人教A版高中数学必修四1.2.2《同角三角函数基本关系》“三导五步”导学案

“三导五步”课堂教学
高中数学必修4导学案
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§1.2.2　同角三角函数的基本关系
班别：
姓名：
学号：
学习小组：
【预学案】
【学习目标】
（1）能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；
（2）熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法；
（3）灵活运用同角三角函数的两个关系式解题，提高学生分析、解决三角的思维能力。
(?http:?/??/?www.zxxk.com?)重点：同角三角函数的基本关系式及求值
(?http:?/??/?www.zxxk.com?)
难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用.
【自主学习】
1．任意角的三角函数定义设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为
(?http:?/??/?www.zxxk.com?)
，那么：，，。
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tanα的符号分别是怎样的？
(?http:?/??/?www.zxxk.com?)
3．背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；
(?http:?/??/?www.zxxk.com?)
4．问题:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即
.
根据三角函数的定义,当时,有
.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切。
同角三角函数的基本关系式：
平方关系
商数关系
sin2α＋cos2α＝1
＝tan
α
(α≠kπ＋，k∈Z)
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切
[理解]
1．sin2α＋cos2α＝1，
＝tan
α
是三角函数中两个最基本的关系式，它们揭示了“同角”的三角函数的运算规律．公式中α是任意的，如sin22α＋cos22α＝1，tan
3α＝都是成立的．
2．当已知一个角的某一种三角函数值时，利用两个关系式就可以求出这个角的另外两个三角函数值．用平方关系时注意符号的选取．
3．除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形式：
sin2α＋cos2α＝1
?
sin2α＝1－cos2α
?
cos2α＝1－sin2α；
tan
α＝
?
sin
α＝tan
α·cos
α.
【自学检测】
1、已知α是第四象限角，cos
α＝，则sin
α等于(　　)
A.
B．－
C.
D．－
2、已知α∈(，π)，sin
α＝，则cos
α等于(　　)
A.　　　
B．－
C．－
D.
3、已知，则的值等于
。
4、化简：
。
§1.2.2　同角三角函数的基本关系
导学案
编制人：曹树建
审核人：黎木礼、巴明凰
课时安排：1
使用班级：高一（2）
班别：
姓名：
学号：
学习小组：
【课堂检测】(独立完成，限时6分钟)
1．已知sin
α
＝－，且α∈，则cos
α＝________。
2．若cos
α＝－，且α∈(π，)，则tan
α＝________。
3．化简(1＋tan2α)·cos2α等于(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
4、化简sin2＋sin2β－sin2sin2β＋cos2cos2β=
。
【拓展探究】（小组合作，讨论学习）
探究1
　已知三角函数值中的一个求其他两个三角函数值
例:
已知cos
α＝－，求sin
α和tan
α。
[类题通法]
已知三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)若已知sin
α＝m，可以先应用公式cos
α＝±，求得cos
α的值，再由公式tan
α＝求得tan
α的值．
(2)若已知cos
α＝m，可以先应用公式sin
α＝±，求得sin
α的值，再由公式tan
α＝求得tan
α的值．
(3)若已知tan
α＝m，可以应用公式tan
α＝＝m?sin
α＝mcos
α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos
α＝±，sin
α＝±的值．
探究2
化切求值
例
已知tan
α＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－3sin
αcos
α＋4cos2α.
[类题通法]
化切求值的方法技巧
(1)已知tan
α＝m，可以求或的值，将分子分母同除以cos
α或cos2α，化成关于tan
α的式子，从而达到求值的目的．
(2)对于asin2α＋bsin
αcos
α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan
α的式子，从而可以求值．
【当堂训练】(独立完成，限时8分钟)
1、已知tan
α＝，且α是第三象限角，则sin
α
＝______
,
cos
α=________.
2、化简：(1)=__________；
(2)(θ是第二象限角)=________．
3、已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2.
【课外拓展】
1．已知sin
α＝，且α是第二象限角，则tan
α的值是(　　)
A．－
B.
C．－
D.
2．已知tan
θ＝－，则的值是(　　)
A.
B．3
C．－
D．－3
3．若＝2，则sin
θcos
θ的值是(　　)
A．－
B.
C．±
D.
4、已知sinαcosα
=,则cosα－sinα的值等于
5．已知sin
θ－cos
θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝______________.
6、已知是第三象限角，且，则
7、若是方程的两根，则的值为
8．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin
θ和cos
θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及θ的值．
【学后反思】
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
§1.2.2　同角三角函数的基本关系
参考答案
自学检测
1、B
2、B
3、3/4
4、sin
a
课堂检测
拓展探究
探究1
例1：[解]
sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，
因为cos
α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，
当α是第二象限角时，sin
α＝，tan
α＝＝－；
当α是第三象限角时，sin
α＝－，tan
α＝＝.
探究2
例2
解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
当堂训练
1、答案：sin
α＝－；cos
α＝－
2、答案：(1)cos
θ　(2)－sin
θcos
θ
3、解：由＝－1，得tan
α＝.
(1)＝＝＝－.
(2)sin2α＋sin
αcos
α＋2
＝sin2α＋sin
αcos
α＋2(cos2α＋sin2α)
＝
＝
＝＝.
课外拓展
1、【答案】C
2、【答案】C
【解析】＝＝＝－.故选C.
3、【答案】B【解析】由＝2，得＝2，∴tan
θ＝3，∴sin
θcos
θ＝＝＝.故选B.
4、
5、【答案】【解析】sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ，由sin
θ－cos
θ＝，得1－2sin
θcos
θ＝，∴sin
θcos
θ＝.∴sin4θ＋cos4θ＝1－2×＝.
6、
7、
8、解：因为已知方程有两根，
所以
(1)＋＝＋＝＝sin
θ＋cos
θ＝.
(2)对①式两边平方，得1＋2sin
θcos
θ＝，
所以sin
θcos
θ＝.
由②，得＝，所以m＝.
由③，得m≤，所以m＝.
(3)因为m＝，
所以原方程为2x2－(＋1)x＋＝0.
解得x1＝，x2＝，
所以或
又因为x∈(0,2π)，所以θ＝或θ＝.
附加：
探究3
例3　
(1)化简tan
α·，其中α是第二象限角；
(2)求证：＝.
[思路点拨]　(1)先由α为第二象限角确定出sin
α，cos
α的符号，再利用同角基本关系式去掉根号进行化简；
(2)利用sin2α＋cos2α＝1求证，也可用作差变形法求证．
[类题通法]
1．化简三角函数式常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化成正弦函数、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号中的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
2．利用同角三角函数关系式证明时，要熟悉公式．方法有从左至右、从右至左或从两侧证明等于同一式，还有左右相减、证差为零的方法．
探究3
例3
解：　(1)因为α是第二象限角，
所以sin
α＞0，cos
α＜0.?
(2分)
故tan
α＝tan
α＝tan
α＝
·||＝·＝－1.?
(6分)
(2)证明：法一：sin2α＋cos2α＝1?1－cos2α＝sin2α
?(1－cos
α)(1＋cos
α)＝sin
α·sin
α
?＝.?
(12分)
法二：－
＝
＝＝＝0，
∴＝.?
(12分)
O
x
y
P
M
1
A(1,0)