《特殊平行四边形与折叠》学案
【学习目标】
本节课的内容是特殊平行四边形与折叠，处理这类问题不仅要用到折叠前后图形的性质，还要用到特殊平行四边形本身的性质，有时还需借助勾股定理、平行、垂直等知识建立有关线段、角之间的关系，是对相关知识的综合应用.过程中涉及方程思想，数形结合思想，培养学生的空间想象和逻辑推理能力.例题共5道.
【课上任务】
1．折叠的本质是什么？
2．折叠前后的图形有哪些性质？边或角发生了什么变化，有什么关系？
3．处理折叠问题的基本思路是什么？哪些方法比较常用？
4．涉及求边长问题时一般采用什么方法将各个已知条件联系起来？
5．当根据折叠前后边、角转移关系不足以得出问题的结论时，还应该考虑什么性质？
6．处理特殊平行四边形与折叠问题时，需要注意什么？
【学习疑问】
7．哪段文字没看明白？
8．哪个环节没弄清楚？
9．有什么困惑？
10．您想向老师提出什么问题？
11．没看明白的文字，用自己的话怎么说？
12．本节课有几个环节，环节之间的联系和顺序？
13．同伴提出的问题，您怎么解决？
【课后作业】
14．作业1
1.如图，折叠矩形纸片
ABCD，先折出折痕（对角线BD），再折叠使AD与对角线BD重合，得折痕DG
.?
若
AB?=?2，BC?=?1，求AG的长
.?
2.
如图，已知正方形纸片ABCD，M、N
分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕.
若AB?=??1，求MP的长.?
15．作业2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）
【课后作业参考答案】
1.
解：如图所示，作出折叠后AG的对应边EG.
∵矩形ABCD，
∴AD=BC=1，CD=AB=2，∠A=∠C=90°.
在Rt△BCD中，.
由折叠，△AGD≌△EGD.
∴AG=EG
，DE=AD=1，∠GED=∠A=90°.
∴∠GEB=90°.
设AG=x.
∴EG=AG=x，BG=AB-AG=2-x，BE=BD-DE=.
在Rt△BEG中，.
即，解得x=.
∴AG=.
2.
MP=.
提示：MP=MN-PN.
可证MN=AB=BC=1，BN==，∠BNM=90°.
由折叠，可得BP=BC=AB=1.
在Rt△BNP中，.(共73张PPT)
初二年级
数学
特殊平行四边形与折叠
如图，在矩形ABCD中，将△ADE沿AE折叠，使点D与BC边上的点F
重合.
观察图形
分析本质
性质1
图形全等：折叠前后的图形全等
——对应边相等，对应角相等.
轴对称的性质
性质1
图形全等：折叠前后的图形全等
——对应边相等，对应角相等.
轴对称的性质
性质2
点的对称：对称点所连线段被对
称轴（折痕所在直线）垂直平分.
例
把一个顶点折叠到一边上.
如图，矩形纸片ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处.若DE=5，CF=3，求AB的长.
运用性质
解决问题
例
把一个顶点折叠到一边上.
如图，矩形纸片ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处.若DE=5，CF=3，求AB的长.
运用性质
解决问题
5
例
把一个顶点折叠到一边上.
如图，矩形纸片ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在边BC上的点F处.若DE=5，CF=3，求AB的长.
运用性质
解决问题
5
3
例
把一个顶点折叠到一边上.
解：由折叠，△AFE≌△ADE.
∴FE=DE=5.
运用性质
解决问题
5
5
3
例
把一个顶点折叠到一边上.
解：由折叠，△AFE≌△ADE.
∴FE=DE=5.
∵矩形ABCD中，∠C=90°，
∴
.
运用性质
解决问题
5
5
3
4
例
把一个顶点折叠到一边上.
解：∴CD=DE+CE=9.
又∵矩形ABCD，
∴AB=CD=9.
运用性质
解决问题
5
5
3
4
9
例
把一个顶点折叠到一边上.
