第二十二章 一元二次方程 全章教案
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| 名称 | 第二十二章 一元二次方程 全章教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 216.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-05-04 07:08:00 | ||
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文档简介
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义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第一课时 一元二次方程
学校 主备人 时间
设计理念 对一元二次方程及相关的概念，不要强调过于形式化的定义，也不要学生死记硬背定义，会概括一元二次方程中二次项系数，一次项系数，常数项等概念，要引导学生通过交流、辨析、先将方程华为一般形式，并注意系数的符号。
教学目标 知识与技能：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 过程与方法：通过一元二次方程概念的教学,培养学生善于观察,发现,探索,归纳问题的能力,培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。情感态度价值观：通过一元二次方程概念的教学,培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
重点 一元二次方程的概念
难点 一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式
方法 观察探索规律 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
自主探究 情景引入问题：1、 剪一块面积为150的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？问题2、把面积为4平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形的两部分，求正方形的边长。问题3、国家统计局统计的数据显示，浙江省2001年全省实现生产总值6700亿元， 2003年实现生产总值9200亿元，浙江省两年的年平均增长率是多少？ 对照问题先独立自主探究，在探究的过程中可以先让学生自学教材，自己独立完成问题的解答 。教师不要抱揽学生的思维过程，要让学生经历、体会思维的全过程达到建模解题的目标。学生分组交流完成。 让学生真切体验到已有方程知识的不足，为深入理解一元二次方程的概念做好铺垫。让学生从具体的问题情境中抽象出具体的数学模型。体会一元二次方程的不同之处。让学生形成自己的知识体系。
显然，这几个方程都不是一元一次方程，那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：(1)_________________(2) ________________(3)________________归纳:① 什么叫一元二次方程？②一元二次方程的一般形式：③什么叫方程的解？
尝试应用 1、判断下列哪些是一元二次方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项： 1） 2） 3）3、下面哪些数是方程的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 概念的教学不宜让学生死记硬背，而是通过探索发现与交流加深印象，达到掌握的目标！ 目的是巩固一元二次方程的概念，让学生在们在练习中理解掌握概念。在练习中既要让学生知其然，又要知其所以然。加强学生对一元二次方程根的理解！
补偿提高 1、是一元二次方程，则有( ) A a﹥0 B a≠0 C a=1 D a≥02、=1是一元二次方程的根，则a+b=____3、无论为何实数，以下仍是一元二次方程的是（ ） A B C D 4、当m为何值时，(m+2) +3mx+1=0是关于x的一元二次方程？5、⑴a是否等于1，为什么？⑵求a:b:c的值6、 若方程中，满足和，则方程的根是（ ）（A）1，0 （B）-1，0（C）1，-1 （D）无法确定 7、 已知是实数，若，则下列说法正确的是（ ）（A）一定是0 （B）一定是0 （C）或 （D）且 教师在学生解题中要适时给予恰当的指导，对学生回答给出评价。要求学生多数在练习本上选做，部分学生板书，最后师生共同评价！注意一般把二次项系数化为正数。
8、若是关于的一元二次方的根，且≠0，则+的值为（ ）（A）（B）1 （C）（D）9、关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）10、某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，求原价是。
归纳总结 一元二次方程是初中数学知识体系中的重要内容，也是我们今后学习其他知识的基础，更是历年各地中考的热点知识之一。学好本节内容，要注重以下三个方面的学习：1、能够正确理解一元二次方程的概念；2、能够熟练掌握一元二次方程的一般形式；3、能够理解和应用一元二次方程的解的意义。
实践探索 必做题：关于x的一元二次方程整理成一般形式后为。选做题：求k为何值时，关于x的方程 ⑴ 是一元一次方程？ ⑵ 是一元二次方程？
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第二课时 直接开平方法
学校 主备人 时间
设计理念 由浅入深、由易到难．从学生练习中发现问题、讲解、练习、思考相结合，达到巩固、熟练的目标．
