(共12张PPT)
专题07
实数
考点精讲
知识点1
无理数
无限不循环小数（开方开不尽的数）。如：π、
、
【答案】B
知识点2
无理数的估值
【答案】A
知识点3
实数的分类与大小比较
【答案】B
考点精炼
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己7世纪盲
27世纪数
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己7世纪盲
27世纪致获盲
Ds分
C
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1
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2
【例1】(2019河南初二期中)给出下列各数:,x,√8,0,√3,√16,√-27其中无理数有(
1个
C.3个
D.4个
【例2】(2020辽宁初二期末)估计√15的运算结果应在()
A.3到4之间
B.4到5之间
C.5到6之间
D.6到7之间
有理数和无理数统称实数。实数都可以用数轴上的点表示。
正整数
整数
0
有理数
负整数
实数
正分数
分数
无理数
负分数
【例3】(2019连云港市新海实验中学初二月考)如图,以数轴的单位长度线段为边作一个正方形,以表
示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧,交数轴于点A,则点A表示的数是()
1
0
B.2
C.1
2
D.1
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专题07
实数
知识点1、无理数
形式：无限不循环小数（开方开不尽的数）。如：π、、
【例1】（2019·河南初二期中）给出下列各数：其中无理数有（ ）
A．1
个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】
解：是分数，属于有理数；＝2，0，，＝﹣3，是整数，属于有理数．
无理数有：π，共2个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.6565565556…（相邻两个6之间的5的个数逐次加1）等有这样规律的数．
【举一反三】
1.
（2020·呼和浩特市第十三中学初一期末）在，，，，等五个数中，无理数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【解析】
在，，，，等五个数中，无理数有，一共1个．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2.
（2020·江苏初一期中）下列各数：﹣2，，0，，0.020020002，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】
解：在﹣2，，0，，0.020020002，π，，中，无理数有，π这2个数，故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
3.
（2020·江苏初二期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
A.是有理数，故A错误；
B、是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、是无理数，故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
知识点2、无理数的估值
【例2】（2020·辽宁初二期末）估计的运算结果应在（ ）
A．3到4之间
B．4到5之间
C．5到6之间
D．6到7之间
【答案】A
【解析】
解：∵9＜15＜16，
∴34．
故选：A．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
【举一反三】
1.
（2020·浙江初二期末）估算在（ ）
A．5与6之间
B．6与7之间
C．7与8之间
D．8与9之间
【答案】D
【解析】
∵＜
＜，
∴8＜＜9，
∴在8与9之间．
故选：D．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，正确得出接近的有理数是解题的关键．
2.
（2020·福建初二期末）已知，且a，b是两个连续正整数，则等于（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】
解：∵，且a，b为两个连续的正整数，
∴
∴a=3，b=4，
∴a+b=7．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键．
3.
（2020·四川省成都七中育才学校学道分校初二期中）已知a<）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】
解：∵a<而＜＜，=2，=3，
∴a=2，b=3，
∴a+b=5．
故选：B．
【点睛】
本题考查估算无理数的方法：找到与这个数相邻的两个完全平方数，这样就能确定这个无理数的大小范围．
知识点3、实数的分类与大小比较
有理数和无理数统称实数。实数都可以用数轴上的点表示。
【例3】（2019·连云港市新海实验中学初二月考）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是(
)
A．－
B．2－
C．1－
D．1＋
【答案】B
【解析】
由勾股定理得：
正方形的对角线为，
设点A表示的数为x，
则2-x=，
解得x=2-，故选B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可．
【举一反三】
1.
（2020·四川初二期末）比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”）
【答案】＞．
【解析】
∵32=9＜10，
∴＞3，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较和算术平方根的应用，用了把根号外的因式移入根号内的方法．
2.
（2018·福建初二期末）比较大小：_____
【答案】＜
【解析】
解：通分有，比较分子大小，则有<.
故答案为：＜.
【点睛】
本题考查无理数的大小比较，熟练掌握无理数与有理数比较大小的方法是解题关键.
3.
（2019·重庆巴蜀中学初二月考）比较大小：____________。
【答案】>
【解析】
解：∵，，
并且>，
∴>.
故答案为：>．
【点睛】
此题考查了两个无理数的比较大小，方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
1．（2020·江苏初二期末）在，，，，中，无理数的个数是（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】B
【解析】
解：，是无理数，=
，可以化成分数，不是无理数.
故选
B
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，熟记带根号的开不尽方的是无理数，无限不循环的小数是无理数.
2．（2019·甘肃初二期中）有一个数值转换器，程序如图所示，当输入的数x为81时，输出的数y的值是（ ）
A．9
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：把x=81代入得：=9，
把x=9代入得：=3，
把x=3代入得：y=，
故选：C．
【点睛】
本题考查算术平方根，依据程序进行计算是解题的关键．
3．（2019·铅山县五铜中学初三）下列实数中最大的是（ ）
A．﹣2
B．0
C．
D．
【答案】D
【解析】
-2＜0＜＜，
即最大的是.
