中小学教育资源及组卷应用平台
1.2.3 空间几何体的直观图
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 D
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A.2π
B.3π
C.4π
D.8π
答案 A
解析 设圆柱母线长为l，底面半径为r，
由题意得解得
∴V圆柱＝πr2l＝2π.
3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A.2
B.2
C.4
D.8
答案 C
解析 圆台的轴截面如图所示，
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P151.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P151.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P151.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P151.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P151.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P151.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P151.TIF"
\
MERGEFORMATINET
设母线长为l，
由题意知，l＝(r＋R)，
S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，
∴l＝4.
4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.
B.
C.2π
D.4π
答案 B
解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P152.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P152.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P152.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P152.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P152.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P152.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P152.TIF"
\
MERGEFORMATINET
5.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A.22
B.20
C.10
D.11
答案 A
解析 所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.
6.若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A.1∶2
B.1∶
C.1∶
D.∶2
答案 C
解析 设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.
7.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P153.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P153.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P153.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P153.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P153.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P153.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P153.TIF"
\
MERGEFORMATINET
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 ∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝，
∴VC－AA′B′B＝1－＝.
8.如图，已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B－AB1C的体积为( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P154.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P154.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P154.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P154.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P154.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P154.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P154.TIF"
\
MERGEFORMATINET
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 VB－AB1C＝VB1－ABC＝S△ABC×h＝××3＝.
二、填空题
9.棱长都是3的三棱锥的表面积S为________.
答案 9
解析 因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，
所以S＝4××32＝9.
10.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.
答案 π
解析 圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，
则2πr＝×2π×2，∴r＝1，
∴圆锥的高h＝＝，
则圆锥的体积V＝πr2h＝π.
11.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
答案
解析 设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
三、解答题
12.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD187.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD187.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD187.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD187.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD187.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD187.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD187.TIF"
\
MERGEFORMATINET
解 在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵＝，
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.∴点A到平面A1BD的距离为a.
13.如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P157.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P157.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P157.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P157.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P157.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P157.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P157.TIF"
\
MERGEFORMATINET
解 ∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，∴侧面的高为＝，∴侧面的面积为×(2＋4)×＝3，∴四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
14.圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A.4πS
B.2πS
C.πS
D.πS
答案 A
解析 设底面半径为r，则πr2＝S，
∴r＝，
∴底面周长为2πr＝2π，
又侧面展开图为一个正方形，
∴侧面积是2＝4πS.
15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD203.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD203.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD203.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD203.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD203.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD203.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD203.TIF"
\
MERGEFORMATINET
(1)试用x表示圆柱的高；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
解 (1)轴截面如图，
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD204.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD204.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD204.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD204.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD204.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD204.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD204.TIF"
\
MERGEFORMATINET
BO＝1，PO＝3，设圆柱的高为h，
由图，得＝，即h＝3－3x.
(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，
当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值π.
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积取得最大值π.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
1.2.3 空间几何体的直观图
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A.2π
B.3π
C.4π
D.8π
3.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A.2
B.2
C.4
D.8
4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.
B.
C.2π
D.4π
5.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A.22
B.20
C.10
D.11
6.若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A.1∶2
B.1∶
C.1∶
D.∶2
7.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，已知高为3的棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B－AB1C的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
9.棱长都是3的三棱锥的表面积S为________.
10.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.
11.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
三、解答题
12.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求点A到平面A1BD的距离d.
13.如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，侧棱长为2，侧面是全等的等腰梯形，求四棱台的表面积.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\成盘\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
MERGEFORMATINET
14.圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A.4πS
B.2πS
C.πS
D.πS
15.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱.
(1)试用x表示圆柱的高；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共35张PPT)
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
第一章
§1.3 空间几何体的表面积和体积
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.
2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
?
图形
表面积
多
面
体
?
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是
的面积
展开图
特别提醒：棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积
?
图形
表面积公式
旋
转
体
圆柱
?
底面积：S底＝____
侧面积：S侧＝_____
表面积：S＝________
圆锥
?
底面积：S底＝____
侧面积：S侧＝____
表面积：S＝________
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
旋
转
体
圆台
?
上底面面积：S上底＝______
下底面面积：S下底＝____
侧面积：S侧＝___________
表面积：S＝___________________
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
知识点三 柱体、锥体与台体的体积公式
几何体
体积
说明
柱体
V柱体＝Sh
S为柱体的
，h为柱体的高
锥体
S为锥体的
，h为锥体的高
台体
S′，S分别为台体的
，h为台体的____
底面积
底面积
上、下底面面积
高
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积.( )
2.锥体的体积等于底面面积与高之积.( )
3.台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( )
4.圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积.
题型一 柱体、锥体、台体的侧面积
解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
反思感悟
空间几何体的表面积的求法技巧：
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
跟踪训练1 (1)若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的表面积为______.
216π
(2)已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
解 ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
∴各侧面都是全等的正三角形.
题型二 柱体、锥体、台体的体积
例2 (1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16
π，则圆锥的体积是
√
解析 作圆锥的轴截面，如图所示：
由题设，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，
(2)圆柱的侧面展开图是长12
cm，宽8
cm的矩形，则这个圆柱的体积为
√
反思感悟
(1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解.
(2)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
跟踪训练2 已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台
的体积是_______.
解析 设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，
则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π.
∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π.
典例1 等积变换法
如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
几何体体积的求法
核心素养之直观想象与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
解 由
＝
，
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
引申探究
本例中条件改为点F为CC1的中点，其他条件不变，如图，求四棱锥A1－EBFD1的体积.
所以四边形EBFD1是菱形.
连接EF，则△EFB≌△FED1.
因为三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－FED1的高相等，
所以
＝
＝
.
典例2 分割法
如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
∵AB＝2EF，EF∥AB，
∴S△EAB＝2S△BEF.
∴V三棱锥F－EBC
＝V三棱锥C－EFB
∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.
典例3 补形法
如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
A.5π
B.6π
C.20π
D.10π
√
解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
素养
评析
(1)借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题是直观想象的数学核心素养.
(2)理解运算对象，探究运算思路，选择运算方法，是数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
√
4.若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的体积是_______.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥
A－DED1的体积为___.
解析
＝
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.
3.S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2).
4.对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同.
(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
