人教版九年级数学上册 21.2.2公式法 课件（32张）

(共32张PPT)
21.2
解一元二次方程
第二十一章
一元二次方程
21.2.2
公式法
学习目标
【学习目标】
1．理解一元二次方程求根公式的推导．
2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．
【学习重点】
求根公式的推导和公式法的应用．
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
复习引入
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
导入新课
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般形式
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
讲授新课
合作探究
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a≠0).
方程两边都除以a
解:
移项，得
配方，得
即
问题：接下来能用直接开平方解吗？
即
一元二次方程的求根公式
特别提醒
∵a
≠0,4a2>0，
当b2-4ac
≥0时，
∵a
≠0,4a2>0，
当b2-4ac
＜0时，
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0
(a≠0)
，当b2-4ac
≥0
时，将a，b，c
代入式子
就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
注意
用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
公式法解方程
例1
用公式法解方程
5x2-4x-12=0
解：∵a=5,b=-4,c=-12，
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
典例精析
例2
解方程：
化简为一般式：
解：
即
：
这里的a、b、c的值是什么？
例3
解方程：
（精确到0.001）.
解：
用计算器求得：
例4
解方程：4x2-3x+2=0
因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根.
解：
公式法解方程的步骤
1.变形:
化已知方程为一般形式;
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
3.计算:
b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac
≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
要点归纳
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
判别式的情况
根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“
”表示，即
=
b2-4ac.
>
0
=
0
<
0
≥
0
一元二次方程根的判别式
按要求完成下列表格：
练一练
的值
0
4
根的
情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
根的判别式使用方法
2.计算
的值，确定
的符号.
要点归纳
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是(
)
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
b2
-
4ac
>
0时,方程有两个不相等的实数根.
b2
-
4ac
=
0时,方程有两个相等的实数根.
b2
-
4ac
<
0时,方程无实数根.
方法归纳
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即
，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
B
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9;
(3)
7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0,
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
例7:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3)
7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0,
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程有两个相等的实数根．
1.解方程：x2
+7x
–
18
=
0.
解：这里
a=1,
b=
7,
c=
-18.
∵
b
2
-
4ac
=7
2
–
4
×
1×
(-18
)
=121>0,
即
x1
=
-9,
x2
=
2
.
当堂练习
2.
解方程（x
-
2)
(1
-
3x)
=
6.
解：去括号
，得
x
–2
-
3x2
+
6x
=
6,
化简为一般式
3x2
-
7x
+
8
=
0,
这里
a
=
3,
b
=
-7
,
c
=
8.
∵b2
-
4ac
=(-7
)2
–
4
×
3
×
8
=
49–96
=
-
47
<
0,
∴原方程没有实数根.
3.
解方程：2x2
-
x
+
3
=
0
解：
这里
a
=
2
,
b
=
-
,
c
=
3
.
∵
b2
-
4ac
=
27
-
4×2×3
=
3
>
0
,
∴
即
x1=
x2=
4.关于x的一元二次方程
有两个实根，则m的取值范围是
.
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解：
∴
5.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+
=0;
(3)
x2-x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+
=0,a=1,b=-1,c=
.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×
=0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程无实数根．
(3)
x2-x+1=0.
6.不解方程，判别关于x的方程
的根的情况.
解：
所以方程有两个实数根．
在等腰△ABC
中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC
的三边长为4，4，5，
其周长为4+4+5=13.
能力提升
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（
Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式
课堂小结