人教A版数学必修4第一章1.2.2 同角三角函数基本关系 教案

1.2.2
同角三角函数的基本关系
一、教学目标
1．理解同角三角函数的基本关系式．
2．会运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
二、课时安排
1课时
三、教学重点
理解同角三角函数的基本关系式．
四、教学难点
运用平方关系和商的关系进行化简、求值和证明．
五、教学过程
（一）情景导入
哲学中有个命题：任何事物之间都存在着某种联系，联系是普遍存在的．比如蝴蝶效应，在南美洲亚马孙河流域的热带雨林中，一只蝴蝶偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风．这从一个侧面说明事物的普遍联系性．既然这样，作为三角函数的正弦、余弦、正切函数也具有联系吗？它们具有怎样的关系？这些关系又有哪些应用呢？
（二）讲授新课
探究：之间有何关系？
在直角三角形OMP中由勾股定理得
由正切函数定义很容易得到：
平方关系:
商数关系:
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
“同角”二层含义:一是”角相同”,二是”任意”一个角.
在的终边上任取一点，它与原点的距离是，则角的三角函数的值是：
，，
由三角函数定义我们可以看到：
同角三角函数的基本关系式总结如下：
①平方关系：
②商数关系：
（三）重难点精讲
题型一、求值
例1、已知cosα＝－，求sinα和tanα的值．
[分析]
需分α是第二象限角与第三象限角讨论．
[解析]　∵cosα＝－<0，
∴α是第二或第三象限角．
当α是第二象限角时，sinα＝＝，tanα＝＝－；
当α是第三象限角时，sinα＝－＝－，tanα＝＝.
[点评]　(1)基本三角关系式sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R成立；＝tanα仅在α≠kπ＋(k∈Z)时成立．不论哪种情况，我们都称它们为三角恒等式．也就是这些关系式是它们各自定义域上的恒等式，即当a取使关系式都有意义的任意值时，关系式两边的值都相等，以后所说的恒等式，就是指这个意义下的恒等式．
(2)若角α的象限未确定，需对α分象限进行讨论．
(3)本题解题中常见的错误是求sinα时忽视符号的讨论，或注意到了分象限讨论，应用公式tanα＝时，又多加上了符号：α是第二象限时，tanα<0，∴tanα＝－.
练习1、已知sinα＝，并且α是第三象限的角，求cosα、tanα的值．
[分析]　先考虑利用平方关系求出cosα，再利用商数关系求出tanα.
[解析]　∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝.
又∵α是第三象限角，∴cosα<0
即cosα＝－＝－，
∴tanα＝＝×(－)＝－.
例2、已知tanα＝3.
(1)求sinα和cosα的值．
(2)求的值．
(3)求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
[分析]　tanα＝3，即sinα＝3cosα，结合sin2α＋cos2α＝1，解方程组可求出sinα和cosα；对于(2)，注意到分子分母都是sinα与cosα的一次式，可分子分母同除以cosα化为tanα的表达式；对于(3)，如果把分母视作1，进行1的代换，1＝sin2α＋cos2α然后运用(2)的方法，分子分母同除以cos2α可化为tanα的表达式，也可以将sinα＝3cosα代入sin2α＋cos2α＝1中求出cos2α，把待求式消去sinα，也化为cos2α的表达式求解．
[解析]　(1)tanα＝3＝>0，
∴α是第一或第三象限角．
当α是第一象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有
.
当α是第三象限角时，结合sin2α＋cos2α＝1，有
.
(2)∵tanα＝3，∴＝＝.
(3)∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1，
∴原式＝
＝
＝＝＝1.
[点评]　已知tanα＝m.求sinα(或cosα)时，可结合平方关系sin2α＋cos2α＝1解方程组求解；求分子、分母都是sinα与cosα的同次(k次)表达式的值时，常用分子、分母同除以coskα化切求解，分母是1的用1＝sin2α＋cos2α代换，求sinα与cosα的整式表达式的值时，常利用sinα＝mcosα化为cos2α的表达式求解．
题型二、化简
例3、化简下列各式：
(1)；(2).
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
(1)中含有二次根式．
(2)中所含角α的三角函数次数相对较高，且分子、分母含常数“1”．解答本题中的(1)、(2)时应充分利用“sin2α＋cos2α＝1”这一条件．
[解析]　(1)原式＝＝＝＝－1.
(2)方法一：原式＝＝＝.
方法二：原式＝
＝
＝＝.
方法三：原式＝
＝
＝＝＝.
规律总结：(1)所谓化简，就是将表达式经过某种变形，从而使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．
(2)第(2)题的三种方法虽然思路不同，但都是应用公式sin2α＋cos2α＝1，方法二和方法三都是顺用公式，而方法一则是逆用公式，三种方法中以方法一最简单．这里所谓逆用公式sin2α＋cos2α＝1，实质就是“1”的三角代换：“1＝sin2α＋cos2α”，“1＝tan”等等，“1”的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用．
练习2、已知α是第三象限角，化简：－.
[解析]　－＝－＝－＝.
∵α是第三象限角，∴|cosα|＝－cosα.
原式＝＝－2tanα，
故－＝－2tanα.
题型三、证明
例4、求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.
[分析]　此等式左、右两边繁简程度差不多，故可考虑从左向右证，也可考虑从右向左证，平方展开，化简，再因式分解．
[证明]　证法一：左边＝2(1－sinα＋cosα－sinαcosα)
＝1＋(sin2α＋cos2α)－2sinα＋2cosα－2sinαcosα
＝(1－2sinα＋sin2α)＋2cosα(1－sinα)＋cos2α
＝(1－sinα)2＋2cosα(1－sinα)＋cos2α
＝(1－sinα＋cosα)2＝右边．
∴原式成立．
证法二：右边－左边＝(1－sinα)2＋cos2α＋2cosα(1－sinα)－2(1－sinα)(1＋cosα)
＝(1－sinα)2＋(1－sin2α)＋2(1－sinα)[cosα－(1＋cosα)]
＝(1－sinα)2＋(1－sinα)(1＋sinα)－2(1－sinα)
＝(1－sinα)[(1－sinα)＋(1＋sinα)－2]＝0.
∴左边＝右边．∴原式成立．
证法三：令1－sinα＝x，cosα＝y，则
由sin2α＋cos2α＝1，消去α得(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2＝2x，
∴左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy
＝(x＋y)2＝右边．
∴原式成立．
[点评]　证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地化简．
证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．
常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右归一．
常用技巧：“切”化“弦”、整体代换、“1”的代换、方程思想．
练习3、证明下列三角恒等式：
(1)＝；
(2)
＝.
[分析]　(1)“切”化“弦”；(2)左边入手，利用平方差公式．
[证明]　(1)左边＝＝＝＝＝＋＝＋＝＝右边，所以原等式成立．
(2)左边＝
＝＝＝
＝＝右边，所以原等式成立.
（四）归纳小结
（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此，……．
（2）诸如，，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．
（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
（五）随堂检测
1.
若sin
θ>0，化简：·
解　∵
＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴原式＝·＝1.
2、已知sinθ＋cosθ＝，且0<θ<π，求sinθ－cosθ的值．
[解析]　∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝，解得sinθcosθ＝－.∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝.
∵0<θ<π，且sinθcosθ<0，∴sinθ>0，cosθ<0，
∴sinθ－cosθ>0，∴sinθ－cosθ＝.
六、板书设计
1.2.2
同角三角函数的基本关系
新知探究
题型一：
题型二：
题型三：
学生板演练习
七、作业布置
本课同步练习以及预习1.3.1
八、教学反思