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专题03
平行线的性质
知识点1、平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同旁内角互补。
【例1】（2019·山西初一期末）如图，已知直线，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，过点C作CD∥a．
∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=100°．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键．
【举一反三】
1.
（2019·长沙市长郡梅溪湖中学初三）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是
（
）
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠2＋∠4＜180°
D．∠3＋∠5＝180°
2.
（2019·湖南初三）如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（
）
A．∠α+∠β+∠γ=180°
B．∠α+∠β﹣∠γ=360°
C．∠α﹣∠β+∠γ=180°
D．∠α+∠β﹣∠γ=180°
3.
（2019·湖南师大附中星城实验中学初三期中）将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．65°
知识点2、命题、定理
1．命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。?
2.命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果??，那么??”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
3．真命题：正确的命题，题设是成立，结论一定成立。?
4．假命题：错误的命题，题设是成立，不能保证结论一定成立。
5.定理;经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据)
【例2】（2018·浙江初二期中）把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式为
.
【答案】如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
【解析】
因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
【举一反三】
1.
（2020·全国初二单元测试）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．等角的补角相等
C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
2.
（2019·上海民办永昌学校初二月考）下列命题中是真命题的是（
）
A．三角形的外角等于三角形的两个内角和
B．两个全等三角形对应边上的中线相等
C．三角形的一个外角大于每一个内角
D．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
3.
（2018·福建初二期末）下列句子中，是命题的是（ ）
A．延长线段AB到点C
B．正数都大于负数
C．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
D．作线段AB∥CD
知识点3、平移?
1．平移:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换
(简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
2.平移的性质?
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。?
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。
【例3】（2019·湖北初一期末）如图，若△DEF是由平移后得到的，已知点之间的距离为1，则(
)
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【答案】C
【解析】
解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得BE=AD=1．
∴BC=BE+CE=1+2=3.
故选择：C.
【点睛】
本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【举一反三】
1.
（2019·全国初一课时练习）下列运动属于平移的是（
）
A．风车的转动
B．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡。
C．急刹车是汽车在地面上滑行。
D．随手抛出的小石子的运动。
2.
（2019·全国初一课时练习）如图所示，A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（
）
A．
B．
C．
D．
3.
（2019·汕头市潮阳实验学校初二月考）如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（
）
A．42
B．96
C．84
D．48
1.
（2020·辽宁初二期末）下列命题中的假命题是（
）
A．两直线平行，内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同旁内角相等
D．平行于同一条直线的两直线平行
2.
（2020·上海初三专题练习）如图，直线l1∥l2，如果∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝（ ）
A．20°
B．80°
C．90°
D．100°
3.
（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（
）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
4.
（2020·北京初三专题练习）如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A．若∠D＝35°，则∠EAB的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
5.
（2020·北京初三专题练习）如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（
）
A．60°
B．55°
C．50°
D．45°
6.
（2020·北京初三专题练习）如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
7.
（2020·全国初三专题练习）如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为（
）
A．80°
B．90°
C．100°
D．105°
8.
（2019·浙江初二月考）下列句子属于命题的是（
）．
A．正数大于一切负数吗？
B．钝角大于直角
C．将开平方
D．作线段的中点
9.
（2020·四川初二月考）下列命题中，其逆命题是假命题的是（
?）
A．若ab=1，则a与b互为倒数
B．如果|a|=|b|，那么a2=b2
C．等腰三角形的两个底角相等
D．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数
10.
（2019·上海市南洋模范中学初二月考）下列定理中，没有逆定理的是（
）
A．两直线平行，同旁内角互补；
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余；
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
11.
（2019·福建初一期末）在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏
机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（
）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
12.
（2020·沈阳市第一一一中学初一期中）如图，直线，，，则______．
13.
（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）如图，将一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=35°，则∠2=______．
14.
（2020·北京初三专题练习）如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上，若a∥b，∠1=35°，则∠2的度数为________。
15.
（2019·浙江初一期中）如图，若，则、、之间的关系为______.