教学目标 知识与技能：1、掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程；2、会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备．过程与方法：会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程．情感态度与价值观：通过探索、观察、分析、比较，实现知识的迁移与转化．
重点 掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程．
难点 会解某些一元二次方程
方法 学导结合 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一．知识回顾 1.、举例说明什么是一元二次方程？ 2、平方根的概念及开平方根运算． 学生回答、补充．
二．自主探究 1．如何用平方根的知识解下列方程 例如：解第1题如下：解：移项，得 =36 两边开方得 x=6 所以原方程的解是． 师生类比、探索、发现； 教师强调方程根的写法．学生相互交流、增强感性认识．仿照例子完成第2、3两题．学生板演、让基础不同的学生在活动中都有成就感．
2．尝试写出下列方程的根． A组： （1） 9= 1（2） 25- 4 = 0 （3） 4 = 2 B 组 （1） = 4 （2） =5C组 （1）3 - 6=0 (2) -4x+ 4 = 5（3） - 2x + 1 = 5 (4) 9 +6x +1 =4 归纳：通过求解你发现了什么规律？ 3．组内交流．上面的解法中，实质上是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，如果方程能化成=p或=p （p≥0）的形式，那么可得 x=± 或mx+n=±． 习惯把这种解法叫直接开平方法 如果P等于0或小于0，方程根的情况又如何？
三、尝试应用 解下列一元二次方程 (1) -6x+9=4 (2)4+4x+1 =2 (3) +4x+4=9(4) 3=27 (5) -144=0 (6) -2(y+1)+1=0 学生板演、教师从学生练习中发现问题、及时评议．
四、补偿提高 完成下列各题： 1.方程-=0的根是． 2.若 8- 16 =0，则 x=． 3. 若代数式2-x+1与的值互为相反数，则的值为． 4.解下列一元二次方程 ： 1） 5=6 2）
五、实践探索 必做题：课本42页第一题．选做题：．
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第三课时 配方法解一元二次方程
学校 主备人 时间
设计理念 经历探究利用配方法将一元二次方程转化为一元一次方程,让学生体会解一元二次方程的基本思想-----降次,在类比直接开平方法中学会利用配法解一元二次方程,培养学生观察,类比,归纳,探究,交流,合作创新能力。
教学目标 知识与技能：经历探究配方法解一元二次方程的过程，进一步理解“降次”的思想。过程与方法： 会运用配方法解一元二次方程。情感态度与价值观：培养学生探索精神和创新精神，合作交流意识。
重点 配方法解一元二次方程
难点 能熟练正确的运用配方法解一元二次方程
方法 探究式教学 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
自主探究 问题情景；1、（投影） 要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，场地的长和宽应各是多少？（只列方程）（分析：矩形的面积为长乘以宽，题中给出长宽之间的关系，要求学生设未知数，用代数式表示长宽，根据数量关系得出方程并化简）2、 解下列方程 （1）x-6x+9=4 (2) 4x+4x+1=2 (3) x+4x+4=93、完全平方公式__________________ 4、 填空： （1）x-12x+( )=〔x-( )〕(2)x+10x+( )=〔x+( )〕 观察与思考：（1）第1题中的方程与第2题中的三个方程有什么不同？学生分小组讨论：怎样把第1题方程左边化为完全平方式，而右边是一个非负常数？交流归纳：怎样配常数项才能使题中左边成成为完全平方式？（应配：二次项系数一半的平方） 通过实际问题引入得到方程，把问题呈现在学生面前，通过设疑激发学生求知欲望。练习意在让学生发现问题，并用化归思想发现解决问题的方法和思路。学生分组讨论后，可能不会都有满意的结果，让学生带着求知的愿望去学习，设置填空是为了巩固旧知，学习新知作准备。此时教师可以规范板书作适当讲解，目的为学生解题作出必要的规范要求，养成良好的学习习惯，达到规范解题的目标，但解答过程应由学生自己完成。
尝试应用 1、 填出解方程x+6x-16=0空缺的步骤：解： x+6x-16=0 x+6x=16 x+6x+3=16+9 (x+3) =25 x+3=5 或 x+3= -5 x=；x= 。 2、解下列方程：（1） x-8x+1=0 (2) x+10x+16=0 (3) 2x+1=3x (4) 3x-6x+4=0 1、总结：________叫配方法。2、交流答案，（3）（4）与（1）（2）有什么不同 怎样解（3）(4) （试写出配方法步骤） 相互补充，相互促进，培养合作意识 。
补偿提高 1、 试一试，将下列各式进行配方：（1）+5x+( )=(x+ ); (2)x-x+____=(x- ) (3) x+8x+____=(x+ ) (4) x-10x+____=(x- )(5) x-5x+_____=(x-_____) (6) x+6x+_____=(x+___)2、用配方法解下列方程：（1） x+10x+9=0 (2) x-x-=0(3) 3x+6x-4=0 (4) 4x-6x-3=0(5) x+4x-9=2x-11 (6) x(x+4)=8x+12 学生独立完成，教师巡视加以指导，发现问题共同订正。