故选D．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小、算术平方根、实数的大小比较等知识点，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
4．（2020·呼和浩特市第十三中学初一期末）下列等式成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
A.
，故错误；
B.
，故错误；
C.
，故错误；
D.
，正确；
故选D.
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知实数的性质.
5．（2019·福建初二期末）如图，数轴上点N表示的数可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解：∵N在2和3之间，
∴2＜N＜3，
∴＜N＜，
∵，，，
∴排除A，B，D选项，
∵，
故选C.
【点睛】
本题主要考查无理数的估算，在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方.
6．（2020·贵州初二期末）下列说法不正确的是( )
A．如果数轴上的点表示的数不是有理数，那么就一定是无理数
B．大小介于两个有理数之间的无理数有无数个
C．－1的立方是－1，立方根也是－1
D．两个实数，较大者的平方也较大
【答案】D
【解析】
∵数轴上的点和实数一一对应，故选项A正确；无理数是无限不循环小数，故选项B正确；-1的立方是-1，立方根也是-1，故选项C正确；实数包括正数和负数，故选项D错误．
故选D．
【点睛】
此题重点考察学生对实数、有理数和无理数的认识，掌握它们的定义是解题的关键.
7．（2020·江苏初二期末）估算：____.（结果精确到）
【答案】6。
【解析】
∵36
∴
故答案为6
【点睛】
此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的性质.
8．（2020·陕西初三）实数，﹣3，，，0中的无理数是_____．
【答案】
【解析】
解：＝4，是有理数，﹣3、、0都是有理数，
是无理数．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了对无理数的定义的理解和运用，注意：无理数是指无限不循环小数，包括三方面的数：①含π的，②一些开方开不尽的根式，③一些有规律的数．
9．（2019·广西初二期末）大于且小于的所有整数的和是________．
【答案】-2
【解析】
解：≈-2.24，≈1.73
∴大于且小于的所有整数是：-2，-1，0，1
∴大于且小于的所有整数的和是-2
【点睛】
本题主要考查了实数的大小的比较，首先正确估计无理数的大小，然后再进一步在范围之间确定整数求和即可．
10．（2019·辽宁初二期末）如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是3，AB⊥OA，垂足为A，且AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径画弧，弧与数轴的交点为点C，则点C表示的数为_____．
【答案】
【解析】
∵数轴上点A对应的数为3，
∴AO＝3，
∵AB⊥OA于A，且AB＝2，
∴BO＝＝＝，
∵以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点C，
∴OC的长为，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是利用勾股定理计算出BO的长．
11．（2020·四川初三期末）若的整数部分是a，小数部分是b，则______.
【答案】1.
【解析】
若的整数部分为a，小数部分为b，
∴a=1，b=，
∴a-b==1．
故答案为1．
12．（2019·沈阳市第三十三中学初一月考）比较大小：_____，_____．
【答案】＜
＜
【解析】
解：∵，，且，
∴＜；
∵，，且18＜20，
∴＜，
故答案为：＜，＜．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小；注意比较平方法在实数大小比较中的应用．
13．（2020·沈阳市第一一一中学初一期中）观察下列各式：
（1）=5；
（2）=11；（3）=19；
…根据上述规律，若=a，则a=_____．
【答案】155．
【解析】
∵=5=1×4+1；
=11=2×5+1；
=19=3×6+1；
…
∴，
∴=11×14+1=155，
即a=155，
故答案为：155.
【点睛】
本题考查了规律型——数字的变化类，算术平方根，解答本题的关键是发现规律，利用规律解决问题，难度较大.
14．（2020·河南初一期中）计算：
（1）22﹣﹣
（2）|﹣3|﹣（2﹣）+
【答案】（1）﹣5；（2）
【解析】
解：（1）原式＝4﹣4﹣5
＝﹣5；
（2）原式＝3﹣﹣2++
＝．
【点睛】
本题考查了算术平方根的性质、绝对值的性质，根据性质化简算术平方根是关键.
15．（2020·山东初一期末）把下列各数填入相应的集合内
7.5，，6，，，，﹣π，
（1）有理数集合{
}
（2）无理数集合{
}
（3）正实数集合{
}
（4）负实数集合{
}
【答案】（1）7.5，6，，，
；（2），，﹣π；（3）7.5，，6，，，；（4）﹣π，
【解析】
解：（1）有理数集合{7.5，6，，，}
（2）无理数集合{，，﹣π}
（3）正实数集合{7.5，，6，，，}
（4）负实数集合{﹣π，
}
【点睛】
本题主要考查实数的分类，掌握实数的分类标准是解题的关键．
16．（2019·江西南昌二中初一期中）我们都知道无限不循环小数是无理数，而无限循环小数是可以化成分数的，例如（为循环节）是可以化成分数的，方法如下：
令①
则②
②-①得：，即，解得
请你阅读上面材料完成下列问题：
（1）化成分数是
.
（2）化成分数是
.
