2－练
3 如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例式中不成立的是( )
A．OC∶OD＝OA
∶
OB
B．OC
∶
OD＝OB
∶
OA
C．OC
∶
AC＝OD
∶
DB
D．BD
∶
AC＝OD
∶
OC
3
知识点
平行线分线段成比例的基本事实推论2
知3－导
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，
所截得的三角形与原三角形的对应边成比例．
知3－讲
如图，在△ABC中，EF∥BC，
BC＝9，
则
和EF分别是( )
A.
，3
B.
，6
C.
，9
D．无法确定
例3
A
知3－讲
因为EF∥BC，所以
BC＝9，
所以
所以EF＝3.
答案：A
分析：
知3－讲
本题运用了方程思想解答，利用平行线分线段成
比例基本事实的推论建立有关线段的比例式，通过比
例式把线段的长代入，通过解方程求出线段的长．
知3－练
1
【中考·雅安】如图，在
ABCD中，E在AB上，CE，BD交于F，若AE
∶
BE＝4
∶
3，且BF＝2，则DF＝______.
2 如图所示，在
ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF
∶
CF等于( )
A．1
∶
2
B．1
∶
3
C．2
∶
3
D．2
∶
5
知3－练
平行线除了具备构成“三线八角”相等或互补的功
能外，还可以分线段成比例．利用平行线得线段成比例
的基本思路：
(1)善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“
型”
或“
型”，得到相应的比例式；
(2)平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般
从分点或中点出发作平行线．
完成教材P64习题A组T1-T2，
P67习题A组T1-T2，B组T1-T2
