人教版八年级下册数学18.2.3正方形 课件（2课时 共131张）

(共131张PPT)
初二年级
数学
正方形（第一课时）
平行四边形
复习反思，引发思考
一般
特殊
以平行四边形为例，你能说一说如何研究一个几何图形吗？
菱形
矩形
平行四
边形
性
质
定义
边
判定
边
角
对角线
角
对角线
通过平行四边形边、角的特殊化，得到了特殊的平行四边形.
你能说说矩形、菱形与平行四边形有什么关系吗？
有一个角是直角
有一组邻边相等
两组对边
分别平行
四边形
平行四边形
矩形
菱形
有一个角是直角
两组对边
分别平行
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开.
经验类比，得到定义
正方形
经验类比，得到定义
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开.
想一想：满足什么条件的矩形是正方形？
经验类比，得到定义
正方形
活动1
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角.
想一想：满足什么条件的菱形是正方形？
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角.
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角.
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一个角是直角
两组对边
分别平行
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
正方形的定义
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
正方形既是矩形，又是菱形.它具有矩形的性质，
又有菱形的性质.
B
C
A
D
O
你得到了哪些性质？
理性思考，获得定理
边
角
对角线
猜想1
正方形的四条边都相等.
四条边都相等
性质1
正方形的四条边都相等.
A
B
C
D
∵
四边形ABCD是正方形，
∴
AB=BC=CD=DA.
猜想2
正方形的四个角都是直角.
四个角都是直角
性质2
正方形的四个角都是直角.
A
B
C
D
∵
四边形ABCD是正方形，
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
猜想：正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
求证：AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
B
C
A
D
O
正方形
菱形
矩形
AC=BD
AC⊥BD
AO=CO，
BO=DO
AO=BO=CO=DO
证明：∵
正方形ABCD是矩形，
∴
AC=BD.
∵
正方形ABCD是平行四边形，
∴
AO=CO，BO=DO.
∴
AO=BO=CO=DO.
∵
正方形ABCD是菱形，
∴
AC⊥BD.
B
C
A
D
O
性质3
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.
∵
四边形ABCD是正方形，
∴
AC=BD，AC⊥BD，
AO=BO=CO=DO.
B
C
A
D
O
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
正方形是轴对称图形吗？
它的对称轴是什么？
对称性
B
C
A
D
O
正方形
边
角
对角线
矩形
四个角都是直角
对角线相等
菱形
四条边都相等
对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
正方形的四条边都相等.
正方形的四个角都是直角.
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分.
正方形的性质
用定义判定：
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
矩形
菱形
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
矩形
正方形
边
角
对角线
？
有一组邻边相等
猜想：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
B
C
A
D
O
B
C
A
D
O
AC⊥BD
OB=OD
四边形ABCD是正方形
四边形ABCD是矩形
AB=AD
B
C
A
D
O
证明：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
BO=DO.
∵
AC⊥BD，
∴
AB=AD.
∴
四边形ABCD是正方形.
判定
对角线互相垂直的矩形是正方形.
∵
四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，
∴
四边形ABCD是正方形.
B
C
A
D
O
矩形
有一组邻边相等
对角线互相垂直
正方形
猜想：对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=BD.
求证：四边形ABCD是正方形.
B
C
A
D
O
B
C
A
D
O
AC=BD
四边形ABCD是正方形
四边形ABCD是菱形
四个等腰直角三角形
有一个角是直角
AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
证明：∵
四边形ABCD是菱形，
∴
AO=CO，BO=DO，AC⊥BD.
∵
AC=BD，
∴
AO=BO=CO=DO.
∴
△AOD，△AOB是等腰直角三角形.
∴
∠BAO=∠DAO=45°.
∴
∠DAB=90°.
∴
四边形ABCD是正方形.
B
C
A
D
O
判定
对角线相等的菱形是正方形.
∵
四边形ABCD是菱形，AC=BD，
∴
四边形ABCD是正方形.
B
C
A
D
O
有一个角是直角
对角线相等
菱形
正方形
正方形的判定
平行四边形
先判定矩形
再判定菱形
先判定菱形
再判定矩形
正方形
例
如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形.求证：∠EAD=∠EDA=15°.
运用定理，解决问题
B
A
E
C
D
B
A
E
C
D
正方形
∠EAD，∠EDA
等边三角形
三条边都相等
三个角都是60°
四条边都相等
四个角都是直角
∠BAE，∠CDE
证明：∵
△BEC是等边三角形，
∴
BE=CE=BC，∠EBC=∠ECB=60°.