解：∴CD=DE+CE=9.
又∵矩形ABCD，
∴AB=CD=9.
运用性质
解决问题
5
5
3
4
9
解题反思：轴对称性质1+勾股定理+矩形性质
例
把一个顶点折叠到对角线上.
如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折叠纸片使点D落在对角线AC上的点F处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
例
把一个顶点折叠到对角线上.
如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折叠纸片使点D落在对角线AC上的点F处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
8
例
把一个顶点折叠到对角线上.
如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折叠纸片使点D落在对角线AC上的点F处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
8
3
例
把一个顶点折叠到对角线上.
如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折叠纸片使点D落在对角线AC上的点F处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
8
3
3
解：由折叠，△CED≌△CEF.
∴ED=EF=3，CD=CF，∠EFC=∠D.
例
把一个顶点折叠到对角线上.
如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折叠纸片使点D落在对角线AC上的点F处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
8
3
3
解：由折叠，△CED≌△CEF.
∴ED=EF=3，CD=CF，∠EFC=∠D.
例
把一个顶点折叠到对角线上.
解：设AB=x.
∵矩形ABCD，
∴CF=CD=AB=x
，
AD=BC=8，
∠B=∠D=90°.
8
3
3
x
x
x
例
把一个顶点折叠到对角线上.
解：设AB=x.
∵矩形ABCD，
∴CF=CD=AB=x
，
AD=BC=8，
∠B=∠D=90°.
∴AE=AD
-
DE=5，∠EFC=∠D=90°.
8
3
3
x
x
x
5
例
把一个顶点折叠到对角线上.
解：∴∠AFE=90°.
在Rt△AFE中，
.
8
3
3
4
5
x
x
x
例
把一个顶点折叠到对角线上.
解：∴∠AFE=90°.
在Rt△AFE中，
.
∴AC=AF+CF=4+x.
8
3
3
4
5
x
x
x
例
把一个顶点折叠到对角线上.
解：在△ABC中，∠B=90°，
∴
.
即
，解得x=6.
∴AB=6.
8
3
3
4
5
x
x
x
例
把一个顶点折叠到对角线上.
解：在△ABC中，∠B=90°，
∴
.
即
，解得x=6.
∴AB=6.
8
3
3
4
5
x
x
x
解题反思：轴对称性质1转移边、角
例
把一个顶点折叠到另一个顶点上.
如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，求DE的长.
例
把一个顶点折叠到另一个顶点上.
如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，求DE的长.
9
3
例
把一个顶点折叠到另一个顶点上.
如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，求DE的长.
3
解：由折叠，设DE=BE=x.
x
x
9
例
把一个顶点折叠到另一个顶点上.
如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，求DE的长.
3
解：由折叠，设DE=BE=x.
∴AE=AD
-
DE=9-x.
x
x
9-x
9
例
把一个顶点折叠到另一个顶点上.
解：
∵矩形ABCD，
∴∠A=90°.
在Rt△ABE中，
.
即
，解得x=5
.
3
x
x
9-x
∴DE=5.
例
把一个顶点折叠到另一个顶点上.
解：
∵矩形ABCD，
∴∠A=90°.
在Rt△ABE中，
.
即
，解得x=5
.
3
x
x
9-x
∴DE=5.
解题反思：轴对称性质1转移边+矩形性质
例
把一个顶点折叠到图形外.
如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△AMD沿AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC.
求证：△AME≌△ANB.
例
把一个顶点折叠到图形外.
如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△AMD沿AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC.
求证：△AME≌△ANB.
例
把一个顶点折叠到图形外.
如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△AMD沿AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC.
求证：△AME≌△ANB.
例
把一个顶点折叠到图形外.
如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△AMD沿AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC.
求证：△AME≌△ANB.
例
把一个顶点折叠到图形外.
如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△AMD沿AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC.
求证：△AME≌△ANB.
转
化
例
把一个顶点折叠到图形外.
