25.5相似三角形的性质课件（37张ppt)

(共37张PPT)
第25章
图形的相似
25.5
相似三角形的性质
1
课堂讲解
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
相似三角形对应线段的比
相似三角形周长的比
相似三角形面积的比
　　某社区拟筹资金
2000
元，在一块上、下底分别是
10米，
20米的梯形空地上种植花木，他们想在△AMD
和
△BMC地带种植单价为
10
元/平方米的太阳花，当
△AMD
地带种满花后，已花了500元，请预算一下，若
继续在
△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用?
1
知识点
相似三角形对应线段的比
知1－讲
问题
　　如图，△ABC∽
△A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′，AE与A′E′分别为BC，B′C′边上的高和中线，AF与A′F′分别为∠BAC和∠B′A′C′的平分线.
(1)
AD和A′D′的比与相似
比之间有怎样的关系?
请说明理由.
知1－讲
(2)AE和A′E′的比、AF和A′F′的比分别与相似比有怎样的关系?
请说明理由.
　　事实上，两个相似三角形的对应高、对应中线和对
应角平分线的比都等于它们的相似比.
　　下面，我们证明相似三角形对应高的比等于它们的
相似比.
知1－讲
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别为BC，B′C′边上的高.
求证：
知1－讲
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′.
又∵AD⊥BC，
A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴
证明：
知1－讲
探究
1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AE，
A′E′分别为BC，B′C′边上的中线.求证：
2.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AF，
A′F′分别为∠BAC，∠B′A′C′的平分线.
求证：
知1－讲
　　相似三角形的性质定理　相似三角形对应高的比、
对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，
AD＝15，求AG的长.
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴
AD⊥EF.
∴
又∵
AD＝15，∴
∴
AG＝9.
知1－讲
例1
解：
知1－讲
　　本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似
三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比的性质，
熟记性质是解题的关键．
知1－练
1　
已知△ABC∽△A′B′C′
，相似比为2∶3.
(1)如果AD，A′D′分别为这两个三角形的对应高，且AD＝9
cm，求A′D′的长.
(2)如果AE，A′E′分别为这两个三角形的对应中线，且A′E′
＝10
cm，求AE的长.
(3)如果AF，A′F′分别为这两个三角形的对应角平分线，求
的值.
知1－练
2
【中考·
兰州】已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为
，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　　)
A.
B.
C.
D.
知1－练
3　如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，则AF∶AG为(　　)
A．2∶5
B．5∶2
C．5∶1
D．1∶5
2
知识点
相似三角形周长的比
知2－讲
问题
　　某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.
现在的问题是：它的周长是多少？
知2－讲
将上面生活中的问题转化为数学问题是：
如图，已知DE∥BC，AB＝30m，BD＝18m，△ABC
的周长为80m，求△ADE的周长.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴
由比例的性质可
解：
知2－讲
又∵△ADE
的周长＝AD＋AE＋DE，
△ABC的周长＝AB＋AC＋BC，
∴
∴△ADE
的周长＝32米.
知2－讲
　　相似三角形周长的比等于相似比.
知2－讲
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
例2
A
知2－讲
导引：
在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝90°；
在Rt△BCD中，∠BCD＋∠B＝90°，
所以∠BCD＝∠A.
又因为∠B＝∠B，所以△BCD∽△BAC.
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
所以
则△BCD与△ABC的周长比等于相
似比
知2－讲
　　相似三角形周长的比等于相似比在解题时，如果
是相似图形求周长就常用到周长比等于相似比.
知2－练
1　如图，△ABC和△EBD中，　　　　　　　△ABC与△EBD的周长之差为10cm，求△ABC的周长．
知2－练
2
【中考·重庆】△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(　　)
A．1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶16
知2－练
3　已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为(　　)
A．2
B．3
C．6
D．54
3
知识点
相似三角形面积的比
知3－讲
问题
　　相似三角形面积的比，与它们的相似比之间有什么关系呢？
知3－讲
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别
为BC，B′C′边上的高.
(1)△ABC的面积和△A′B′C′的面积的比与他们的相似比
有什么关系?
请说明理由.
知3－讲
因为
所以
即△ABC与△A′B′C′的面积之比等于相似比的平方.
知3－讲
　　相似三角形面积的比等于相似比的平方.
知3－讲
如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点.
求：
(1)△DEF的周长与△ABC的周长之比.
(2)△DEF的面积与△ABC的面积之比.
例3
知3－讲
解：
∵D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，
∴
DE∥AB,
EF∥BC，DF∥AC,
∴△DEF∽△ABC.
∴△DEF的周长与△ABC的周长之比为1∶2，
△DEF的面积与△ABC的面积之比为1∶4.
知3－讲
　　利用相似比求周长和面积时，先确定两个三角形
相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比
等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”
解题.
　　警示：
不要误认为面积的比等于相似比.
知3－练
1
　两个相似三角形的相似比为1∶5,则
(1)这两个相似三角形周长的比为___________.
(2)这两个相似三角形面积的比为___________.
2　△ABC∽△A′B′C′，其相似比为3∶4，△ABC的周长为24
cm.求△A′B′C′的周长.
3
【中考·临夏州】如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是(　　)
A．1∶16
B．1∶4
C．1∶6
D．1∶2
知3－练
4
【中考·云南】如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为(　　)
A．15
B．10
C.
D．5
知3－练
课堂总结
知识方法要点
关键总结
注意事项
相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比的性质
相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
注意相似比是有顺序的
相似三角形的周长和面积比的性质
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
不要误认为面积比等于相似比，更不要根据面积求相似比时，不开方反而平方
方法规律总结
　　当相似三角形的问题中出现高、中线或角平分线
时，要考虑用相似三角形对应高的比、对应角平分线
的比、对应中线的比都等于相似比；当相似三角形中
出现周长或面积时，要考虑用相似三角形的周长比等
于相似比，面积比等于相似比的平方；相似多边形也
有周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性
质，以后也可以直接利用
完成教材P71练习T1-T3
，习题A组T1-T3，
B组T1-T2