(共16张PPT)
勾股定理的逆定理
1、理解勾股定理的逆定理。
2、了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题。
3、应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学
习
目
标
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c。
结论：a2+b2=c2。
问题1：回忆勾股定理的内容。
形
数
旧
知
回
顾
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（13）
（12）
（11）
（10）
（9）
命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
猜想：
这个命题和前面学的命题1（勾股定理）之间有什么关系吗？
1.题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题。
2.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
命题2是正确的吗？你能试着证明吗？
（1）画一画：下面这组数中的两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这三个数为边长画出三角形（单位：cm），看一看，它是直角三角形吗？3,4,5。
（2）量一量：用量角器分别测量上述三角形的最大角的度数。
（3）想一想：请判断这个三角形的形状，并提出猜想。
实验操作：
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，求证：∠C=90°。
证明：作Rt△A'B'C'，使∠C'=90°，A'C'=b，B'C'=a。
∴△ABC≌△A'B′C′
（SSS）
∴∠C=∠C′=90°。
探索证明
A
C
a
B
b
c
由勾股定理得：
因此命题2是正确的。
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理
a
b
c
定理与逆定理
一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理是另一个定理的逆定理。
解：（1）∵152+82=225+64=289，172=289，∴152+82=172。
∴以15，8，17为边长的三角形是直角三角形。
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15，b=17，c=8。
（2）a=13，b=15，c=14。
像15，17，8
这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
例题解析
（2）不是勾股数。
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上。“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16
n
mile，“海天”号每小时航行12
n
mile。它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30
n
mile。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
R
S
Q
P
E
N
解：根据题意画图，如图所示：
PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，
QR=30。
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°。
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS=45°。
∴∠RPS=45°，即“海天”号沿西北方向航行。
R
S
Q
P
E
N
1、说出下列命题的逆命题。思考一下，这些命题的逆命题是真命题吗？
（1）两条直线平行，内错角相等。
逆命题：内错角相等，两直线平行。真命题。
（2）对顶角相等。
逆命题：相等的角是对顶角。假命题。
（3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。真命题。
任何一个命题都有逆
命题；原命题是真命题，其
逆命题不一定是真命题。
小试牛刀
2、如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且
。求证：∠AEF=90°。
A
B
C
D
E
F
拓
展
训
练
1、勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
2、本节课我们学习了原命题，逆命题等知识，你能说出它们之间的关系吗？
3、在探究勾股定理的逆定理的过程中，我们经历了哪些过程？
谢
谢(共17张PPT)
17.2勾股定理的逆定理(复习)
知识点一????互逆命题与互逆定理
名称
定义
关系
互逆命题
如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题
(1)命题有真有假,而定理都是真
命题.
(2)每个命题都有逆命题,但不是
所有的定理都有逆定理
互逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理
知识回顾
知识点二????勾股定理的逆定理
定义
解题步骤
勾股定理
的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c满足a
2+b2=c2,那么这个三角形是直角
三角形
(1)先比较a,b,c的大小,找出最大边长;(2)计算两较小边长的平方和以及最大边长的平方;
(3)比较计算结果,若相等,则是直角三角形,并且最长边所对的角是直角;若不相等,则不是直角三角形
知识点三????勾股数
名称
定义
举例
勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数
常见的勾股数有:3,4,5或5,12,13或8,15,17或7,24,25或9,40,41等
判断方法
(1)确定三个正整数a,b,c;
(2)确定最大数c;
(3)判断较小两数的平方和a2+b2是否等于c2
例1 写出下列两个命题的逆命题,并判断真假.
(1)在一个三角形中,等角对等边;
(2)四边形的内角和是360°.
分析????找出命题的题设和结论?交换题设和结论?判断命题的真假
解析????(1)逆命题:在一个三角形中,等边对等角,真命题.
(2)逆命题:内角和等于360°的多边形是四边形,真命题.
方法归纳 写出一个命题的逆命题的关键是分清原命题的题设和结论,然
后将题设和结论交换位置,即得逆命题,判断一个命题是真命题需证明,判
断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.有些命题不容易确定题设和
结论,一般写成“如果……,那么……”的形式.
经典例题
2.(2018福建莆田二十五中期末)若一个三角形的三边长之比为8︰15︰17,
则它为 ????三角形.
答案 直角
解析????设三边长分别为8k,15k,17k(k>0),则(8k)2+(15k)2=289k2=(17k)2,由勾股
定理的逆定理,可判断此三角形为直角三角形.
例3 下列几组数中,是勾股数的有?( )
①0.6,0.8,1;②32,42,52;③6,8,10;④?,?,?.