16.
（2019·惠安县科山中学初二月考）用反证法证明
“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设____________
.
17.
（2019·四川初一期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10.将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是3，则图中阴影部分的面积为________．
18.
（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）推理填空：
已知：如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的过程填写完整．
证明：∵EF∥AD，（
）
∴∠2=
．
（
）
∵∠1=∠2，（ ）
∴∠1=∠3．（ ）
∴AB∥DG．（ ）
∴∠BAC+ =180°（ ）
又∵∠BAC=70°，（ ）
∴∠AGD= ．
19.
（2019·湖北初一期中）如图，D，E为△ABC边AB上两点，F，H分别在AC，BC上，∠1+∠2＝180°
（1）求证：EF∥DH；
（2）若∠ACB＝90°，∠DHB＝25°，求∠EFC的度数．
20.
（2020·沈阳市第一一一中学初一期中）已知△ABC，∠ACB=90°.
（1）如图1，CD⊥AB于点D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，求点C到AB的距离；
（2）如图2，x
轴⊥y轴
,
DM⊥y轴，若∠AOG=50°，求∠CEF的度数；
（3）如图3，x
轴⊥y轴，DM⊥y轴，旋转△ABC，使∠C的顶点C在直线DM与x轴之间，N为线段AO上一点，E为BC与DM的交点，F为AB与DM的交点，且∠NEC+∠CEF=180°，下列两个结论：①NEF﹣∠AOG为定值；②NEF/∠AOG为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值．
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专题03
平行线的性质
知识点1、平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同旁内角互补。
【例1】（2019·山西初一期末）如图，已知直线，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，过点C作CD∥a．
∵a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=100°．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．正确作出辅助线是解答本题的关键．
【举一反三】
1.
（2019·长沙市长郡梅溪湖中学初三）如图，AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是
（
）
A．∠1＝∠3
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠2＋∠4＜180°
D．∠3＋∠5＝180°
【答案】D
【解析】
A、∵OC与OD不平行，∴∠1=∠3不成立，故本选项错误；
B、∵OC与OD不平行，∴∠2+∠3=180°不成立，故本选项错误；
C、∵AB∥CD，∴∠2+∠4=180°，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，故本选项正确．
故选D．
2.
（2019·湖南初三）如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（
）
A．∠α+∠β+∠γ=180°
B．∠α+∠β﹣∠γ=360°
C．∠α﹣∠β+∠γ=180°
D．∠α+∠β﹣∠γ=180°
【答案】D
【解析】
如图，作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，
∵EF∥CD，
∴∠γ=∠DEF，
而∠AEF+∠DEF=∠β，
∴∠α+∠β=180°+∠γ，
即∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：D．
3.
（2019·湖南师大附中星城实验中学初三期中）将直尺和直角三角板按如图方式摆放（∠ACB为直角），已知∠1=30°，则∠2的大小是(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．65°
【答案】C
【解析】
先根据两角互余的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．∵∠1+∠3=90°，
∠1=30°，∴∠3=60°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠2=∠3=60°．
知识点2、命题、定理
1．命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。?
2.命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果??，那么??”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
3．真命题：正确的命题，题设是成立，结论一定成立。?
4．假命题：错误的命题，题设是成立，不能保证结论一定成立。
5.定理;经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据)
【例2】（2018·浙江初二期中）把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式为
.
【答案】如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
【解析】
因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
【举一反三】
1.
（2020·全国初二单元测试）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．等角的补角相等
C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
【答案】D
【解析】
A、对顶角相等，正确，是真命题；
B、等角的补角相等，正确，是真命题；
C、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，正确，是真命题；
D、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故错误，是假命题．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．
2.
（2019·上海民办永昌学校初二月考）下列命题中是真命题的是（
）
A．三角形的外角等于三角形的两个内角和
B．两个全等三角形对应边上的中线相等
C．三角形的一个外角大于每一个内角
D．面积相等的两个三角形一定是全等三角形
【答案】B
【解析】
A选项，三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，错误；
B选项，两个全等三角形对应边上的中线相等，正确；
C选项，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，错误；
D选项，面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，错误；
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查真命题的判定,涉及到三角形的性质,熟练掌握,即可解题.
