人教版八年级下册数学 18.2.2 菱形 教案（附随堂演练 含答案）

18.2.2
菱形
教案
学习目标
1．掌握菱形的概念．
2．理解菱形的性质及识别方法．
3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．
学法指导
把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．
基础知识讲解
1．菱形的定义
四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．
由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．
2．菱形的性质
（1）它具有平行四边形的一切性质
（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．
3．菱形的识别方法
菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．
其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．
4．菱形的面积计算
由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×SRt△.
设对角线长分别为a，b．则菱形的面积=4××（）=ab，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．
5．菱形的性质及识别方法的作用
利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．
重点难点
重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．
难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．
易错误区分析
运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件．
例1．判断下列说法对不对
（1）邻边相等的四边形为菱形．（
）
（2）两边相等的平行四边形为菱形．（
）
错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等．
错解：（1）（√）
（2）（×）
正解：（2）（×）
（2）（×）
运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．
由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．
例2．如图在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点连结AE，AF.求证：AE＝AF
错误分析：本题证明错在BE＝DF，因为并未证明BC＝CD，推理不严格
错证：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，∠B＝∠D
又∵E，F分别为BC，CD的中点，∴BE＝DF
∴△ABE≌△ADF
∴AE＝AF
正证：∵菱形ABCD
∵AB＝AD，∠B＝∠D，
∴BC=CD
又∵EF分别为BC，CD的中点
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF
∴AE＝AF
典型例题
例l．已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF＝60°.∠BAE＝18°，求∠CEF的度数．
分析：要求∠CEF的度数，可先求∠AEB的度数，而要求∠AEB的度数则必须求∠B的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.
另外，由∠D＝60°．如连结AC得等边△ABC与△ACD，从而△ABE≌△ACF，有AE＝AF，则△AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF
解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．
所∠B＝∠D＝60°.因为∠BAE＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE＝180°
所以∠AEB+60°+18°＝180°.
即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．
又∠AEF＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180°
所以∠CEF＝180°-60°-102°＝18°
解法二：连结AC
∴四边形ABCD为菱形，
∴∠B＝∠D＝60°，AB＝BC＝CD＝AD．
∴△ABC和△CDA为等边三角形
∴AB＝AC，∠B＝∠ACD＝∠BAC＝60°
∵∠EAF＝60°
∴△BAE=∠CAF
∴△ABE≌△ACF
∴AE＝AF
又∵∠EAF＝60°
∴△EAF为等边三角形
∴∠AEF＝60°
∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF
∴60°+18°＝60°+∠CEF
∴∠CEF＝18°
解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．
例2．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N.
求证：四边形AMNE是菱形．
分析：要证AMNE是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN是∠DAC的平分线，只要证AM＝AE，则AN垂直平分ME，若证AN⊥ME，则再由BE平分∠ABN易知BE也垂直平分AN，即AN与ME互相垂直平分，故有AM＝MN＝NE＝AE，即AMNE是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE垂直平分AN后，可得AM＝MN，所以∠MNA＝∠MAN＝∠NAE，所以MNAE，则AMNE是平行四边形，又AM＝MN所以AMNE是菱形．
证法一：因为∠BAC＝90°，AD⊥BC，所以∠BAD＝∠C
因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC．因为∠AME＝∠BAD+∠ABE＝∠C+∠EBC＝∠AEM，所以AM＝AE，又因为AN平分∠DAC，所以AM＝MN，所以AM＝MN＝NE＝AE．所以AMNE是菱形．
证法二：同上，若证AN垂直平分ME，再证BE垂直平分AN，则AM＝MN，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MNAE．所以AMNE是平行四边形，由AM＝MN得AMNE是菱形．
例3．已知：如图菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，且OA＝DE，边长AD＝8，求菱形ABCD的面积．
分析：由菱形的对角线互相垂直知OA是△ABD的边BD上的高，又由DE⊥AB，OA＝DE，易知△AOD≌△DEA从而知△ABD是等边三角形，从而菱形ABCD面积可求．
解：在菱形ABCD中，因为AC⊥BD，所以△AOD是直角三角形，因为DE⊥AB，所以△AED是直角三角形．
在Rt△AOD和Rt△AED中，因为AD＝AD，DE＝OA，所以Rt△AOD≌Rt△DEA．所以∠ADO＝∠DAE，因为ABCD为菱形，所以∠ADO＝∠ABO，所以△ABD是等边三角形．因为AD＝8，DE⊥AB，所以AE＝AD＝4，在Rt△AED中，DE＝=4.从而S菱形ABCD＝AB·DE＝8×4=32
注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC，BD的长，按S菱形ABCD=AC·BD来计算，但后者较繁复．
例4．已知：如图，□ABCD中，AD＝2AB，将CD向两边分别延长到E，F使CD＝CE＝DF.
