人教版七年级数学下册第六章实数第三讲实数学案（解析版）

实数
第三讲
实数
一、实数的概念
知识讲解
有理数：有限小数和无限循环小数都称为有理数.
无理数：无限不循环小数又叫无理数.
补充：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
实数有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
典例讲解
例1、指出下列各数中的有理数和无理数：
【答案】有理数有
无理数有……
【点睛】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.
课堂巩固
在下列语句中：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（　　）
A．②③
B．②③④
C．①②④
D．②④
【答案】C；
解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数
不可能式有理数，故本选项正确；②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的；④无限循环小数是有理数，故本选项正确．
2、把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
【答案】
有理数有：，
，，，0，
无理数有：，，，
，，，
0.3737737773……
3、判断正误，在后面的括号里对的用
“√”，错的记“×”表示，并说明理由.
　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　)
　　(2)无理数都是无限小数.(　　)
　　(3)无限小数都是无理数.(　　)
　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　)
　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　)
　　(6)带根号的数都是无理数.(　　)
　　(7)有理数都是有限小数.(　　)
　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　)
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020
020
002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以
实数可以用有限小数和无限小数表示.
二、实数与数轴
知识讲解
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
比较实数的大小
（1）对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
（2）正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
典例讲解
例1
画一条数轴表示这些数，并比较大小
【答案】
课堂巩固
1．下列说法中，正确的个数有（
）
（1）不带根号的数一定是有理数；（2）任意一个实数都可以用数轴上的点表示；（3）无限小数都是无理数；（4）是27的立方根．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
（1）不带根号的数不一定是有理数，如圆周率，则此说法错误；（2）实数与数轴上的点是一一对应的关系，即任意一个实数都可以用数轴上的点表示，则此说法正确；（3）无限不循环小数是无理数，则此说法错误；（4）3是27的立方根，则此说法错误
综上，说法正确的个数有1个
2．如图，数轴上点P表示的数可能是（　　）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由图象可知，2＜p＜3．∵2.236，∴数轴上点P表示的数可能是．
3．在数轴上表示和的两点间的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，
在数轴上表示和-，在右边，-在左边，在数轴上表示和-的两点间的距离是：-（-）=+．故选：C．
4．如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动)，圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是__________．
【答案】
【详解】直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，说明OO′之间的距离为圆的周长=π?d=1×π=π，由此即可确定O′点对应的数π．
故答案为：π．
例2
比较和0.5的大小．
【答案】作商，得．因为，即，所以．
【点睛】根据若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.
课堂巩固
比较大小
【答案】＜；
＞；
＜；
＜；
＜；
＞；
＜.
2、实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）
A．ac＞bc
B．|a﹣b|=a﹣b
C．﹣a＜﹣b＜c
D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c
【答案】D；
【解析】解：∵由图可知，a＜b＜0＜c，∴A、ac＜bc，故A选项错误；
B、∵a＜b，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|=b﹣a，故B选项错误；C、∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b，故C选项错误；D、∵﹣a＞﹣b，c＞0，∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确．
故选：D．
3、比较与的大小．
【答案】因为，．
所以＜
4.若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是　
　．
【答案】7．
解：∵，∴，∵x＜+1＜y，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．
三、与实数相关的概念及性质
知识讲解
典例讲解
例1、已知，且，求的值．
【答案】解：∵
，且，．∴
，即，．解得
＝3，＝5，得＝64．∴
．
课堂巩固
1.已知，求的值．
【答案】解：知条件得，由②得，，∵
，∴
，则．把代入①得，＝1．∴
．
2、若，则________．
【答案】3；
【解析】解：由非负数性质可知：，即，∴
．
3、已知，求的值．
【解析】解：由已知得，解得．
∴＝.
四、实数的运算
知识讲解
1.有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
2.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
典例讲解
(1)
(2)
(3)
解：（1）
（2）
（3）.
课堂巩固
计算：（1）．（2）
（3）（4）
【答案】（1）；（2）；（3）-4；（4）
【详解】解：（1）==；
（2）==
（3）原式＝2﹣3﹣2﹣1＝﹣4．
（4）原式=
课后提升
一.选择题
1.实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（　　）
A．4
B．2
C．1
D．3
【答案】B
2.
下列说法正确的是（
）
A．无理数都是无限不循环小数
B．无限小数都是无理数
C．有理数都是有限小数
D．带根号的数都是无理数
【答案】A
3.估计的大小应在（
）
A．7～8之间
B．8.0～8.5之间
C．8.5～9.0之间
D．9～10之间
【答案】C
4.如图，数轴上点表示的数可能是（　　）.
　　A．
　　　B．
　　　C．
　　　D．
　　　　
【答案】B
5.
实数和的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（
）
A．4～5之间
B．5～6之间
C．6～7之间
D．7～8之间
【答案】A
二.填空题
7.在，，，，这五个实数中，无理数是_________________．
【答案】，；
8.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．
【答案】；
9.｜3.14－π｜＝______；
______．
【答案】π－3.14；.
10.
的整数部分是________，小数部分是________．
【答案】2；；
【详解】，故整数部分为2，－2为小数部分.
11.已知为整数，且满足，则________．
【答案】
－1,
0,
1；
12.﹣的相反数是　　，﹣2的绝对值是________，的立方根是　　．
【答案】；2﹣；2．
三.解答题
13．化简：|﹣|﹣|3﹣|．
【解析】解：|﹣|﹣|3﹣|=﹣（3﹣）=2﹣﹣3．
14.
天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到）
解：设广场的边长为，由题意得：440000；
＝≈663.
答：它的边长约为663m.
15.
已知求的值．
解：∵∴－2＝0且＝0解得＝2，＝－3，∴＝2－3＝－1.
…
有理数集合
…
无理数集合