3.
（2018·福建初二期末）下列句子中，是命题的是（ ）
A．延长线段AB到点C
B．正数都大于负数
C．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？
D．作线段AB∥CD
【答案】B
【解析】
A．延长线段AB到点C不是判断句，没有做出判断，不是命题；
B．正数都大于负数，是命题；
C．直于同一条直线的两条直线平行吗？不是判断句，没有做出判断，不是命题；
D．作线段AB∥CD不是判断句，没有做出判断，不是命题．
故选B．
【点睛】
本题考查了命题的定义：在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，比较简单．
知识点3、平移?
1．平移:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换
(简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
2.平移的性质?
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。?
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。
【例3】（2019·湖北初一期末）如图，若△DEF是由平移后得到的，已知点之间的距离为1，则(
)
A．1
B．2
C．3
D．不确定
【答案】C
【解析】
解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得BE=AD=1．
∴BC=BE+CE=1+2=3.
故选择：C.
【点睛】
本题利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【举一反三】
1.
（2019·全国初一课时练习）下列运动属于平移的是（
）
A．风车的转动
B．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡。
C．急刹车是汽车在地面上滑行。
D．随手抛出的小石子的运动。
【答案】C
【解析】
解：A、风车的转动是旋转，不是平移，故本选项错误；
B、冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡，气泡变大，不是平移，故本选项错误；
C、急刹车时汽车在地面上的滑行，是平移，故本选项正确；
D、随手抛出的小石子不沿直线运动，不是平移，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
2.
（2019·全国初一课时练习）如图所示，A、B、C、D四幅图案中，能通过平移图案（1）得到的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
A、图案属于旋转所得到，故错误；
B、图案形状与大小没有改变，符合平移性质，故正确；
C、图案属于旋转所得到，故错误；
D、图案属于旋转所得到，故错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了图形的平移，解答本题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
3.
（2019·汕头市潮阳实验学校初二月考）如图，将△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=10，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为（
）
A．42
B．96
C．84
D．48
【答案】D
【解析】
由平移的性质知，BE=6，DE=AB=10，
∴OE=DE﹣DO=10﹣4=6，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）?BE=（10+6）×6=48．
故选D.
【点睛】
本题考查平移的性质，平移前后两个图形大小，形状完全相同，图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离.
1.
（2020·辽宁初二期末）下列命题中的假命题是（
）
A．两直线平行，内错角相等
B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，同旁内角相等
D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】C
【解析】
A、两直线平行，内错角相等，所以A选项为真命题；
B、同位角相等，两直线平行，所以B选项为真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补角，所以C选项为假命题；
D、平行于同一条直线的两直线平行，所以D选项为真命题．
故选C．
【点睛】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
2.
（2020·上海初三专题练习）如图，直线l1∥l2，如果∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝（ ）
A．20°
B．80°
C．90°
D．100°
【答案】B
【解析】
解：过∠3的顶点作l1的平行线m，
∴∠1＝∠4，
∵l1∥l2
∴m∥l2，
∴∠2＝∠5
∴∠3＝∠4+∠5＝∠1+∠2＝80°
故选：B．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键.
3.
（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）如图，将三角形的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=65°，则∠2的度数为（
）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【答案】D
【解析】
∵AB∥CD，
∴∠3=∠1=65°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣65°﹣90°=25°．
4.
（2020·北京初三专题练习）如图，AB∥CD，DA⊥CE于点A．若∠D＝35°，则∠EAB的度数为( )
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【答案】C
【解析】
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D＝35°，
∵DA⊥CE，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAB＝55°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
5.
（2020·北京初三专题练习）如图，直线，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分，交CD于点G，若，则的度数是（
）
A．60°
B．55°
C．50°
D．45°
【答案】B
【解析】
，
，
，
，
，
，
，
故选．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的应用，证出是解题关键．
6.