求证：AE⊥BF
分析：注意□ABCD中，AD＝2AB这一特殊条件，因此□ABCD能分成两个菱形．
从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．
证明：设AE交BC于点G，BF交AD于点H，连结GH.因为AB∥DF，所以∠F=∠ABH，
∠FDH=∠BAH.又因为AB＝CD＝DF，所以△ABH≌△DFH.所以AH＝HD=AD=AB.所以BCAH，BG=AB．则四边形ABGH是菱形，所以AE⊥BF.
例5．如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由．
分析：由已知判断△AOF和△DOF是关于直线EF成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF＝∠ODF，再结合已知得到∠ODF＝∠OAE，从而判断DF∥AE，得到AEDF是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF是菱形。
解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
因为，EF垂直平分AD，所以，△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．所以∠ODF＝∠OAF，又因为AD平分∠BAC，即∠OAF=∠OAE所以∠ODF＝∠OAE．所以AE∥DF同样的道理可得DE∥AF．所以四边形AEDF是平行四边形，所以EO=OF，即□AEDF的对角线AD，EF互相垂直平分．□AEDF是菱形．
注意：用轴对称，平移和旋转的观点处理几何问题，往往会得到意想不到的效果．
例6．如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在一起，得到重叠部分为四边形ABCD，四边形ABCD为菱形吗？为什么？
分析：纸条的宽度即是图中线段AE，AF的长，而AE，AF又分别与BC，CD垂直．因此，如果ABCD是平行四边形，则AE，AF即为它的高，再从面积入手不难推出ABCD是菱形．
解：四边形ABCD为菱形．因为：由已知可得，AB∥CD，AD∥BC，所以，四边形ABCD是平行四边形，由纸条的宽度为1，知AE＝AF＝1，又因为□ABCD的面积=BC·AE＝CD·AF，所以BC＝CD，故平行四边形ABCD为菱形
例7．已知：如图所示，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE＝2∠BAE，求证：EB＝OA．
分析：要EB＝OA，证它们所在的三角形全等，即△AOD≌△BEA
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD=BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB
∴∠DAE＝∠AEB
∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB
∴∠ABC=∠DAE
∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB
又∵AD＝BA
∴△AOD≌△BEA
∴AO＝BE
创新思维
例1．已知：如图所示，菱形ABCD，E是AB中点，DE⊥AB，AB=a，求：（1）∠ABC的度数
（2）AC的长
（3）菱形ABCD的面积
解（1）∵E为AB中点，ABCD为菱形
∴EA＝EB＝AB＝AD
∵DE⊥AB
∴∠1＝30°，∠DAB＝60°
∴△DAB为等边三角形
∴∠ABC＝120°
（2）OA＝DE＝a，AC＝2OA＝a
（3）SABCD＝×AC×BD＝
例2．四边形四边长为a、b、c、d，且a4+b4+c4+d4=4abcd.试判定四边形的形状．
分析：由a4+b4+c4+d4=4abcd得
a4-2a2b2+b4+c4-2c2d2+d4=4abcd-2a2b2-2c2d2
（a2-b2）2+（c2-d2）2+2a2b2-4abcd+2c2d2=0.
（a2-b2）2+（c2-d2）2+2(ab-cd)2=0.
所以a2-b2=0，c2-d2=0，ab-cd=0.
