沪科版数学九年级上册第22章相似形达标测试卷 含答案

第22章达标测试卷
一、选择题(每题4分，共40分)
1．下面给出的图形是相似图形的有(　　)
A．两张孪生兄弟的照片
B．三角板的内、外三角形
C．行书的“中”与楷书的“中”
D．同一棵树上摘下的两片树叶
2．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则四边形BDEC与△ABC的面积之比为(　　)
A．1：2
B．1：3
C．3：4
D．1：4
3．如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD交CB的延长线于E，则图中一定相似的三角形是(　　)
A．△AED与△ACB
B．△AEB与△ACD
C．△BAE与△ACE
D．△AEC与△DAC
4．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为(　　)
A．(2，1)
B．(2，0)
C．(3，3)
D．(3，1)
5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165
cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为(　　)
A．4
cm
B．6
cm
C．8
cm
D．10
cm
6．如图，为估算某河面的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20
m，CE＝10
m，CD＝20
m，则河的宽度AB等于(　　)
A．60
m
B．40
m
C．30
m
D．20
m
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(　　)
A．(6，0)
B．(6，3)
C．(6，5)
D．(4，2)
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF等于(　　)
A．2
B．2.4
C．2.5
D．2.25
9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC＝2：3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF＝(　　)
A．2：5：25
B．4：9：25
C．2：3：5
D．4：10：25
10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题(每题5分，共20分)
11．假期，爸爸带小明去A地旅游．小明想知道他所居住的城市与A地之间的距离，他在比例尺为1：500
000的地图上测得所居住的城市距A地32
cm，则小明所居住的城市与A地之间的实际距离为________km.
12．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．
13．如图，小明把手臂水平向前伸直，手持小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使其站立在点D处恰好能看到铁塔的顶部B和底部A，设小明的手臂长l＝45
cm，小尺长a＝15
cm，点D到铁塔底部A的距离AD＝42
m，则铁塔的高度是________m.
14．如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正△AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，…，以此类推，则Sn＝________.(用含n的式子表示)
三、解答题(15题～18题，每题8分，19，20题，每题10分，21，22题，每题12分，23题14分，共90分)
15．若＝＝≠0，且3x＋2y－z＝14，求x，y，z的值．
16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
17．如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N(不与A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似？若能，请求出AN的长；若不能，请说明理由．
18．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，分别延长FD和CB交于点G.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
(2)若GB＝2，BC＝4，BD＝1，求AB的长．
19．如图，已知在矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，求的值．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中：
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位长度后的△A1B1C1；
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2BC2，请在网格中画出△A2BC2；
(3)求△CC1C2的面积．
21．如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3
m，沿BD方向行走到达G点，DG＝5
m，这时小明的影长GH＝5
m．如果小明的身高为1.7
m，求路灯杆AB的高度(结果精确到0.1
m)．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝12
cm，BC＝6
cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2
cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1
cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：
(1)当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？
(2)根据四边形QAPC的面积的计算结果，能得出什么结论？
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？
23．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.
将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.
(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．
(2)试判断当0°≤α＜360°时，的值有无变化？请仅就图②的情况给出证明．
(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．
答案
一、1.B　2.C　3.C　4.A　5.C
6．B　点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.
又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
∴＝，即＝.
∴AB＝40
m.
7．B
8．B　点拨：由∠A＝∠ABC＝90°，CF⊥BE，易证△ABE∽△FCB.
∴＝.由AE＝×3＝1.5，
AB＝2，易得BE＝2.5，
∴＝.∴CF＝2.4.
9．D
10．D　点拨：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，
∴∠CAD＋∠FAG＝90°.
∵FG⊥CA，
∴∠G＝90°＝∠ACB.
∴∠AFG＋∠FAG＝90°.
∴∠DAC＝∠AFG.
在△FGA和△ACD中，
∴△FGA≌△ACD(AAS)．
∴AC＝FG.故①正确．
∵BC＝AC，
∴FG＝BC.
∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC.
∴四边形CBFG是矩形．
∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG.故②正确．
∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠ABF＝45°.故③正确．
易知∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC∶AD＝FE∶FQ.
∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC.故④正确．
二、11.160　点拨：设小明所居住的城市与A地之间的实际距离为x
km，根据题意可列比例式为＝，解得x＝160.
12.或3　点拨：由题意得∠ABC＝∠FBP＝90°，∴∠ABP＝∠CBF.当△MBC∽△ABP时，BM:AB＝BC:BP，得BM＝4×4÷3＝；当△CBM∽△ABP时，BM：BP＝CB:AB，得BM＝4×3÷4＝3.