如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△AMD沿AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC.
求证：△AME≌△ANB.
求证：△AMD≌△ANB.
例
把一个顶点折叠到图形外.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠D=∠1.
1
例
把一个顶点折叠到图形外.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠D=∠1.
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴∠AMD=∠ANB=90°.
∴△AMD≌△ANB.
1
例
把一个顶点折叠到图形外.
证明：由折叠，△AMD≌△AME.
∴
AE=AD=AB，∠2=∠D=∠1，
∠AME=∠AMD=∠ANB=90°.
∴△AME≌△ANB.
1
2
例
把一个顶点折叠到图形外.
证明：由折叠，△AMD≌△AME.
∴
AE=AD=AB，∠2=∠D=∠1，
∠AME=∠AMD=∠ANB=90°.
∴△AME≌△ANB.
1
2
解题反思：轴对称性质1+菱形性质+全等
例
把一个顶点折叠到图形内.
如图，矩形ABCD中，E是AB边中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B'处，连接AB'并延长交CD于点F.
求证：四边形AECF是平行四边形.
例
把一个顶点折叠到图形内.
分析
平行四边形AECF
例
把一个顶点折叠到图形内.
分析
平行四边形AECF
AE∥FC
例
把一个顶点折叠到图形内.
分析
平行四边形AECF
AF∥EC
AE∥FC
例
把一个顶点折叠到图形内.
分析
平行四边形AECF
AF∥EC
AF=EC且AE=FC
AE∥FC
例
把一个顶点折叠到图形内.
分析
平行四边形AECF
AF∥EC
AF=EC且AE=FC
AE=FC
AE∥FC
例
把一个顶点折叠到图形内.
分析
平行四边形AECF
AF∥EC
AF=EC且AE=FC
AE=FC
AF∥EC且AF=EC
AE∥FC
例
把一个顶点折叠到图形内.
分析
平行四边形AECF
AF∥EC
AF=EC且AE=FC
AE=FC
AF∥EC且AF=EC
AE∥FC
例
把一个顶点折叠到图形内.
分析
平行四边形AECF
AF∥EC
AF=EC且AE=FC
AE=FC
AF∥EC且AF=EC
AE∥FC
2
1
例
把一个顶点折叠到图形内.
由折叠，△BEC≌△B'
EC.
∴BE=B'
E，
∠1=∠2.
证明：
方法一
2
1
例
把一个顶点折叠到图形内.
由折叠，△BEC≌△B'
EC.
∴BE=B'
E，
∠1=∠2.
∵E是AB中点，
∴AE=
BE
.
∴AE=
B'
E
.
证明：
3
4
∴∠3=∠4
.
2
1
例
把一个顶点折叠到图形内.
∵∠BEB'
=∠1+∠2=∠3+∠4
，
即2∠2=2∠4
.
∴
∠2=∠4
.
∴AF∥EC
.
证明：
3
4
1
2
例
把一个顶点折叠到图形内.
∵四边形ABCD是矩形，
∴
AE∥FC.
∴
四边形AECF是平行四边形
.
证明：
3
4
2
1
例
把一个顶点折叠到图形内.
∵四边形ABCD是矩形，
∴
AE∥FC.
∴
四边形AECF是平行四边形
.
证明：
3
4
解题反思：轴对称性质1+矩形性质+外角性质
例
把一个顶点折叠到图形内.
证明：
例
把一个顶点折叠到图形内.
连接BB'.
由折叠，CE垂直平分BB'.
证明：
方法二
例
把一个顶点折叠到图形内.
连接BB'.
由折叠，CE垂直平分BB'.
∵E是AB中点，
∴EM∥AB'
.
即AF∥EC.
证明：
方法二
例
把一个顶点折叠到图形内.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC.
∴四边形AECF是平行四边形.
证明：
例
把一个顶点折叠到图形内.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC.
∴四边形AECF是平行四边形.