所以a＝b，c＝d，a＝c．
解：此四边形为菱形．
例3．如图：Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，自A作AH⊥BC于H，交BD于点E，自D点作DF⊥BC于F，求证：四边形AEFD为菱形．
分析：由已知条件可选择菱形的判别方法，证明四边相等．
证明∵∠AED＝90°-∠DBH，∠ADE＝90°-∠ABD，
又∵∠DBH=∠ABD，∴∠AED＝∠ADE
又∴AE＝AD
∵∠ABD=∠DBH，DA⊥AB，DF⊥BF
∴AD＝DF
∵AH⊥BC，DF⊥BC
∴AE∥DF
∵AEDF，∴四边形ADFE为平行四边形
又∵AD＝DF
∴四边形ADFE为菱形
例4．已知一张矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＞AB.如图所示，将纸片沿EF折叠，使顶点A与C重合．
（1）试证，四边形AECF是菱形
（2）若折叠后，纸片重叠的两部分面积和为2a2，求此矩形的周长．
分析：由轴对称性，易知AF＝FC，AE＝EC．
又由ABCD为矩形，知∠AFO＝∠OEC，所以∠OEC＝∠OFC，所以EC＝FC
证明（1）由已知得△AEF与△EFC关于EF所在的直线对称：
∴AF＝FC，AE＝EC，∠AFO＝∠CFO
又∵ABCD为矩形
∴∠AFO＝∠OEC
∴∠OEC＝∠OFC
∴EC＝FC
即四边形AECF为菱形
解（2）由S△EFC=a2，AB＝a得
EC＝2a
在Rt△ECB′中，EB′＝EB＝==a，所以BC＝BE+EC=+2a=(2+)a，所以周长为（6+2）a
中考练兵
1．如图，已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，则对角线BD的长等
cm.
解：∵四边形ABCD为菱形
∴AB＝AD＝DC＝BC＝×20＝5cm
∵AD∥BC
∴∠A+∠ABC＝180°
设∠A＝a则∠ABC＝2a，∴a+2a＝180°
∴a＝60°，2a＝120°
∴△ABD为等边三角形
∴BD＝AD＝5cm
故应填5cm.
2．已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为
cm.
解：菱形的面积=ab
其中a＝12cm则b＝5cm
应填5cm．
3．如图在菱形ABCD中，若∠ABC＝120°，则BC：AC的值等于（
）
A．:2
B．:3
C．1:2
D．
解：BD：AC＝D0：AO
设OD＝a，因为∠DAB＝60°所以∠DA0＝30°，所以DA＝2a，所以OA==即BD：AC＝OD：OA＝a：=:3
故选B．
4．已知，如图四边形ABCD为菱形，F是AB上一点，DF交AC于E，求证：∠AFD=∠CBE
证明：∵四边形ABCD为菱形
∴BC＝CD，CD∥AB，∠BCA＝∠DCA
∴△CBE≌△CDE
∴∠CBE=∠CDE
∵∠CDE=∠AFD
∴∠AFD=∠CBE
5．已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为
.
解：由菱形的性质可知，边长==5
应填5
随堂演练
一、填空题
1．菱形的对角线长为24和10，则菱形的边长为
，周长为
.
2．菱形的一边与两条对角线构成的二角之比为5：4，则菱形的各内角为
，
，
，
.
3．菱形的两条对角线分别为3和7，则菱形的面积为
.
4．已知在菱形ABCD中，E，F是BC，CD上的点，且AE＝EF＝AF＝AB，则∠B=
.
5．已知菱形两邻角的比是1：2，周长为40cm，则较短对角线的长是
.
6．已知菱形的面积等于80cm2，高等于8cm，则菱形的周长为
.
7．已知菱形ABCD中AE⊥BC，垂足E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为
.
8．顺次连结菱形各边的中点，所得的四边形为
形．
二、选择题
1．能够判定一个四边形是菱形的条件是（
）
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且对角相等
C．对角线互相垂直
D．两组对角分别相等且一条对角线平分一组对角
2．菱形ABCD，若∠A:∠B＝2：1，∠CAD的平分线AE和边CD之间的关系是（
）
A．相等
B．互相垂直且不平分
C．互相平分且不垂直
D．垂直且平分
3．已知菱形ABCD的周长为40cm，BD=AC，则菱形的面积为（
）
A．96cm2
B．94cm2
C．92cm2
D．90cm2
4．菱形的周长等于高的8倍，则这个菱形较大内角是（
）
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
5．菱形具有而矩形不具有的性质是（
）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对边平行且相等
6．下列说法正确的是（
）
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．邻边相等的四边形为菱形
7．矩形具有而菱形不具有的性质是（
）
A．对角相等且互补
B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边相等
D．对角线互相垂直
8．菱形的对角线把它分成全等的直角三角形的个数是（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
三、解答题
1．如图，在菱形ABCD中，延长AD到E，连结BE交CD于H，交AC于F，且BF＝DE，求证：DH＝HF.