13．14　点拨：过点C作CH⊥AB于点H，交EF于点P，如图，则CH＝DA＝42
m，由题意知，CP＝45
cm＝0.45
m，EF＝15
cm＝0.15
m.
∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠CBA，∠CFE＝∠CAB.
∴△CEF∽△CBA.
∴＝，即＝.
∴AB＝14
m，即铁塔的高度是14
m.
14.×　点拨：在正△ABC中，AB1⊥BC，∴BB1＝BC＝1.在Rt△ABB1中，AB1＝＝＝，
根据题意可得△AB2B1∽△AB1B，记△AB1B的面积为S，∴＝.∴S1＝S.
同理可得S2＝S1，S3＝S2，S4＝S3，…，Sn＝Sn－1.
又∵S＝×1×＝，
∴S1＝S＝×，S2＝S1＝×，
S3＝S2＝×，
S4＝S3＝×，
…，
Sn＝×.
三、15.解：设＝＝＝k(k≠0)，
则x＝2k，y＝3k，z＝5k，
∵3x＋2y－z＝14，
∴6k＋6k－5k＝14，解得k＝2，
∴x＝4，y＝6，z＝10.
16．解：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD，
∴∠D＝∠CBD，∴BC＝CD，
∵BC＝4，∴CD＝4，
又∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，∴＝，
∴AE＝2CE，∵AC＝6＝AE＋CE，
∴AE＝4.
17．解：分两种情况讨论：
(1)若△CDM∽△MAN，则＝.
∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a.
(2)若△CDM∽△NAM，则＝.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a，即N点与B点重合，不符合题意．
∴能在边AB上找一点N(不与A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似，此时AN＝a.
18．(1)证明：∵AB∥FC，
∴∠A＝∠ECF.
又∵∠AED＝∠CEF，
且DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
(2)解：方法一　∵AB∥FC，
∴∠GBD＝∠GCF，∠GDB＝∠F.
∴△GBD∽△GCF.
∴＝.
∴＝.
∴CF＝3.
由(1)得△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝3.
∴AB＝AD＋BD＝3＋1＝4.
方法二　如图，取BC的中点H，连接EH.
∵△ADE≌△CFE，∴AE＝CE.
∴EH是△ABC的中位线．
∴EH∥AB，且EH＝AB.
∴∠GBD＝∠GHE，∠GDB＝∠GEH.∴△GBD∽△GHE.
∴＝.∴＝.
∴EH＝2.∴AB＝2EH＝4.
19．解：∵BF⊥AC，
∴∠ACB＋∠CBF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCF＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AD＝BC.
∴∠CAB＋∠ACB＝90°.∴∠CAB＝∠CBF.
∴△FCB∽△CBA.∴CF:CB＝CB:AB，
又∵＝，
∴CF:CB＝CB:AB＝AD:AB＝1:2.
∴FC:AB＝1:4.
∵FC∥AB，∴△FCE∽△BAE.
∴＝＝＝.
20．解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)如图，△CC1C2的面积为×3×6＝9.
21．解：根据题意得AB⊥BH，CD⊥BH，FG⊥BH.
在Rt△ABE和Rt△CDE中，
∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，
可证得△CDE∽△ABE.
∴＝
，①
同理得＝，②
又∵CD＝FG＝1.7
m，
由①②可得
＝，
即＝，
解之得BD＝7.5
m，
将BD＝7.5
m代入①得
AB＝5.95
m≈6.0
m.
故路灯杆AB的高度约为6.0
m.
22．解：(1)由题意知AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t，当QA＝AP时，
△QAP是等腰直角三角形，
∴6－t＝2t，解得t＝2.
∴当t＝2时，△QAP是等腰直角三角形．
(2)四边形QAPC的面积＝S△QAC＋S△APC＝AQ·AB＋AP·BC＝(36－6t)＋6t＝36.由计算结果发现：在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．
(3)分两种情况：
①当＝时，△QAP∽△ABC，则＝，即t＝1.2；
②当＝时，△PAQ∽△ABC，则＝，即t＝3.
∴当t＝1.2或t＝3时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．
23．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.∵∠B＝90°，
∴AC＝＝4
，
∴AE＝CE＝2
，
∴＝＝.
当α＝180°时，如图①，
易得AC＝4
，CE＝2
，CD＝4，
∴＝＝＝.
(2)无变化．
证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.
如题图②，∵△EDC在旋转过程中的形状和大小不变，
∴＝仍然成立．
又∵∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD.∴＝.
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4
.
∴＝＝.∴＝.
∴的值无变化．
(3)当△EDC在BC的上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4
；当△EDC在BC的下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，
∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.
综上，BD的长为4
或.