归纳总结 1、 配方法解一元二次方程步骤为： (1) 化简 _________________； (2) 移项 _________________ ； （3）配方 ________________ 。 2、 配方法的理论依据是完全平方公式，配方法以直接开平方法为基础，配方的目的是为了开平方降次。3、要通过观察，比较，分析去发现新旧知识的联系，学会化归，学会创新。
实践探索 必做题：教科书第42页第三题。选做题：同步拓展性学习
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第四课时 公式法解一元二次方程
学校 主备人 时间
设计理念 由简到难，让学生在练习中总结规律，找到方法．逐步培养推理能力并能熟练应用．
教学目标 知识与技能：理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程．过程与方法：通过求根公式的推导，培养学生推理能力、解方程的能力．情感态度价值观：形成全面解决问题的积极情感．
重点 运用公式法解一元二次方程．
难点 正确确定系数和准确运用公式．
方法 学导结合 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主 探究 问题：1、能用配方法解2x2-8x-9=0吗？2、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？ 学生练习，归纳．教师引导学生完成三种分类的归纳 引导学生解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）；具体步骤：1、二次项系数化为1得x2+x+=0；2、移项x2+x=-；3、配方x2+2·x·+（）2=（）2- 即（x+）2=．因为a≠0，所以4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：（1）b2-4ac>0时（2）b2-4ac=0时（3）b2-4ac<0时
二、尝试应用 1解下列方程：2x2+x-6=0； x2+4x=2；5x2-4x-12=0； 4x2+4x+10=1-8x．2用公式法解下列方程 ⑴6x2-13x-5=0；⑵x（x+8）=16； ⑶x2-4x=4； ⑷-x2-3x+6=0；⑸x2=2（x+1）； ⑹0.009x2-3x+6=0． 学生板练，明确方法． 明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解．
补偿提高 1、选择适当的方法解下列关于x的方程：①（2x-）2=8； ②12x2+7x+1=0；③x2-2x-1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；⑤mx2-（3m2+2）x+6m=0（m≠0）．2、已知关于x的方程2x2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c和x的值．3、不解方程，判别下列方程的根的情况． ①2x2+4x+35=0； ②4m（m-1）+1=0；③0.2x2-5=x； ④4（y2+0.99）=2.4y；⑤x2-=x； ⑥2t=（t2+）．4、已知y1＝2x＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
总结归纳 一般的，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ= b2-4ac归纳总结：当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根．当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根．当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根．当Δ≥0时，方程的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
实践探索 必做题：解下列方程：1）6x2-13x-5=0；2）12x2+7x+1=0．选做题：已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程－17x＋66＝0的根．求此三角形的周长．
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第五课时 因式分解法
学校 主备人 时间
设计理念 经历探究利用因式分解的方法将一元二次方程转化为一元一次方程,让学生体会解一元二次方程的基本思想-----降次,在类比中学会利用因式分解法解一元二次方程,培养学生观察,类比,归纳,探究,交流,合作创新能力,会利用因式分解法解一元二次方程
教学目标 知识与技能： 经历探究因式分解法解一元二次方程的过程，进一步理解“降次”的思想；过程与方法： 会运用因式分解法解一元二次方程；情感态度价值观：培养学生探索精神和创新精神，合作交流意识。
重点 因式分解法解一元二次方程
难点 能熟练正确的进行因式分解
