北师大版 数学 九年级 上册 1．2矩形的性质与判定（3）课件 （共26张PPT）

(共26张PPT)
1.2矩形的性质与判定(3)
第一章
教学目标
巩固矩形的性质定理和判定定理；
01
02
认识矩形的性质定理和判定定理的区别；
03
会综合应用矩形的性质定理和判定定理解决实际问题.
一、复习回顾
矩形具有对称性；
矩形的四个角是直角；
矩形的对角线相等.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
性质
判定
一、复习回顾
概念
性质
判定
概念
性质
判定
应用
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°（矩形的四个角都是直角），
AC=BD（矩形的对角线相等）.
AO=CO=
AC,
BO=DO=
BD（矩形的对角线相互平分）.
∴AO=BO=DO=
BD
二、典例分析
例3.如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
A
D
B
C
E
O
图1-14
又∵ED=3BE，
∴ED=OE.
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
∴AE=
AD=
×6=3.
二、典例分析
例3.如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
已知矩形，得到结论，是矩形的性质！
A
D
B
C
E
O
图1-14
又∵AE⊥BD，
∴AB=AO=BO,
∴△AOB是等边三角形.
二、典例分析
例4.已知：如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
连接DE交AC于F.求证：四边形ADCE为矩形.
图1-15
证明：∵AD是平分∠BAC,
AN平分∠CAM，
∴∠CAD=
∠BAC,∠CAE=
∠CAM.
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE
=
(∠BAC+∠CAM)
=
×180°
,
=90°.
A
B
C
E
N
D
M
二、典例分析
∴四边形ADCE为矩形
(有三个角是直角的四边形是矩形).
图1-15
A
B
C
E
N
D
M
在△ABC中，
∵AB=AC，AD是平分∠BAC.
∴CD⊥BC.
∴∠ADC=90°.
∵CE⊥AN，
∴∠CEA=90°.
证明四边形是矩形，是矩形的判定！
三、实践探究
图1-16
在例4中，连接DE,交AC于点F(如图1-16).
(1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结论.
A
B
C
E
N
D
M
F
解：四边形ABDE的是平行四边形.理由如下：
∵四边形ADCE为矩形.
∴AE∥BC,
AE=DC.
在△ABC中，
∵AB=AC，AD是平分∠BAC.
∴BD=DC=AE.
∴四边形ABDE的是平行四边形.
三、实践探究
图1-16
A
B
C
E
N
D
M
F
在例4中，连接DE,交AC于点F(如图1-16).
(2)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结论.
解：DF=
AB，DF∥AB.理由如下：
∵四边形ADCE为矩形.
∴AF=FC.(矩形的对角线互相平分).
又∵BD=DC，
∴DF是△ABC的中位线.
∴DF=
AB，DF∥AB.
注意：线段间的关系包括数量、位置两种关系.
四、随堂练习
1.已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，点M、N分别为AD、BC的中点.求证：四边形BMDN是矩形.
证明：∵△ABD和△BCD是两个全等的正三角形，
∴AD=BD=AB=BC,∠ADB=∠DBC=60?，
∴MD∥BN.
A
B
D
C
M
N
又∵M为AD中点，
∴MD=
AD，MB⊥AD，
∴∠DMB=90?.
四、随堂练习
1.已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，点M、N分别为AD、BC的中点.求证：四边形BMDN是矩形.
同理BN=
BC，
∴MD=BN，
∴四边形BMDN是平行四边形.
A
B
D
C
M
N
又∵∠DMB=90?，
∴□BMDN是矩形（矩形的定义）.
证矩形可通过
证平行四边形.
四、随堂练习
2.在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠ACB=30?，BD=4，求矩形ABCD的面积.
A
D
B
C
O
解：∵四边形ABCD中是矩形,
∴∠ABC=90?（矩形的四个角是直角），
AC=BD=4（矩形的对角线相等），
又∵∠ACB=30?，
∴AB=
AC=2，
∴
∴S矩形ABCD=AB?BC=
30°角所对的直角边是斜边的一半.
四、随堂练习
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作BD的垂线,垂足为E.
已知∠EAD=3∠BAE,求∠EAO的度数.
A
D
B
C
E
O
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90?，AC=BD,
OA=CO=
AC,OB=DO=
BD,
∴OA=OB，
∵∠EAD=3∠BAE，
∴4∠BAE=90?，∴∠BAE=22.5?，
四、随堂练习
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作BD的垂线,垂足为E.
已知∠EAD=3∠BAE,求∠EAO的度数.
A
D
B
C
E
O
∵AE⊥BD，
∴∠ABE=90??∠BAE=67.5?，
∴∠BAO=67.5?，
∴∠EAO=∠BAO?∠BAE=67.5??22.5?=45?.
矩形中存在等腰三角形.
四、随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
B
A
C
E
D
证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BC，AE=BD.
∵D为BC中点，
∴CD=BD.
∴CD∥AE，CD=AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
四、随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形.求证：四边形ADCE是矩形.
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC,即∠ADC=90?，
∴□ADCE是矩形（矩形的定义）.
∴CD∥AE，CD=AE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
B
A
C
E
D
用到等腰三角形三线合一的性质.
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
A
B
D
C
E
F
解：EF为折痕.连接CE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°,
AD=BC=8cm，DC=AB=6cm.
∴
∵折叠后点C与点A重合，
∴AC⊥EF,OC=
AC=5cm.∴AE=EC.
O
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
A
B
D
C
E
F
设AE=EC=xcm.
∴ED=(8-x)cm.
∵ED2+DC2=EC2,
∴(8-x)2+62=x2
∴
∴
O
四、随堂练习
5.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长.
A
B
D
C
E
F
O
在△AOE和△COF中，
∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF=
∴折痕EF=
折叠问题中会有相等的边，相等的角，中垂线.
四、随堂练习
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F.
求PE+PF的值.
A
B
D
C
E
F
O
P
解：连接OP,如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC,
OB=OD,
AC=BD,∠ABC=90?.
∴S矩形ABCD=AB?BC=12,
四、随堂练习
2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F.
求PE+PF的值.
A
B
D
C
E
F
O
P
∴
OA=OD=2.5
，
S△AOD=
S矩形ABCD=3,
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP
=
OA?PE+
OD?PF
=
OA(PE+PF)
=1.25×(PE+PF)=3，
∴PE+PF=2.4.
等面积法.
五、课堂小结
矩形具有对称性；
矩形的四个角是直角；
矩形的对角线相等.
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
性质
判定
1.如何区分用矩形的性质还是判定？
矩形的对边平行且相等；
矩形的对角线互相平分.
五、课堂小结
2.整体把握
概念
性质
判定
应用
概念
性质
判定
应用
六、作业布置
完成练习册上习题.
同学们，再见！