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1.3.2 球的体积和表面积
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A.36π，144π
B.36π，36π
C.144π，36π
D.144π，144π
答案 B
2.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设正方体棱长为a，球半径为R.
由6a2＝4πR2，得＝，
设正方体和球的体积分别为V1，V2，
所以＝＝3＝.
3.若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 设两球的半径分别为R，r(R>r)，
则由题意得
解得
∴R－r＝1.
4.如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P165.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.，
B.，1
C.，1
D.，
答案 A
解析 设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，
V球＝πR3，
则＝＝，
＝＝.
5.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A.1∶
B.1∶3
C.1∶3
D.1∶9
答案 C
解析 设正方体的棱长为a，则其内切球的半径为，
∴V内＝π3＝，
正方体的外接球的半径为a，
∴V外＝π3＝，
∴V内∶V外＝1∶3.
6.一平面截一球得到直径为6
cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4
cm，则该球的体积是( )
A.
cm3
B.
cm3
C.
cm3
D.
cm3
答案 C
解析 如图，根据题意，
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P166.TIF"
\
MERGEFORMAT
OO1＝4
cm，O1A＝3
cm，
∴OA＝R＝＝5(cm)，
故球的体积V＝πR3＝(cm3).故选C.
7.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2
cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2
cm，那么该棱柱的表面积为( )
A.(2＋4)
cm2
B.(8＋16)
cm2
C.(4＋8)
cm2
D.(16＋32)
cm2
答案 B
解析 ∵一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2
cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2
cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4
cm，正四棱柱的底面对角线长为2
cm，∴正四棱柱的高为＝2
cm，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16
(cm2)，故选B.
8.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A.4π(r＋R)2
B.4πr2R2
C.4πRr
D.π(R＋r)2
答案 C
解析 如图，BE＝BO2＝r，
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P167.TIF"
\
MERGEFORMAT
AE＝AO1＝R，
又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，
∴OE2＝AE·BE＝rR，
∴球的表面积为4πOE2＝4πrR.
二、填空题
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P168.TIF"
\
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答案 3∶1∶2
解析 设球的半径为R，则
V柱＝πR2·2R＝2πR3，
V锥＝πR2·2R＝πR3，
V球＝πR3，故
V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.
10.圆柱形容器的内壁底半径是10
cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了
cm，则这个铁球的表面积为________cm2.
答案 100π
解析 设该铁球的半径为r，则由题意得
πr3＝π×102×，解得r＝5，
∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2).
11.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________.
答案
解析 由题意得，该圆柱底面圆周半径
r＝
＝.
∴该圆柱的体积为V＝πr2h＝π2×1＝.
三、解答题
12.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5
cm，两个直径为5
cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
解 设取出小球后，容器中水面下降h
cm，
两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)，
此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，所以＝π×52×h，
所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降
cm.
13.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P169.TIF"
\
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解 该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l
＝π×13＋π×12×3＝.
INCLUDEPICTURE
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必修2\\03\\探究与拓展.TIF"
\
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14.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为( )
A.153π
B.160π
C.169π
D.360π
答案 C
解析 由于直三棱柱的底面是直角三角形，所以可以把此三棱柱补成长方体，其体对角线就是外接球的直径，所以球O的半径R＝＝，所以球O的表面积S＝4π×2＝169π，故选C.
15.已知某正四面体的内切球的体积是1，求该正四面体的外接球的体积.
解 设正四面体的外接球、内切球的半径分别为R，r，则＝3.由题意知πr3＝1，则外接球的体积是πR3＝27×πr3＝27.
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1.3.2 球的体积和表面积
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )
A.36π，144π
B.36π，36π
C.144π，36π
D.144π，144π
2.一个正方体表面积与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A.
B.
C.
D.
3.若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )
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必修2\\03\\P165.TIF"
\
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A.，
B.，1
C.，1
D.，
5.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
A.1∶
B.1∶3
C.1∶3
D.1∶9
6.一平面截一球得到直径为6
cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4
cm，则该球的体积是( )
A.
cm3
B.
cm3
C.
cm3
D.
cm3
7.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2
cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2
cm，那么该棱柱的表面积为( )
A.(2＋4)
cm2
B.(8＋16)
cm2
C.(4＋8)
cm2
D.(16＋32)
cm2
8.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A.4π(r＋R)2
B.4πr2R2
C.4πRr
D.π(R＋r)2.
二、填空题
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.
INCLUDEPICTURE
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10.圆柱形容器的内壁底半径是10
cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了
cm，则这个铁球的表面积为________cm2.
11.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________.
三、解答题
12.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5
cm，两个直径为5
cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
13.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
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A版
必修2\\03\\P169.TIF"
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14.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的表面积为( )
A.153π
B.160π
C.169π
D.360π
15.已知某正四面体的内切球的体积是1，求该正四面体的外接球的体积.
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1.3.2 球的体积和表面积
第一章
§1.3 空间几何体的表面积和体积
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握球的表面积和体积公式.
2.能解决与球有关的组合体的计算问题.
知识点 球的表面积和体积公式
1.球的表面积公式________(R为球的半径)；
S＝4πR2
1.球的表面积等于它的大圆面积的2倍.( )
2.两个球的半径之比为1∶2，则其体积之比为1∶4.( )
3.球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.( )
4.球的体积是关于球半径的一个函数.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
√
2
题型探究
PART
TWO
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；
题型一 球的体积和表面积
解 设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，
所以球的表面积S＝4πR2＝4π×52＝100π.
反思感悟
(1)公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.
(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方.
√
解析 由两球的体积之比为8∶27，
可得半径之比为2∶3，
故表面积之比是4∶9.
解析 设大球的半径为R，由题意得
(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_____.
题型二 球的截面问题
例2 在球心同侧有相距9
cm的两个平行圆面，它们的面积分别是49π
cm2和400π
cm2，求球的半径.
解 如图为球的一个轴截面，O1，O2分别为两个平行圆面的圆心，易知AO1∥BO2，OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.
设球的半径为R
cm.
∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7
cm.
同理可知O1A＝20
cm.
设OO1＝x
cm，则OO2＝(x＋9)cm.
又在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，
在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，
∴x2＋202＝(x＋9)2＋72，∴x＝15，
∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25，
即球的半径为25
cm.
反思感悟
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题.
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
跟踪训练2 (1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8
cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6
cm，若不计容器的厚度，则球的体积为
√
设球的半径为R
cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，
∴R＝5.
√
解析 设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，
则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.
在Rt△OO1A中，
与球有关的切、接问题
核心素养之直观想象
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
ZHI
GUAN
XIANG
XIANG
√
9π
解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a，b，c，
素养
评析
(1)正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝
，过在一个平面上的四个切点作截面如图①.
(2)球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝
a，如图②.
(3)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝
，如图③.
(4)借助几何直观和空间想象，认识事物的位置关系，分析数学问题，充分体现了直观想象的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
√
解析 设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.
1
2
3
4
5
3.如图，圆柱形容器内盛有高度为6
cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为
A.4
cm
B.3
cm
C.2
cm
D.1
cm
√
解析 由题意可得，设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，
解得r＝3，故选B.
4.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为
A.1
B.2
C.3
D.4
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
5.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为______.
1.球的体积和表面积公式
设球的半径为R
(1)体积公式：V＝
πR3.
(2)表面积公式：S＝4πR2.
2.用一个平面截球所得截面的特征
(1)用一个平面去截球，截面是圆面.
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面.
(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r，有下面的关系r＝
.
3.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