解题反思：
轴对称性质2+矩形性质+中位线定理
证明：
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
12
5
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
12
5
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
12
5
MG=BG-
BM
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
12
5
MG=BG-
BM
BG=EG
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
12
5
MG=BG-
BM
BG=EG
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
12
5
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
12
5
解：过点F作FM⊥BC于点M，连接BE，
交FG于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠BMF=90°.
∴四边形ABMF是矩形
.
∴FM=AB=12
.
12
5
解：由折叠得FG⊥BE.
∴∠BNG=∠C=90°.
∴∠CBE+∠MGN=∠CBE+∠CEB
.
∴
∠MGN=∠CEB
.
又∵
FM⊥BC
，
∴
∠FMG=∠C
.
12
5
解：又∵FM=AB=BC，
∴△FMG≌△BCE.
∴FG=BE.
在△BCE中，∠C=90°，
∴
.
∴FG=BE=13
.
12
5
折叠问题?
小结
轴对称的性质?
图形全等
点的对称
折叠问题?
小结
轴对称的性质?
图形全等
点的对称
性质1
折叠前后的图形对应边相等，对应角相等.
性质2
对称点所连线段被对称轴（折痕所在直线）
垂直平分.
折叠问题?
小结
轴对称的性质?
数
形?
图形全等
点的对称
性质1
折叠前后的图形对应边相等，对应角相等.
性质2
对称点所连线段被对称轴（折痕所在直线）
垂直平分.
结合?
1.
如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出
折痕(对角线BD)，再折叠使AD落在BD上得折痕DG.若AB
=
2，BC?=
1，求AG的长.
课后练习
巩固提高
2.
如图，已知正方形纸片ABCD，M、N
分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕.
若AB?=??1，求MP的长.?
课后练习
巩固提高教
案
教学基本信息
课题
特殊平行四边形与折叠
学科
数学
学段：
第三学段
年级
八年级
教材
书名：《数学》八年级下册
出版社：北京出版社
出版日期：2016年
4月
教学目标及教学重点、难点
本节课的内容是特殊平行四边形与折叠，处理这类问题不仅要用到特殊平行四边形的性质，还要用到折叠前后图形的性质，有时还需借助勾股定理、平行、垂直等知识建立有关线段、角的关系，是对相关知识的综合应用.过程中渗透数形结合及转化思想，培养学生的空间想象和逻辑推理能力.
重点：掌握轴对称的性质在折叠特殊平行四边形中的应用.
难点：综合运用特殊平行四边形的性质和轴对称的性质解决问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
折叠问题就是把一个图形的一部分沿某条直线折叠后，所形成的问题.解决特殊平行四边形中的折叠问题，既要用到折叠前后图形的性质，又要用到特殊平行四边形本身的性质，有时还需借助勾股定理、平行、垂直等许多知识建立有关线段、角之间的联系，是对同学们空间想象和知识运用能力的综合考查.
问题简述，明确涉及到的知识点和思想方法，为本节课作渗透.
新课
处理折叠问题，我们首先要分析清楚它的本质，如图，在矩形ABCD中，将△ADE沿AE折叠，使点D与BC边上的点F重合.
仔细观察折叠前后的图形不难发现，折叠问题的本质其实就是轴对称，折叠前后图形的性质就是轴对称的性质.
性质1：图形全等：折叠前后的图形是全等形——对应边相等，对应角相等（△ADE≌△AEF）
性质2：点的对称：对称点所连线段被对称轴（折痕所在直线）垂直平分（AE垂直平分DF）
分析清楚折叠的本质，下面我们就通过几个例题来利用刚刚复习的性质解决特殊平行四边形与折叠问题.
透过现象看本质，复习折叠问题涉及到的轴对称性质，为本节课后续内容作好铺垫.
例题
例1
把一个顶点折叠到一边上
如图，矩形纸片ABCD中，点E在边CD上，将矩形ABCD沿AE折叠，使得点D恰好落在边BC上的点F处.若DE=5，CF=3，求AB的长.