（2020·北京初三专题练习）如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝80°，则∠2的度数是（ ）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
【答案】A
【解析】
如图，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝80°，
由翻折不变性可知：∠2＝∠4＝（180°﹣80°）＝50°，
故选A．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
7.
（2020·全国初三专题练习）如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为（
）
A．80°
B．90°
C．100°
D．105°
【答案】A
【解析】
解：由题意可得：AN∥FB，EC∥BD，
∴∠NAB=∠FBD=75°，
∵∠CBF=25°，
∴∠CBD=100°，
则∠ECB=180°-100°=80°．
故选：A．
【点睛】
本题考查方向角，正确得出平行线，利用平行线的性质是解题关键．
8.
（2019·浙江初二月考）下列句子属于命题的是（
）．
A．正数大于一切负数吗？
B．钝角大于直角
C．将开平方
D．作线段的中点
【答案】B
【解析】
A
、正数大于一切负数吗？为疑问句，它不是命题，所以A选项错误；
B
、钝角大于直角是命题，所以B选项正确；
C、将16开平方为陈述句，它不是命题，所以C选项错误；
D
、作线段AB的中点为陈述句，它不是命题，所以D选项错误，
故选
B
．
9.
（2020·四川初二月考）下列命题中，其逆命题是假命题的是（
?）
A．若ab=1，则a与b互为倒数
B．如果|a|=|b|，那么a2=b2
C．等腰三角形的两个底角相等
D．若两个数的差为正数，则这两个数都为正数
【答案】D
【解析】
解：A、若a与b互为倒数，则ab=1；故A的逆命题是真命题；
B、如果a2=b2，则|a|=|b|；故B的逆命题是真命题；
C、如果三角形的两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形；故C的逆命题是真命题；
D、若两个数是正数，那么这两个数的差为正数；故D的逆命题是假命题；
故选择：D.
【点睛】
此题考查了命题与逆命题的关系．解题的关键是找到各命题的逆命题，再证明正误即可．
10.
（2019·上海市南洋模范中学初二月考）下列定理中，没有逆定理的是（
）
A．两直线平行，同旁内角互补；
B．两个全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余；
D．两内角相等的三角形是等腰三角形
【答案】B
【解析】
A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；
B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；
C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；
D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．
故选B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理．
11.
（2019·福建初一期末）在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏
机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（
）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
【答案】A
【解析】
屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．
故选A．
12.
（2020·沈阳市第一一一中学初一期中）如图，直线，，，则______．
【答案】142°.
【解析】
如图延长直接交l1，其夹角为∠3,
∵∠α=∠β，
∴∠3=∠1=38°
∵l1∥l2，
∴∠2=180°-∠3=142°.
【点睛】
此题主要考查平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.
13.
（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）如图，将一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=35°，则∠2=______．
【答案】125°
【解析】
解：如图，
∵∠1+∠3+90°=180°，∠1=35°，
∴∠3=90°-35°=55°．
∵矩形对边平行，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=125°．
故答案为：125°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及平角定义，解题关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答问题.
14.
（2020·北京初三专题练习）如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上，若a∥b，∠1=35°，则∠2的度数为________。
【答案】10°
【解析】
解：如图，
由题意可知
又
故答案是10°
【点睛】
本题考察两直线平行，内错角相等，灵活运用等腰直角三角形中的角是解题的关键.
15.
（2019·浙江初一期中）如图，若，则、、之间的关系为______.
【答案】
【解析】
过点E作EF∥AB，如图所示．
∵AB∥CD,EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β?∠γ=180°.
故答案为∠α+∠β?∠γ=180°.
【点睛】
考查平行公理以及平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.
16.
（2019·惠安县科山中学初二月考）用反证法证明
“在△ABC中，如果∠B≠∠C，那么AB≠AC”，第一步应假设____________
.
【答案】AB=AC
【解析】
解：用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的过程中，
第一步应是假设AB=AC．
故答案为：AB=AC．
【点睛】
本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．
反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
17.