∵
四边形ABCD是正方形，
∴
AB=BC=CD，
∠ABC=∠BCD=∠DAB=90°.
∴
AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°.
∴
△ABE，△DCE是等腰三角形.
B
A
E
C
D
∴
∠BAE=∠BEA=75°.
∴
∠EAD=∠DAB－∠BAE
=15°.
同理
∠EDA=15°.
∴
∠EAD=∠EDA=15°.
B
A
E
C
D
例题小结
正方形
应用正方形的性质
解决角度问题
挖掘隐含条件
例
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB且交AB于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.
B
C
A
F
E
D
B
C
A
F
E
直角
DE⊥BC
DF⊥AC
四边形CEDF是正方形
矩形
对角线互相垂直
有一组邻边相等
D
B
C
A
F
E
在判定四边形CEDF是矩形后，证明对角线互相垂直.
角的平分线
∠CGE=90°
45°
1
2
3
对角线相等且互相平分
D
G
证明：∵
CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴
DE=DF，∠DFC=∠DEC=90
°.
又
∠ACB=90°，
∴
四边形CEDF是矩形.
又
DE=DF，
∴
四边形CEDF是正方形.
B
C
A
F
E
D
例题小结
正方形
有一组邻边相等
对角线互相垂直
有一个角是直角
对角线相等
平行四边形
矩形
菱形
练习
如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为
.
课堂练习，加深认识
C
A
B
D
E
1
2
正方形的面积
正方形的边长
正方形的性质
∠B=90°
勾股定理
C
A
B
D
E
正方形的性质
边长及面积
C
A
B
D
E
练习
如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为
.
3
练习
判断下列说法是否正确.
（1）正方形一定是矩形.
(　　)
（2）四条边都相等的四边形是正方形.
(　　)
（3）有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(　　)
（4）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方
形.(
)
（5）两条对角线相等的菱形是正方形.
(　　)
√
×
×
练习
判断下列说法是否正确.
（1）正方形一定是矩形.
(　　)
（2）四条边都相等的四边形是正方形.
(　　)
（3）有一个角是直角的平行四边形是正方形.
(　　)
√
平行四边形
矩形
菱形
（4）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形.(
)
√
平行四边形
矩形
（5）两条对角线相等的菱形是正方形.
(　　)
正方形
平行四边形
矩形
菱形
A
C
B
D
F
E
M
N
练习
如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN.求证：四边形EFMN是正方形.　
A
C
B
D
F
E
M
N
正方形ABCD
全等三角形
AE=BF=CM=DN
四个角都是直角，
四条边都相等
菱形EFMN
A
C
B
D
F
E
M
N
四边形EFMN是正方形
菱形EFMN
∠ANE=∠BEF
有一个角是直角
∠NEF=90°
证明：∵
四边形ABCD是正方形，
∴
AB=BC=CD=DA，
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵
AE=BF=CM=DN，
∴
AN=BE=CF=DM.
∴
△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
A
C
B
D
F
E
M
N
∴
EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF.
∵
∠AEN+∠ANE=90°，
∴
∠AEN+∠BEF=90°.
∴
∠NEF=180°－∠AEN－∠BEF=90°.
∴
四边形EFMN是菱形.
∴
四边形EFMN是正方形.
A
C
B
D
F
E
M
N
定义
归纳总结，提升认识
判定
先证明矩形
再证明菱形
先证明菱形
再证明矩形
正方形
性
质
边
角
对角线
平行四边形
一般
特殊
矩形
菱形
正方形
课后作业
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（
）.
（A）10°
（B）15°
（C）20°
（D）125°
A
B
E
D
C
2.
满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分相等的四边形.
3.
如图，ABCD是一块正方形场地，小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？
A
C
B
D
E
同学们再见！
正方形（第二课时）
初二年级
数学
定义
复习引入，回顾知识
正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
正方形的定义
定义
类比
正方形
性
质
边
角
对角线
正方形的四条边都相等.
正方形的四个角都是直角.
正方形的对角线相等,并且互相垂直平分.
正方形的性质
定义
判定
类比
正方形
性
质
边
角
对角线
正方形的判定
平行四边形
先判定矩形
再判定菱形
先判定菱形
再判定矩形
正方形
平行四边形
一般
特殊
矩形
菱形
正方形
四边形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
综合运用，解决问题
图中共有多少个等腰直角三角形？
B
C
A
D
O
练习
如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
分析：
B
C
A
D
O
OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
△AOB，△BOC，△COD，△DOA
B
C
A
D
O
分析：
AB=BC=CD=DA，
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
△ABC，△BCD，△CDA，△DAB
B
C
A
D
O
△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA
△ABC≌△BCD≌△CDA≌△DAB
解：图中一共有8个等腰直角三角形.