2．如图，在菱形ABCD中,E是AD的中点，EF⊥AC交CB的延长于F，交AC于M，求证：AB与EF互相平分．
3．已知菱形的面积为24cm2，边长为5cm，求该菱形中一组对边之间的距离．
4．已知：如图，在菱形ABCD中，BD是对角线，过D作DE⊥BA交BA延长线于点E，若BD＝2DE，AB＝4，求菱形的面积。
5．如图，在□ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，求证：四边形AFCE是菱形．
6．已知：如图，四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，求证：四边形EFGH是菱形．
参考答案
一、填空题
1．13，52
2．100°,80°,100°,80°
3．
4．80°
5．10cm
点拨：两邻有为60°，120°，边长为10，两边和较短的对角线组成等边三角形．
6.40cm
7．60°
8．矩形
二、选择题
1．D
2．D点拨：△ACD是等边三角形
3．A
4．D
点拨：画出图形即可求解
5．B
6．C
7．A
8．A
三、解答题
1．证明：如图(1)1所示，连结FD，在菱形ABCD中,AC平分∠BCD
CD＝CB
∴∠DCF＝∠BCF
∵FC＝FC
∴△DCF≌△BCF（SAS）
∴∠FDC＝∠CBF
DF=BF
∵BF＝DE
∴DF＝DE
∴∠DFE=∠E
∵AE∥BC
∴∠E=∠CBF
∴∠DFE=∠FDC
∴DH＝HF
点拨：欲证DH＝HF，在同一个三角形中，只要两对角相等，从而连结DF，证∠DFH≌∠FDH，因AC平分∠BCD得证∠BCF≌∠CDF，代换出BF＝DE＝DF，转成角相等即可证．
2．证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AC平分∠BAD（菱形的对角线平分一组对角）
又∵AC⊥EF
∴APM≌△AEM
∴AP=AE
又∵AE=AD且AD＝AB
∴AP=AB即AP＝PB
∠F＝∠AEP，∠BPF＝∠APM
∴△APE≌△BPE
∴EP＝FP
即AB与EF互相平分
点拨：证明时先审题，菱形的每一条对角线平分一组对角，并把菱形分成全等的等腰三角形和直角三角形，所以有关菱形的一些问题可以应用角平分线，等腰三角形、直角三角形的知识来解答．
3．解：菱形的面积为：底×高，故24÷5＝4．8cm，即高为4．8cm，即一组对边之间的距离为4．8cm.
4．解，由BD＝2DE只有∠ABD＝∠ADB＝30°，∠EAD＝60°，∠ADE＝30°，故AE=AD＝2，DE＝，所以SABCD＝AB·DE＝8
5．证明:∵四边形ABCD为平行四边形
∴AE∥FC
∴∠CAE＝∠ACF
又∵OF＝OE
∴△AOE≌△COF
∴AEFC
四边形∴AFCE是平形四边形
又∵AE＝EC
∴四边形AFCE是菱形
点拨：先证△AOE≌△COF，则有AEFC，故四边形AFCE为平行四边形．
6．证明:E，F是△ABC的边AB，BC的中点
∴EFAC
同理可得GHAC,FGBD
∴EFGH
∴四边形EFGH为平行四边形
∵EF=AC
∴FG＝BD
∵AC=BD
∴EF＝FC
∴□四边形EFGH为菱形
点拨：此题中含众多的中点条件，很自然联想到三角形的中位线定理得EFAC，GHAC，则有EFGH得□EFGH，只需证明EF＝FG，考虑到EF=AC，FG=BD，而AC=BD，从而有EF=FG，即可得证.