（2019·四川初一期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10.将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若平移的距离是3，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】30
【解析】
解：∵直角△ABC沿BC边平移3个单位得到直角△DEF，∴AC=DF，AD=CF=3，∴四边形ACFD为平行四边形，∴S平行四边形ACFD=CF?AB=3×10=30，即阴影部分的面积为30．故答案为：30．
点睛：本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的面积公式．
18.
（2020·沈阳市第二十三中学初一期中）推理填空：
已知：如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的过程填写完整．
证明：∵EF∥AD，（
）
∴∠2=
．
（
）
∵∠1=∠2，（ ）
∴∠1=∠3．（ ）
∴AB∥DG．（ ）
∴∠BAC+ =180°（ ）
又∵∠BAC=70°，（ ）
∴∠AGD= ．
【答案】见解析
【解析】
解：（1）∵EF∥AD，（已知）
∴∠2=∠3．（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠2，（已知）
∴∠1=∠3．（等量代换）
∴AB∥DG．（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠AGD=180°．（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠BAC=70°，（已知）
∴∠AGD=110°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解答关键．
19.
（2019·湖北初一期中）如图，D，E为△ABC边AB上两点，F，H分别在AC，BC上，∠1+∠2＝180°
（1）求证：EF∥DH；
（2）若∠ACB＝90°，∠DHB＝25°，求∠EFC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠EFC＝115°．
【解析】
（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠ADH+∠2＝180°，
∴∠1＝∠ADH，
∴EF∥DH；
（2）解：过点C作CG∥DH，交AB于G，如图所示：
则∠GCB＝∠DHB＝25°，
∴∠ACG＝∠ACB﹣∠GCB＝90°﹣25°＝65°，
由（1）得：EF∥DH，
∴CG∥EF，
∴∠EFC+∠ACG＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠ACG＝180°﹣65°＝115°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20.
（2020·沈阳市第一一一中学初一期中）已知△ABC，∠ACB=90°.
（1）如图1，CD⊥AB于点D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，求点C到AB的距离；
（2）如图2，x
轴⊥y轴
,
DM⊥y轴，若∠AOG=50°，求∠CEF的度数；
（3）如图3，x
轴⊥y轴，DM⊥y轴，旋转△ABC，使∠C的顶点C在直线DM与x轴之间，N为线段AO上一点，E为BC与DM的交点，F为AB与DM的交点，且∠NEC+∠CEF=180°，下列两个结论：①NEF﹣∠AOG为定值；②NEF/∠AOG为定值，其中只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并求其值．
【答案】（1）；（2）∠CEF=140°；（3），是定值
【解析】
解：（1）∵AC⊥BC，BC=12cm，
∴AC
∴
∴
∴点C到AB的距离为
故答案为：
（2）∵∠AOG=50°，
∴∠POD=50°，
∴∠COD=40°，
∴∠CQO=50°，
∴∠DQE=50°，
∴∠CED=40°，
∴∠CEF=140°；
（3）为定值．理由如下：
作CP∥x轴，如图3，
∵CP∥DM∥x轴，
∴∠AOG=∠1，∠2+∠CEF=180°，
而∠NEC+∠CEF=180°，
∴∠2=∠NEC，
∵∠1+∠2=90°，
∠NEF+2∠2=180°，
∴∠NEF=2∠1=2∠AOG，
∴，是定值．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质：平行线于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
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专题03
平行线的性质
考点精讲
知识点1
平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
4.两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同旁内角互补。
【答案】A
知识点2
1．命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。?
2.命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果??，那么??”的形式。具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。
3．真命题：正确的命题，题设是成立，结论一定成立。?
4．假命题：错误的命题，题设是成立，不能保证结论一定成立。
5.定理;经过推理证实得到的真命题。(定理可以做为继续推理的依据)
命题、定理
【答案】如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
知识点3
平移?
1．平移:平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换
(简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。
2.平移的性质?
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。?
②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。
【答案】C
考点精炼
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