△AOB，△BOC，△COD，△DOA
△ABC，△BCD，△CDA，△DAB
全等三角形
45°
等腰直角三角形
全等三角形
特殊的角度
小结
B
C
A
D
O
如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.
（1）对角线AC的长为
.
（2）△AOB的面积为
.
练习
B
C
A
D
O
2
等腰直角三角形
正方形
A
B
C
2
2
分析：
B
C
A
D
O
如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.
（1）对角线AC的长为
.
（2）△AOB的面积为
.
B
C
A
D
O
2
全等三角形
正方形
方法1
B
C
A
D
O
2
等腰直角三角形
正方形
方法2
2
2
A
B
C
O
B
C
A
D
O
如图，正方形ABCD两条对角线相交于点O，AB=2.
（1）对角线AC的长为
.
（2）△AOB的面积为
.
1
小结
等腰直角三角形
勾股定理
线段的长
小结
等腰直角三角形
勾股定理
线段的长
例
如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？
A
B
C
D
F
E
G
猜想
CE=BF，CE⊥BF.
例
如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？
A
B
C
D
F
E
G
CE与BF的关系
分析：
△BCE≌△ABF
例
如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在AB，AD上，且BE=AF，BF与CE相交于点G.CE与BF相等吗？它们有什么位置关系？为什么？
A
B
C
D
F
E
G
CE与BF的关系
△BCE≌△ABF
四边形ABCD是正方形
分析：
解：
CE=BF，CE⊥BF.
证明：∵
四边形ABCD是正方形，
∴
∠ABC=∠A=90°，BC=AB.
又
BE=AF，
∴
△BCE≌△ABF.
∴
CE=BF，∠1=∠2.
1
2
A
B
C
D
F
E
G
∵
∠1+∠3=90°，
∴
∠2+∠3=90°.
∴
∠BGC=90°.
∴
CE⊥BF
.
1
2
3
A
B
C
D
F
E
G
正方形的性质
全等三角形
线段的关系
A
B
C
D
F
E
G
对应边相等
对应角相等
A
B
C
D
F
E
G
小结
正方形的性质
全等三角形
线段的关系
A
B
C
D
F
E
G
对应边相等
对应角相等
A
B
C
D
F
E
G
小结
M
N
A
B
C
D
E
G
如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN
于点G.求证:CE=MN.
A
B
C
D
F
E
G
F
变式1
M
N
A
B
C
D
E
G
变式1
如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN
于点G.求证:CE=MN.
CE=BF
CE=MN
BF=MN
分析：
F
△BCE≌△ABF
∠ABC=∠A=90°
BC=AB
正方形的性质
M
N
A
B
C
D
E
G
变式1
如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN
于点G.求证:CE=MN.
分析：
F
CE=BF
CE=MN
BF=MN
△BCE≌△ABF
∠ABC=∠A=90°
BC=AB
正方形的性质
Q
2
1
3
∠1=∠3
M
N
A
B
C
D
E
G
变式1
如图，四边形ABCD是正方形，点E，M，N分别在AB，BC，AD上，CE⊥MN
于点G.求证:CE=MN.
分析：
F
CE=BF
CE=MN
BF=MN
△BCE≌△ABF
∠ABC=∠A=90°
BC=AB
正方形的性质
Q
2
1
3
∠1=∠3
?
BMNF
M
N
A
B
C
D
E
G
P
1
2
∠B=∠MPN
=90°
∠1=∠MCG
分析：
BC=PN
△BCE≌△PNM
∠B=∠MPN
=90°
∠1=∠MCG
分析：
M
N
A
B
C
D
E
G
P
1
2
证明：
过点B作BF⊥CE于点Q，交AD于点F.
∴
∠FQC=90°.
∴
∠1+∠2=90°.
∵
CE⊥MN，
∴
∠NGC=90°.
∴
∠NGC=∠FQC.
∴
BF∥MN.
M
N
A
B
C
D
E
G
F
Q
2
1
3
∵
四边形ABCD是正方形，
∴
BC=AB，∠ABC=∠A=90°，AD∥BC.
∴
∠2+∠3=90°.