解：由折叠，△AEF≌△AED.
∴EF=DE=5.
∵矩形ABCD中，∠C=90°，
∴.
∴CD=DE+CE=9.
又∵矩形ABCD中，AB=CD，
∴AB
=9.
解题反思：利用轴对称性质1转移边，结合矩形的四个角都是直角的性质利用勾股定理建立起各边之间的联系，计算出CE的长.并根据矩形对边相等的性质把求AB的长转化为求CD.折叠能将已知条件进行转移，应尽可能地将条件集中在直角三角形中，利用勾股定理列出等式，数形结合，突破难点.
例2
把一个顶点折叠到对角线上
如图，矩形纸片ABCD中，BC=8，折叠纸片使点D落在对角线AC上的点F处，折痕为CE，若EF=3，求AB的长.
解：由折叠，△CED≌△CEF.
∴ED=EF=3，CD=CF，∠EFC=∠D.
设AB
=x.
∵矩形ABCD，
∴CF=CD=AB
=x，AD=BC
=8，
∠B=∠D=90°.
∴AE=AD-DE=5，∠EFC=∠D=90°.
∴∠AFE=90°.
在Rt△AEF中，.
∴AC=
AF+CF=
4+x
.
在△ABC中，∠B=90°，
∴.
即，解得x=6.
∴AB=6.
解题反思：本题的解决思路和上一题类似，但除了利用轴对称性质1转移了边，还转移了直角∠D.需要同学们根据图中所获已知，准确找到能根据勾股定理列出可解方程的直角三角形，这里面我们还运用了方程思想，帮助解题.
例3
把一个顶点折叠到另一个顶点上
如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，求DE的长.
解：由折叠，设DE=BE=x.
∴AE=AD-DE=9-x.
∵矩形ABCD，∠A=90°，
∴在Rt△ABE中，.
即，解得x=5，
∴DE=5.
解题反思：利用了轴对称的性质1折叠前后的图形全等，对应边相等转移了边，外加利用矩形的内角都是直角的性质列出方程解决问题.
例4
把一顶点折叠到图形外
如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△ADM沿AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC.求证：△AME≌△ANB.
分析：
本题的已知条件有
1、菱形ABCD；
2、△ADM沿AM折叠为△AME；
3、AM⊥CD，AE⊥BC.
需要利用折叠和菱形及垂直的特殊条件来寻找线段和角之间的关系.
由轴对称的性质1，可以得到△AMD≌△AME，而要证明△AME≌△ANB，可以将问题转化为证明△AMD≌△ANB.
这样考虑的原因是由折叠得到的两个全等三角形对应元素均相等，若能证明△AMD≌△ANB，由对应元素重合，也就能证明△AME≌△ANB.在四边形ABCD是菱形的背景下，结合菱形的的性质，显然证明△AMD≌△ANB更加方便.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠D=∠1.
∵AM⊥CD，AN⊥BC，
∴∠AMD=∠ANB=90°.
∴△AMD≌△ANB.
由折叠，△AMD≌△AME.
∴AE=AD=AB，∠2=∠D=∠1，
∠AME=∠AMD=∠ANB=90°.
∴△AME≌△ANB.
解题反思：解决本题的关键是巧妙利用了轴对称的性质1，折叠前后的图形全等，在菱形的背景下考虑全等三角形间对应元素的联系，从而证得了最终的结论.
例5
把一个顶点折叠到图形内
如图，矩形ABCD中，E是AB边中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B’处，连接AB’并延长交CD于点F.求证：四边形AECF是平行四边形.
分析：从平行四边形的判定入手.
方法一：
证明：由折叠，△BEC≌△B'
EC.
∴BE=B'
E，
∠1=∠2.
∵E是AB中点，
∴AE=
BE=B'
E.
∴∠3=∠4.
∵∠BEB'
=∠1+∠2=∠3+∠4
，
即2∠2=2∠4.
