人教版数学必修4第一章1.1.2弧度制教学设计 教案

1.1.2
弧度制教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能目标
（1）理解并掌握弧度制的定义；能正确地进行角度制与弧度制的换算；
（2）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系；
（3）熟记特殊角的弧度数；
（4）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式.
（二）过程与方法目标
培养学生通过探究已学知识，发现新知识的能力.
（三）情感、态度与价值观目标
通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，让学生感受数学表示的多样性；培养学生求异创新的精神，增强学习数学的兴趣；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．
二、教学重点难点
教学重点：理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制度的换算；弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．
教学难点：理解弧度制的定义，“角度制”与“弧度制”的区别与联系．
三、教学方法与教学用具
教学方法：让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，理解弧度的意义.
教学用具：多媒体.
四、教学过程
（一）问题情境
1.最近有人在网上这样调侃通货膨胀
求：1元=1分
解：1元=100分=10分10分=0.1元0.1元=0.01元=1分
这样的解法你觉得正确吗？
2.我们从度量长度和重量等等上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢?
设计意图
创设问题1来源于网络，跟生活密切相关，更能激起学生参与的兴趣，此巧妙的让学生看到同样多的钱可以用不同的单位表示，也让学生看到不同的单位做运算导致这样的笑话，进而明白在同一个等式里有不同的单位运算是容易出问题的。问题2通过类比导入本节课的课题，激起学生学习的欲望．
（二）研讨新知
1.探究新知
问题①：在初中几何里，我们学过角的度量，1度的角是怎样定义的呢?
那么对于角的大小,我们常用度、分、秒这些单位来度量,
度、分、秒之间是几进制的？
讨论结果:
1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.其中1度等于60分，1分等于60秒.
设计意图
问题①让学生回忆初中有关角度的知识,这是认识弧度制的关键,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.
追溯数学史
角度制源于天文观测：古代认为一年是360天，而在天文学测量中我们必须关注一天太阳绕过地球的距离（弧长），于是认为一天太阳做过的弧长为1度，这弧长所对应的圆心角也称为1度。后来由于认知上的不适应（弧长是长度，我们一般用米，千米表示），原本引入弧长的制度：度、分、秒，被广泛的接受为度量角的角度制。而我们也注意到360刚好可以被1、2、3、4、5、
6、8、9、10整除，能被这么多整除最小整数就是360了。于是也有人认为：人们选一周是纯属是为了计算和等分的方便。
古代数学家单纯运用角度值情况下进行了600年的三角运算，但是计算繁复，一直困扰这些研究天文学的数学家们，从希帕霍斯关注三角函数开始，数学家就一直想改善这种状况，希望使得三角函数的运算变得简便。例如想画三角函数的图像，通过列表、描点、连线，可以完成图像。尽管我们用1mm来表示，这样的刻度也是比较大的，也许需要将好几张纸拼起来才能做出完整的曲线。另外，我们知道，在中，的度量单位是度，60进制的，而的度量单位是实数，10进制的。在同一个问题中，使用两个不同的单位很不方便，所以对于角有必要引入一种新的度量角的单位，最好是以实数为度量单位。
问题②：在初中学过弧长公式是什么？
讨论结果:
问题③：已知圆心角是，当半径
r=1,2
，3时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比.发现什么规律？
讨论结果:通过计算发现，圆心角的度数不变，不管半径为多少，的值不变，这进一步说明，我们可以用弧长与半径的比值来描述角的大小，即长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1
弧度的角，从而建立一种新的度量制；这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．弧度制的单位符号：rad．
设计意图
问题②③通过回忆所学知识并通过计算，得出任意角的度数与弧长和半径的关系，以达到与新的知识之间建立联系。让学生自然而然的领悟到弧度制的产生及其概念．同时鼓励学生也有当数学家的天赋。
▲1弧度的角的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。
追溯数学史
6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一个单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周等于弧度，1弧度等于圆周的。这一意思将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算。
弧度(radian)一词，是爱尔兰工程师汤姆森（James
Thomson,公元1822年-1892年）首先使用，由半径(radius)的前四个字母与角（angle）的前两个字母合成。现在中学数学教科书中有时用rad表示弧度，有时把单位省去。
设计意图：介绍弧度制单位符号“rad”的来历，让学生体会数学符号的编制并非随意而为的。这有利于学生理解概念，更准确地记住表达方式。
2.探究活动
（1）探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请完成表格.
弧的长
旋转的方向
的弧度数
的度数
逆时针方向
逆时针方向
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
即
任意角的集合
实数集R
（引导学生一起完成）
(2)思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少?
角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.
(3)根据探究中填空:
,度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
设计意图
用探究形式让学生找出规律，并通过提问引导学生发现一般规律。既发挥学生学习的自主性，也展现了教师教学的指导性，使知识不再是铁板一块，使课程自然又富有节奏.
（三）例题讲解
例1.按照下列要求,把化成弧度.
例2.将换算成角度.
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住.
填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
度
弧度
设计意图
体会弧度制与角度制的关系，较熟练地进行角度与弧度的互化。
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1);
(2);
(3).
其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.
设计意图
通过公式的推导，可让学生更熟练角度制与弧度制的转化，同时体会弧度制的优势——使得弧长公式与扇形面积公式更简洁，这也是引入弧度制的原因之一。
（四）反馈练习
1、将下列各角化成0到的角加上的形式
⑴
⑵
(3)
-1480°
2、用弧度制表示终边在x轴上角的集合、终边在y轴上角的集合？终边在第三象限角的集合？
3、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，求这个圆心角所在的扇形面积.
4、已知扇形的周长为10
cm，面积为4
cm2，求扇形的圆心角α的弧度数．
5、已知扇形的周长为8cm，求该扇形面积的最大值.
设计意图
通过练习，检验学生是否掌握角度制与弧度制的互化，以及扇形公式的运用。
（五）总结归纳
1.什么叫1弧度角?
2.任意角的弧度的定义
3.“角度制”与“弧度制”的联系与区别
4.弧长公式与扇形面积公式.
（六）布置作业
必做题：教材P10练习A组7、8、10题．
选做题：教材P10练习B组2、3题．
（七）板书设计
1.1.2
弧度制
1、弧度制的概念
2、角度与弧度之间的转换
3、弧长公式与扇形面积公式
例1
例2
例3
反馈练习
总结归纳
(八)教学反思
本节课从复习角度制出发，引发学生认知冲突，然后通过探究活动，引导学生得到弧度的概念，再由学生自主探究，研究圆心角的弧度数的求法，角度与弧度的换算关系，这一过程是学习知识的过程，又是“发现”知识的过程，有利于培养学生的探究能力。另外，在教学过程中融入数学史，沿着弧度产生发展演变的历程去教学，数学概念不再那么空洞，数学知识背后隐藏的故事，使得数学概念变得充实而富有趣味，提高了学生学习兴趣以及参与课堂的积极性。
1