A.1组 ????B.2组
C.3组 ????D.4组
解析 ①中的数不全是正整数,④中的数都不是正整数;②中(32)2+(42)2≠
(52)2;③中6,8,10刚好是勾股数3,4,5的2倍.故只有③是勾股数.
答案????A
题型一????利用勾股定理的逆定理判断三角形形状
例1 如图17-2-1,E,F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点,且AB=4,CE
=?BC,F为CD的中点,连接AF,AE,EF,问:△AEF是什么三角形?请说明理由.
?
图17-2-1
分析????由“AB=4,CE=?BC,F为CD的中点”,可以求出CE,BE,CF,DF的长,
从而利用勾股定理求出AF,EF,AE的长,进而利用勾股定理的逆定理判断出
△AEF的形状.
常见题型
解析????∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD=AB=BC=4,∠B=∠D=∠C=90°.
∵CE=?BC,F为CD的中点,
∴CE=1,BE=3,CF=DF=2,
∴AE=?=5,EF=?=?,AF=?=2?.
又∵(?)2+(2?)2=52,∴EF2+AF2=AE2,∴△AEF是直角三角形.
题型二????利用勾股定理及其逆定理解决综合问题
例2 某校把一块三角形的废地开辟为植物园,如图17-2-2所示,测得AC=80
m,BC=60
m,AB=100
m.
(1)若入口E在边AB上,且与A,B的距离相等,求入口E到A点的距离;
(2)若线段CD是一条小渠,且点D在边AB上,则当点D距点A多远时,水渠的
长度最短?
?
图17-2-2
解析 (1)∵AC=80
m,BC=60
m,AB=100
m,
∴AC2+BC2=802+602=6
400+3
600=1002=AB2,
∴△ABC为直角三角形,且AB为斜边.
又∵AE=EB,
∴AE=?AB=?×100=50(m).
故入口E到A点的距离为50
m.
(2)由题意知,当CD⊥AB时,CD最短.
∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴S△ABC=?×100CD=?×80×60,
∴CD=48
m.
在Rt△ACD中,∵AC2=AD2+CD2,
∴802=AD2+482,
∴AD=64
m.
故当点D距点A
64
m时,水渠的长度最短.
点拨 用数学知识解决问题的关键是运用数学建模思想,将实际问题转化
为数学问题,这里特别注意弄清实际生活语言与数学语言间的关系.
1.(2019河南郑州外国语学校开学考试)下列命题的逆命题为真命题的是?
( )
A.如果a=b,那么a2=b2
B.无理数是无限小数
C.对顶角相等
D.两直线平行,同旁内角互补
答案????D????A.逆命题为如果a2=b2,那么a=b,为假命题;B.逆命题为无限小数
是无理数,是假命题;C.逆命题为相等的角是对顶角,是假命题;D.逆命题为
同旁内角互补,两直线平行,是真命题,故选D.
过关斩将
2.下列四组数:(1)0.6,0.8,1;(2)5,12,13;(3)8,15,17;(4)4,5,6.其中是勾股数的组
数为?( )
A.1 ????B.2
C.3 ????D.4
答案????B (1)中各数不全是正整数;(2)中52+122=132;(3)中82+152=172;(4)中42+
52≠62.故有2组勾股数.
3.(2017天津红桥期中)如图17-2-2,四边形ABCD中,AB=4
cm,BC=3
cm,CD=
12
cm,DA=13
cm,且∠ABC=90°,则四边形ABCD的面积为?( )
?
图17-2-2
A.6
cm2 ????B.30
cm2
C.24
cm2 ????D.36
cm2
答案????C 如图,连接AC,∵∠ABC=90°,AB=4
cm,BC=3
cm,∴AC=5
cm,
∵CD=12
cm,DA=13
cm,∴AC2+CD2=52+122=169=132=DA2,
∴△ADC为直角三角形,
∴S四边形ABCD=S△ACD-S△ABC=?AC·CD-?AB·BC
=?×5×12-?×4×3=30-6=24(cm2).故选C.
4.(2019山东滨州一模,10,★★☆)△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25.在△ABC
内有一点P到各边的距离相等,则这个距离为?( )
A.1 ????B.2 ????C.3 ????D.4
答案????C ∵△ABC中,AB=7,BC=24,AC=25,
∴AB2+BC2=72+242=252=AC2,
∴∠ABC=90°,连接AP,BP,CP.
过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为E,F,G.
设PE=PF=PG=x,
则S△ABC=?AB·x+?AC·x+?BC·x=?(AB+BC+AC)·x=?×56x=28x,
又S△ABC=?AB·CB=84,
∴28x=84,
解得x=3.故选C.