∴∠2=∠4.
∴AF∥EC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC.
∴四边形AECF是平行四边形.
解题反思：解决这个问题充分利用了折叠前后图形全等的性质，不仅转移了边，还转移了角，利用矩形及外角的性质证明了另一组对边平行.
方法二：
证明:连接BB’.
由折叠，CE垂直平分BB’.
∵E是AB中点，
∴EM∥AB’.
即AF∥EC.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC.
∴四边形AECF是平行四边形.
解题反思：回顾方法二，它的优点是在证明的过程上要比方法一简便不少.利用轴对称的性质2：对称点所连线段被对称轴垂直平分可以瞬间得到M是BB’中点，利用中位线定理使得问题迎刃而解.由此可见，我们在学习图形性质的时候，必须对性质有深刻的理解，找到问题的本质从而利用性质巧妙解题.
从不同折叠方法体会轴对称性质和特殊平行四边形性质的综合运用.
利用勾股定理解题，体会数形结合思想.
轴对称的性质1：图形全等——对应边相等，对应角相等，体会折叠带来的边、角转移，将所给条件集中在一起.
运用方程思想解决问题.
利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解，体会方程思想.
巩固轴对称性质1及勾股定理的应用.
分析条件，探寻思路.
轴对称的性质1和菱形性质的综合运用.
利用轴对称性质1证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
轴对称的性质2和矩形性质的综合运用证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
练习
如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12，E是CD上一点，
CE=5，折叠纸片使点B和点E重合，折痕为FG.
求FG的长.
解：过点F作FM⊥BC于点M，
连接BE，交FG于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠BMF=90°.
∴四边形ABMF是矩形.
∴FM=AB=12
.
由折叠得FG⊥BE.
∴∠BNG=∠C=90°.
∴∠CBE+∠MGN=∠CBE+∠CEB
.
∴∠MGN=∠CEB
.
又∵
FM⊥BC，∠C=90°，
∴∠FMG=∠C
.
又∵FM=AB=BC，
∴△FMG≌△BCE.
∴FG=BE.
在△BCE中，∠C=90°，
∴.
∴FG=BE=13
.
解题反思：当折叠前后图形对应边、角相等的条件不足以求出问题的结论时，我们应该有意识地利用对称点所连线段被对称轴垂直平分的结论解决问题.
巩固折叠问题涉及到的解题方法，将所求线段集中在可根据勾股定理列出等式的直角三角形中，加深轴对称性质2的理解与应用.
总结
下面我们进行本节课的小结：
这节课我们研究了不同折叠方法在特殊平行四边形中的应用，在结合特殊平行四边形性质的前提下，折叠问题的解决大多以轴对称的性质作为切入点.
利用性质1图形全等，可以得到对应边、对应角相等，解题过程中要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件集中在一起.准确找到可以根据勾股定理列出方程的直角三角形，利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合，运用方程思想解决问题.而性质2：对称点所连线段被对称轴（即折痕所在直线）垂直平分，属于线段与直线的位置关系，常常被同学们遗忘，这个性质能帮助我们快速得到线段中点和线线之间的垂直关系，使一些复杂的问题能够巧妙求解.
综合以上，我们可以看到数形结合是解决这类问题的突破口.有“折”就有“形”——轴对称图形，全等形；有折还有“数”——线段之间，角之间的数量关系.折为数与形搭建了转化的桥梁.
总结解决特殊平行四边形与折叠问题涉及到的知识和方法，加深理解和掌握.
作业
1.如图，折叠矩形纸片
ABCD，先折出折痕
(
对角线
BD
)，再折叠使
AD
与对角线
BD
重合，得折痕
DG
.?
若
AB?=?2，BC?=?1，求
AG
的长
.?
2.如图，已知正方形纸片ABCD，M、N
分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕.
若AB?=??1，求MP的长.?
巩固所学知识内容，学以致用.
