人教版九年级数学上册 21.1一元二次方程 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
21.1
一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
【学习目标】
1．使学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项．
2．会判断一个数是否是一元二次方程的根．
3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．
【学习重点】
理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．
【学习难点】
在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．
没有未知数
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
2x+3
5x+6=22
x+3y=8
x-5＜18
代数式
一元一次方程
二元一次方程
不等式
分式方程
复习引入
想一想：什么叫一元二次方程呢？
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
100cm
50cm
x
3600cm2
解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得
化简，得
一元二次方程的概念
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解：根据题意，列方程：
化简，得：
该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？
问题3
在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？
32
20
x
1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面______m2，纵向小路的面积是
m2,两者重叠的面积是
m2.
32x
2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？
整理以上方程可得：
思考：
2×20x
32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570
2x2
x2-36x＋35=0
③
32
20
x
想一想：
还有其它的列法吗？试说明原因.
(20-x)(32-2x)=570
32-2x
20-x
32
20
方程①、②、③都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
x2-36x＋35=0
③
观察与思考
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,
a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
ax2+bx
+c
=
0(a
,
b
,
c为常数,
a≠0)
ax2
称为二次项,
a
称为二次项系数.
bx
称为一次项,
b
称为一次项系数.
c
称为常数项.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
知识要点
想一想
为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c
可以为零吗？
当
a
=
0
时
bx＋c
=
0
当
a
≠
0
，
b
=
0时
，
ax2＋c
=
0
当
a
≠
0
，
c
=
0时
，
ax2＋bx
=
0
当
a
≠
0
，b
=
c
=0时
，
ax2
=
0
总结：只要满足a
≠
0
，b
，
c
可以为任意实数.
含两个未知数
例1
下列选项中，关于x的一元二次方程的是（
）
C
不是整式方程
化简整理成
x2-3x+2=0
少了限制条件
a≠0
提示
判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
典例精析
判断下列方程是否为一元二次方程？
(2)
x3+
x2=36
(3)x+3y=36
(5)
x+1=0
?
?
?
?
?
?
?
?
(1)
x2+
x=36
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2
(2)
(a－1)x
|a|+1
－2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
(2)由∣a
∣+1
=2，且a-1
≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程(2a-4)x2－2bx+a=0,
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解（1）当
2a－4≠0，即a
≠2
时是一元二次方程
（2）当a=2
且
b
≠0
时是一元一次方程
一元一次方程
一元二次方程
一般式
相同点
不同点
思考：一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b
(a≠0）
ax2+bx+c=0
(a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
解：
去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是
-8；常数项是-10.
注意
系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程的根
一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程
x2
–
x
–
6
=
0
的解?
-4
,-3
,
-2
,-1
,0
,1,2,3
,4
解：
3和-2.
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
例4：已知a是方程
x2+2x－2=0
的一个实数根,
求
2a2+4a+2018的值.
解：由题意得
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
1.
下列哪些是一元二次方程？
√
×
√
×
×
√
3x+2=5x-2
x2=0
(x+3)(2x-4)=x2
3y2=(3y+1)(y-2)
x2=x3+x2-1
3x2=5x-1
当堂练习
2.填空：
方程
一般形式
二次项系数
一次项系数
常数项
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
4.已知方程5x?+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值为
_______．
3.关于x
的方程(k2－1)x2
＋
2
(k－1)
x
＋
2k
＋
2＝0,
当k
　　　时，是一元二次方程．
当k
　　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
5.(1)
如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）.
解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为
3x2
cm2.
整理，得
根据题意有，
200cm
150cm
(2)
如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x
整理，得
根据题意有，
6.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0
9+4a=0
4a=-9
7.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0
有一个根为0，求m的值.
二次项系数不为零不容忽视
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m
=
±2.
∵
m+2
≠0，
∴
m
≠-2，
综上所述：m
=2.
拓广探索
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0)一个根为1,
求a+b+c的值.
解：由题意得
思考:1.若
a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
解：由题意得
∴方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根是1.
2.
若
a-b
+c=0,4a+2b
+c=0
，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的一个根吗?
x=2
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2.
一般形式
ax2+bx+c=0
(a
≠0)
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
根
使方程左右两边相等的未知数的值.
课堂小结