（3）请你将化成分数（写出过程）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
解：（1）令b=①
则10b=②
②-①得10b-b=7，
即9b=7，解得：b=;
（2）令c=①
则100c-c=②
②-①得100c-c=23，
即99c=23，解得：c=;
（3）令d=
则10d=①，1000d=②，
②-①得：1000d-10d=3293
即990d=3293
∴d=
故答案为：（1）；（2）；（3）.
【点睛】
本题考查了无限循环小数化为分数，解答本题的关键是读懂题目所给的信息，按照题目中的运算方法求解．
正整数
0
整数
有理数
负整数
正分数
实数
分数
负分数
无理数
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专题07
实数
知识点1、无理数
形式：无限不循环小数（开方开不尽的数）。如：π、、
【例1】（2019·河南初二期中）给出下列各数：其中无理数有（ ）
A．1
个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】
解：是分数，属于有理数；＝2，0，，＝﹣3，是整数，属于有理数．
无理数有：π，共2个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.6565565556…（相邻两个6之间的5的个数逐次加1）等有这样规律的数．
【举一反三】
1.
（2020·呼和浩特市第十三中学初一期末）在，，，，等五个数中，无理数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.
（2020·江苏初一期中）下列各数：﹣2，，0，，0.020020002，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3.
（2020·江苏初二期末）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点2、无理数的估值
【例2】（2020·辽宁初二期末）估计的运算结果应在（ ）
A．3到4之间
B．4到5之间
C．5到6之间
D．6到7之间
【答案】A
【解析】
解：∵9＜15＜16，
∴34．
故选：A．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
【举一反三】
1.
（2020·浙江初二期末）估算在（ ）
A．5与6之间
B．6与7之间
C．7与8之间
D．8与9之间
2.
（2020·福建初二期末）已知，且a，b是两个连续正整数，则等于（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
3.
（2020·四川省成都七中育才学校学道分校初二期中）已知a<）
A．3
B．5
C．6
D．7
知识点3、实数的分类与大小比较
有理数和无理数统称实数。实数都可以用数轴上的点表示。
【例3】（2019·连云港市新海实验中学初二月考）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是(
)
A．－
B．2－
C．1－
D．1＋
【答案】B
【解析】
由勾股定理得：
正方形的对角线为，
设点A表示的数为x，
则2-x=，
解得x=2-，故选B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可．
【举一反三】
1.
（2020·四川初二期末）比较大小：_____3．（填“＞”、“=”或“＜”）
2.
（2018·福建初二期末）比较大小：_____
3.
（2019·重庆巴蜀中学初二月考）比较大小：____________。
1．（2020·江苏初二期末）在，，，，中，无理数的个数是（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
2．（2019·甘肃初二期中）有一个数值转换器，程序如图所示，当输入的数x为81时，输出的数y的值是（ ）
A．9
B．3
C．
D．
3．（2019·铅山县五铜中学初三）下列实数中最大的是（ ）
A．﹣2
B．0
C．
D．
4．（2020·呼和浩特市第十三中学初一期末）下列等式成立的是(
)
A．
B．
C．
D．
5．（2019·福建初二期末）如图，数轴上点N表示的数可能是（
）
A．
B．
C．
D．
6．（2020·贵州初二期末）下列说法不正确的是( )
A．如果数轴上的点表示的数不是有理数，那么就一定是无理数
B．大小介于两个有理数之间的无理数有无数个
C．－1的立方是－1，立方根也是－1
D．两个实数，较大者的平方也较大
7．（2020·江苏初二期末）估算：____.（结果精确到）
8．（2020·陕西初三）实数，﹣3，，，0中的无理数是_____．
9．（2019·广西初二期末）大于且小于的所有整数的和是________．
10．（2019·辽宁初二期末）如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是3，AB⊥OA，垂足为A，且AB＝2，以原点O为圆心，以OB为半径画弧，弧与数轴的交点为点C，则点C表示的数为_____．
11．（2020·四川初三期末）若的整数部分是a，小数部分是b，则______.
12．（2019·沈阳市第三十三中学初一月考）比较大小：_____，_____．
13．（2020·沈阳市第一一一中学初一期中）观察下列各式：
（1）=5；
（2）=11；（3）=19；
…根据上述规律，若=a，则a=_____．
14．（2020·河南初一期中）计算：
（1）22﹣﹣
（2）|﹣3|﹣（2﹣）+
15．（2020·山东初一期末）把下列各数填入相应的集合内
7.5，，6，，，，﹣π，
（1）有理数集合{
}
（2）无理数集合{
}
（3）正实数集合{
}
（4）负实数集合{
}
16．（2019·江西南昌二中初一期中）我们都知道无限不循环小数是无理数，而无限循环小数是可以化成分数的，例如（为循环节）是可以化成分数的，方法如下：
令①
则②
②-①得：，即，解得
请你阅读上面材料完成下列问题：
（1）化成分数是
.
（2）化成分数是
.
（3）请你将化成分数（写出过程）
正整数
0
整数
有理数
负整数
正分数
实数
分数
负分数
无理数
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