江苏省苏州第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

苏州第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试
数学试卷（试题卷）
一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）
1．复数(2?i)i（i是虚数单位）的虚部是(
)
A．2i
B．2
C．1+2i
D．?2
2．有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有(
)
A．72种
B．48种
C．
54种
D．8种
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝(
)
A．0.477
B．0.628
C．0.954
D．0.977
4．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机都要取到，则不同的取法种数为(
)
A．40
B．50
C．60
D．70
5．函数的单调递减区间为(
)
A．
B．
C．
D．
6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的22列联表：(
)
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2＝算得，χ2＝≈7.8.
附表：
P(χ2≥x0)
0.050
0.010
0.001
x0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(
)
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”；
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”；
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．
7．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，)，则P(ξ≤3)等于(
)
A．
　　　　B．　　　　C．　　　　D．
8．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(
)
A．－32
B．1
C．32
D．1或－32
二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）
9．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么概率为的事件是(
)
A．至多一件一等品
B．至少一件一等品
C．至多一件二等品
D．至少一件二等品
10．定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，则下列结论正确的是(
)
A．函数在区间单调递增
B．函数在区间单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
11．下列对各事件发生的概率判断正确的是(
)
A．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是
12．函数，下列结论正确的是(
)
A．函数有两个不同零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则t的最小值为2
三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）
13．已知复数z满足
z(1＋i)＝i，（i为虚数单位），则|z|为
▲
．
14．若二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为
▲
．
15．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法有
▲
种．
16．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数a的取值范围是
▲
．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题共10分）
已知函数f
(x)＝x3－2x2＋ax
(x∈R)，在曲线y＝f
(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求实数a的值和切线l的方程．
18．（本小题共12分）
设.已知.
（1）求n的值；
（2）设，其中，求的值.
19．（本小题共12分）
某设备的使用时间x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计数据：
使用时间x
/年
2
3
4
5
6
维修费用y
/万元
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由数据知x与y具有线性相关关系.
（1）试求线性回归方程；
（2）试估计使用年限为10年时的维修费用是多少？
参考公式：线性回归方程中，
20．（本小题共12分）
已知函数f
(x)＝
(a≠0)．
（1）当a＝－1，b＝0时，求函数f
(x)的极值；
（2）当b＝1时，若函数f
(x)没有零点，求实数a的取值范围．
21．（本小题共12分）
经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A，B，C三种商品有购买意向．该淘宝小店推出买一种送5元优惠券的活动．已知某网民购买A，B，C商品的概率分别为，p1，p2(p1（1）求该网民分别购买B，C两种商品的概率；
（2）用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望．
22．（本小题共12分）
已知函数．
（1）当时，则满足什么条件，曲线与在处总有相同的切线？
（2）当时，求函数的单调减区间；
（3）当时，若对任意的恒成立，求b的取值的集合．
数学试卷
参考答案
一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
C
D
C
C
A
B
二、多项选择题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）
题号
9
10
11
12
答案
AD
ABD
ABC
AC
三、填空题（本大题共有4小题，每题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
15
30
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题共10分）
解：因为f(x)＝x3－2x2＋ax，
所以f
′(x)＝x2－4x＋a.
由题意可知，方程f
′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．
所以Δ＝16－4(a＋1)＝0，所以a＝3.
所以f
′(x)＝x2－4x＋3＝－1化为x2－4x＋4＝0.
解得切点横坐标为x＝2，
所以f(2)＝×8－2×4＋2×3＝.
所以切线l的方程为y－＝(－1)(x－2)，
即3x＋3y－8＝0.
所以a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.
18．（本小题共12分）
解：（1）因为，
所以，
．
因为，
所以，
解得．
（2）由（1）知，．
．
解法一：
因为，所以，
从而．
解法二：
．
因为，所以．
因此．
19．（本小题共12分）
解：（1）；（2）使用年限为10年时的维修费用是12.38万元.
20．（本小题共12分）
解：（1）当a＝－1，b＝0时，f(x)＝，所以f′(x)＝，
所以当x∈(－∞，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以f(x)的极小值为f(2)＝－，无极大值．
（2）当b＝1时，f(x)＝.
根据题意，知＝0无实根，即ax－a＋ex＝0无实根．
令h(x)＝ax－a＋ex，则h′(x)＝a＋ex.
若a>0，则h′(x)>0，h(x)在R上单调递增，存在x0，使得h(x0)＝0，不合题意；
若a<0，令h′(x)>0，得x>ln(－a)；
令h′(x)<0，得x所以h(x)min＝h(ln(－a))＝aln(－a)－2a.
由题意，得h(x)min>0，即aln(－a)－2a>0，
解得－e2综上所述，a的取值范围为(－e2，0)．
21．（本小题共12分）
解：（1）由题意可知至少购买一种的概率为，
所以一种都不买的概率为1－＝，即(1－p1)(1－p2)＝.①
又因为最多购买两种商品的概率为，
所以三种都买的概率为1－＝，即p1p2＝.②
联立①②，解得或
因为p1（2）用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，则X的所有可能取值为0，5，10，15.
则P(X＝0)＝，
P(X＝5)＝××＋××＋××＝，
P(X＝10)＝××＋××＋××＝，
P(X＝15)＝××＝.
所以X的分布列为
X
0
5
10
15
P
则E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.
22．（本小题共12分）
解
（1）因为，所以，又，
所以在处的切线方程为，
又因为，所以，又，
所以在处的切线方程为，
所以当且时，曲线与在处总有相同的切线；
（2）由，，所以，
所以，
由，得，，
所以当时，函数的减区间为和；
当时，函数的减区间为；
当时，函数的减区间为和.
（3）由，则，，
①当时，，函数在单调递增，
又，所以时，，与函数矛盾，
②当时，因为，，，，
所以函数在单调递减；单调递增，
（1）当时，，又，所以，与函数矛盾，
（2）当时，同理，与函数矛盾，
（3）当时，，所以函数在单调递减；单调递增，
所以，故满足题意．
综上所述，的取值的集合为．