沪教版高中数学高二下册第十一章11.2直线的倾斜角和斜率 课件 (共25张PPT)

(共25张PPT)
倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念；
2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性；
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
学习目标
问题导学
　　　　新知探究
点点落实
知识点一　直线的倾斜角
思考1　在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直1线呢？
答案　不能.
思考2　在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线
如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？
答案　不同.
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴
与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.倾斜角的范围
直线的倾斜角α的取值范围为
.
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个
以及它的
.
正向
0°≤α<180°
定点
倾斜角
知识点二　直线的斜率与倾斜角的关系
思考1　在日常生活中，我们常用“
”
表示“坡度”，图(1)(2)中的坡度相同吗？
前进量
升高量
?
思考2　思考1中图的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？
答案　存在，图(1)中，坡度＝tan
α，
图(2)中，坡度＝tan
β.
答案
1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的
叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝
.
2.斜率与倾斜角的对应关系
正切值
tan
α
图示
倾斜角(范围)
斜率(范围)
α＝0°
k＝0
0°<α<90°
k>0
α＝90°
不存在
90°<α<180°
k<0
知识点三　过两点的直线的斜率公式
?
返回
?
答案
题型探究
　　　　重点难点
个个击破
类型一　直线的倾斜角
例1　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A.α＋40°
B.α－140°
C.140°－α
D.当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α<180°时为α－140°
解析
根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.
通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；
当140°≤α<180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.
答案　D
反思与感悟
(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
跟踪训练1　已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为___________.
解析
有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
60°或120°
类型二　直线的斜率
例2
直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)，计算直线l1，l2，l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
?
反思与感悟
应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解.
跟踪训练2　(1)若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝
.
(2)经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是_________
(其中m≥1).
2
0°<α≤90°
类型三　斜率与倾斜角的综合应用
例3、（1）已知某直线l的倾斜角为α=45
°，又P1(2,y1),
P2(x2,5),
P3(3,1)是此直线上的三点，求x2、y1的值
(2)已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包
括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围.
反思与感悟
(1)用斜率公式可解决三点共线问题
(2)斜率与倾斜角的关系如图：
跟踪训练3　(1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值.
?
(2)已知直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，其中M(2，－3)，N(－3，－2)，求直线l的斜率k的取值范围.
解
如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线.
当l在PN位置转到l′位置时，
当l在l′位置转到PM位置时，
倾斜角大于90°，k≤kPM＝－4.
1
2
3
达标检测
　　　　
4
1.对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确命题的个数是(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析　①②③正确.
C
1
2
3
4
2.m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)必(　　)
A.在同一条直线上
B.是直角三角形的顶点
C.是等腰三角形的顶点
D.是等边三角形的顶点
解析　
∴A，B，C三点共线.
A
1
2
3
4
3.已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则m的值为____.
解析
由题意知，kAC＝3kBC，
4
1
2
3
4
解析答案
4.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
(1)(1,1)，(2,4)；
解
所以倾斜角是锐角；
所以倾斜角是钝角；
(2)(－3,5)，(0,2)；
解
1
2
3
4
(3)(2,3)，(2,5)；
(4)(3，－2)，(6，－2).
解
由x1＝x2＝2得：k不存在，倾斜角是90°；
所以倾斜角为0°.
解
直线情况
平行于x轴
垂直于x轴
0
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
0
k>0
不存在
k<0
k的增减情况
?
k随α的增大而增大
?
k随α的增大而增大
学习小结
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
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