北师大版七年级数学下册——构造（证明）全等三角形常用方法与技巧学案(含答案)

第四章
构造(证明)全等三角形常用方法与技巧
翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.试说明：∠2＝∠1＋∠C.
解：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°.
因为CE⊥AD，
所以∠AEC＝90°.
所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°.
所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
在△ABD和△FBD中，
所以△ABD≌△FBD(ASA)．所以∠2＝∠DFB.
又因为∠DFB＝180°－∠AFC，
∠1＋∠C＝180°－∠AFC，
所以∠DFB＝∠1＋∠C.所以∠2＝∠1＋∠C.
构造法
2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.
试说明：∠ADC＝∠BDF.
解：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
因为∠ACB＝90°，所以∠2＋∠ACF＝90°.
因为CE⊥AD，
所以∠AEC＝90°.
所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
因为CE⊥AD，所以∠AEC＝90°.
所以∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.
所以∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
所以△ACD≌△CBG(ASA)．
所以∠ADC＝∠G，CD＝BG.
因为点D为BC的中点，所以CD＝BD.所以BD＝BG.
因为∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，
所以∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.
所以∠DBF＝∠GBF.
在△BDF和△BGF中，
所以△BDF≌△BGF(SAS)．所以∠BDF＝∠G.
所以∠ADC＝∠BDF.
旋转法
如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
所以∠D＝∠ABH＝90°.
在△ABH和△ADF中，
所以△ABH≌△ADF(SAS)．
所以AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
所以∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF.
所以∠HAF＝∠BAD＝90°.
因为BE＋DF＝EF，所以BE＋BH＝EF，即EH＝EF.
在△AEH和△AEF中，
所以△AEH≌△AEF(SSS)．
所以∠EAH＝∠EAF.
所以∠EAF＝∠HAF＝45°.
倍长中线法
如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝5，AC＝3，求AD长度的取值范围．
解：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
因为D为BC的中点，所以CD＝BD.
又因为AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，
所以△ADC≌△EDB(SAS)．所以AC＝EB.
因为AB－EB所以AB－AC<2AD又因为AB＝5，AC＝3，
所以2<2AD<8.
所以1截长补短法
5．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？
解：成立．理由如下：
如图，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.
在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠CDA＝90°，
所以∠CDF＝∠B＝90°.
又因为BE＝DF，所以△CBE≌△CDF(SAS)．
所以CE＝CF，∠BCE＝∠DCF.
所以∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD.所以∠ECF＝∠BCD＝90°.
因为∠GCE＝45°，所以∠GCF＝∠GCE＝45°.
又因为CE＝CF，GC＝GC，
所以△ECG≌△FCG(SAS)．所以GE＝GF.
所以GE＝DF＋GD＝BE＋GD.
综合练习
如图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE＝EC，DE＝EF，则下列结论中：①∠ADE＝∠EFC；②∠ADE＋∠ECF＋∠FEC＝180°；③∠B＋∠BCF＝180°；④S△ABC＝S四边形DBCF，正确的结论有(　　
)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．如图，D，E，F分别为AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处．若∠B＝50°，则∠BDF＝________．
3．如图，已知边长为1的正方形ABCD，AC，BD交于点O，过点O任作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是________．
4．如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线、高线，且∠B＝50°，∠C＝70°，则∠EAD＝________．
5．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，若∠D＝115°，则∠B＝________．
6．如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A的直线l绕点A旋转，BD⊥l于D，CE⊥l于E.
(1)试说明：DE＝BD＋CE.
(2)当直线l绕点A旋转到如图②所示的位置时，(1)中结论是否成立？若成立，请说明；若不成立，请探究DE，BD，CE又有怎样的数量关系，并写出探究过程．
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7．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β.
(1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；
(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由；
(3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是________________．
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参考答案
1.A
2．80°　3．
4．10°　点拨：由AD平分∠BAC，可得∠DAC＝∠BAC＝×(180°－50°－70°)＝30°.由AE⊥BC，可得∠EAC＝90°－∠C＝20°，所以∠EAD＝30°－20°＝10°.
5．65°　点拨：过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F.
因为AC平分∠BAD，
所以∠CAF＝∠CAE.
因为CF⊥AF，CE⊥AB，
所以∠AFC＝∠AEC＝90°.
在△CAF和△CAE中，
所以△CAF≌△CAE(AAS)．
所以FC＝EC，AF＝AE.
因为AE＝(AB＋AD)，
所以AF＝(AE＋EB＋AD)，
即AF＝BE＋AD.
所以DF＝BE.
在△FDC和△EBC中，
所以△FDC≌△EBC(SAS)．
所以∠FDC＝∠EBC.
又因为∠ADC＝115°，
所以∠FDC＝180°－115°＝65°.
所以∠B＝65°.
6．解：(1)因为BD⊥l，CE⊥l，
所以∠ADB＝∠AEC＝90°.
所以∠DBA＋∠BAD＝90°.
又因为∠BAC＝90°，
所以∠BAD＋∠CAE＝90°.
所以∠DBA＝∠CAE.
因为AB＝AC，∠ADB＝∠CEA＝90°，
所以△ABD≌△CAE(AAS)．
所以AD＝CE，BD＝AE.
则AD＋AE＝BD＋CE，
即DE＝BD＋CE.
(2)(1)中结论不成立．
DE＝BD－CE.
同(1)说明△ABD≌△CAE，
所以BD＝AE，AD＝CE.
又因为AE－AD＝DE，
所以DE＝BD－CE.
7．解：(1)α＋β＝180°
理由：因为∠DAE＝∠BAC，
所以∠DAE－∠CAD＝∠BAC－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
又因为AB＝AC，AD＝AE，
所以△ABD≌△ACE(SAS)．
所以∠ABC＝∠ACE.
在△ABC中，∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACE，
所以∠BAC＋∠ACB＋∠ACE＝180°.
因为∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＝β，
所以α＋β＝180°.
(2)α＝β
理由：因为∠DAE＝∠BAC，
所以∠BAD＝∠CAE.
又因为AB＝AC，AD＝AE，
所以△ABD≌△ACE(SAS)．
所以∠ABC＝∠ACE.
因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∠ACB＋∠ACD＝180°，
所以∠ACD＝∠ABC＋∠BAC＝∠ACE＋∠ECD.
所以∠BAC＝∠ECD.
所以α＝β.
(3)α＝β.画图略．