∴
∠1=∠3.
∴
△BCE≌△ABF.
∴
CE=BF.
M
N
A
B
C
D
E
G
F
Q
2
1
3
M
N
A
B
C
D
E
G
F
Q
2
1
3
∵
BF∥MN，
AD∥BC
，
∴
四边形BMNF是平行四边形.
∴
BF=MN.
∴
CE=MN.
在正方形ABCD中
CE⊥MN
CE=MN
小结
M
N
A
B
C
D
E
G
F
添加辅助线
P
M
N
A
B
C
D
E
G
如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH
于点C.求证:CE=CH.
A
B
C
D
F
E
G
H
A
B
C
D
E
F
分析：
变式2
变式2
如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH
于点C.求证:CE=CH.
H
A
B
C
D
E
F
分析：
CE=BF
CE=CH
△BCE≌△ABF
∠ABC=∠A=90°
BC=AB
正方形的性质
∠BCE=∠ABF
变式2
如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点H在AD的延长线上，CE⊥CH
于点C.求证:CE=CH.
H
A
B
C
D
E
F
分析：
CE=CH
BF=CH
?
BCHF
CE=BF
△BCE≌△ABF
∠ABC=∠A=90°
BC=AB
正方形的性质
∠BCE=∠ABF
证明：
过点B作BF⊥CE于点Q，交AD于点F.
∴
∠FQC=90°.
∴
∠BCE+∠FBC=90°.
∵
CE⊥CH，
∴
∠HCE=90°.
∴
∠HCE+∠FQC=180°.
∴
BF∥CH.
Q
H
A
B
C
D
E
F
∵
四边形ABCD是正方形，
∴
BC=AB，∠ABC=∠A=90°，AD∥BC.
∴
∠ABF+∠FBC=90°.
∴
∠BCE=∠ABF.
∴
△BCE≌△ABF.
∴
CE=BF.
Q
H
A
B
C
D
E
F
∵
BF∥CH，
AD∥BC
，
∴
四边形BCHF是平行四边形.
∴
BF=CH.
∴
CE=CH.
Q
H
A
B
C
D
E
F
在正方形ABCD外部
CE⊥CH
CE=CH
小结
H
A
B
C
D
E
F
例题小结
A
B
C
D
F
E
F
A
B
C
D
F
E
M
N
A
B
C
D
E
H
图形的运动过程
线段的位置关系
添加辅助线
构造图形
例
如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，2).求B，C两点的坐标.
B
C
D
O
x
y
B，C两点的坐标
线段OB，BC
分析：
所在象限
确定符号
正方形性质
OB=OD
四条边相等
点B的横坐标
B
C
D
O
x
y
D
(0，2)
分析：
正方形性质
点C的坐标
CB⊥x轴，CD⊥y轴
B
C
D
O
x
y
OB的长
OD的长
分析：
点C的横坐标
点C的纵坐标
B
C
D
O
x
y
解：∵
四边形OBCD是正方形，
∴
CB⊥x轴，CD⊥y轴，OB=OD.
∵
点D的坐标是(0，2)，
∴
OD=2.
∴
OB=OD=2.
∴
点B的坐标是(2，0).
∵
点C在第一象限，
∴
点C的坐标是(2，2).
例题小结
B
C
D
O
x
x
y
正方形的性质
点的坐标的含义
点的坐标
正方形
在坐标系中研究几何图形
几何图形的特征
坐标系的特征
解决问题
数形结合
例
如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE与对角线AC交于点P，连接DP.求DP+EP的值.
A
B
C
D
E
P
A
B
C
D
E
P
利用正方形的对称性
DP+EP
DP=BP
BP+EP
BE
例
如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，BE与对角线AC交于点P，连接DP.求DP+EP的值.
分析：
解：∵
AC是正方形ABCD的对角线，
∴
BP=DP.
∴
DP+EP=BP+EP=BE.
∵
△ABE是等边三角形，
∴
BE=AB.
∵
正方形ABCD的面积为16，
∴
AB=4.
∴
DP+EP=BE=4.
A
B
C
D
E
P
例题小结
正方形的轴对称性
线段的数量关系
四边形
平行四边形
矩形
正方形
菱形
归纳总结，提升认识
线段
等腰直角三角形
45°
B
C
A
D
O
45°
角
课后作业
如图，四边形ABCD是正方形.G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.
求证：AF-BF=EF.
A
B
C
D
E
F
G
2.
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF.
A
B
C
D
E
F
同学们再见！