方法 启发探究 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主 探究 1 情景引入问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为：10-4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？根据题意，所列的方程为：___________________________. 你会解这个方程吗？用的方法是什么？除了配方法或公式法外，你还能找到更简单的方法解这个方程吗？2 自主学习⑴ 如果A×B=0,那么A=_______,或B=______.⑵你能根据上面的结论写出下列方程中的解吗？X(10-4.9x)=0 （x-2）(x+1)=0 (2x+1)(2x-1)=O 同学对照问题先独立自主探究，在探究的过程中可以先让学生自学教材，自己独立完成问题的解答 ，教师要深入学生了解学生的学情。在自己独立探究的基础上，小组之间交流探究的结果，讨论探究中不同的意见以及存在的问题，教师参与学生的讨论，了解学生存在的共性问题。 通过物理学上的一个引例，让学生体会可以利用一元二次方程的知识解决相关学科的问题，进一步复习一元二次方程的配方法与公式法，为因式分解法做准备。通过一联串的几个逐步转化的问题，让学生理解因式分解法的理论依据，体会利用因式分解的方法来降次的目的以及能用因式分解法解的方程的特点，培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，因式分解的能力，归纳总结能力。
⑶你会将下列方程转化成上面的形式吗 并求出方程的解吗？10x-4.9x2=0 x(x-2)+x-2=0 4x2-1=以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的 ？⑷解方程5x2-2x-=x2-2x+能用上面的方法吗？运用这种方法来解的方程必须具备什么样的条件？ 教师组织学生以小组为单位汇报探究结果，其他小组同学互相补充，教师与学生一起完善探究问题的解答，指出错误，总结方法，规律，使学生的探究得到升华
二、尝试应用 1用因式分解法解下列方程：⑴ x2+x=0 ⑵x2-2x=0 ⑶ 3x2-6x=-3⑷ 4x2-121=0 ⑸3x(2x+1)=4x+2 ⑹(x-4)2=(5-2x)22把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地的面积增加了一倍，求小圆形场地的半径 学生独立的完成解答过程，教师也可以适当的让学生板演解答过程，教师要关注后进生的答题学生之间相互交流答案，探讨方法，评价学生的解答过程，教师要与学生一起指出存在的问题，强调书写格式，明确注意事项。 通过一组题目主要让学生练习运用因式分解法解一元二次方程，检查学生自主探究的情况，进一步明确可以通过因式分解将一元二次方程转化成一元一次方程体会降次的思想通过学生练习检查学生因式分解的能力，是否掌握检查能否利用因式分解法解方程的特点，明确因式分解法解答过程的书写格式，培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，因式分解的能力，归纳总结能力
补偿提高 1用因式分解法解下列方程196x2-1=0 4x2+12x+9=81 x2-2x+1=25 x(2x-5)=4x-101-8x+16x2=2-8x2用公式法和因式分解法解方程:x2-6x+9=(5-2x)23一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求斜边的长？4一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求斜边的长？5 有一根20m长的绳，怎样用它围城一个面积为24m2的长方形？ 学生仍是独立完成问题的解答过程，学生板演，然后小组之间交流讨论，评价学生的解答过程教师巡视学生的解答过程，要特别关注在上一环节中暴露出来的问题，教师在这一环节的重点要放在方法的处理上，以及学生感觉疑难问题的解决上 进一步检查学生利用因式分解法解一元二次方程的能力，并查漏补缺，学生在上一环节中出现的问题，通过这些练习题目进行弥补，并且特别关注后进生学生的掌握知识的情况，通过第2题让学生比较两种方法，体会因式分解的优越性，同时也要让学生明白因式分解既是一种简便的方法又是一种特殊的方法通过3，4，5，6这几题让学生利用因式分解法解决其他问题，拓展学生视野，让优等生学生能得到训练并提高进一步培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，因式分解的能力，归纳总结能力
总结归纳 在这节课我的收获有哪些？还有哪些疑惑？ 让学生总结本节课所学，所感，所想，所思，使知识得到提升，再次查漏补缺。
实践探索 必做题：用因式分解法解下列方程：1）4x2-1=0 2） x2+4x+4=9 3）x(2x-5)=4x-10 选做题：向阳村2001年的人均收入为1200元，2003年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率？
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第六课时 根与系数的关系
学校 主备人 时间
设计理念 以学生的学为主体，让学生在简单明了的环节当中，轻松愉快的学习氛围当中，掌握深刻的数学理论知识，让学生体会到成就感，体会到一种积极向上的学习精神．
教学目标 知识与技能：获得并掌握一元二次方程根与系数关系定理，能利用一元二次方程根与系数的关系进行一些简单的运算．过程与方法：在探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，获得一元二次方程根与系数关系定理．情感态度价值观：
重点 发现掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程
难点 运用根与系数的关系进行一些简单的运算
方法 启发探究 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主 探究 我们在前面刚学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程不论是有无根还是根是多少都是由方程三个系数（a,b,c）决定的，这说明一元二次方程的根与系数有着非常密切的关系，除了根的判别式和根公式之外，它们之间还有怎样的关系呢？让我们一起来探究吧．首先请大家完成下面的表格：方程a、b、c的值xxx 同学对照问题先独立自主探究，在探究的过程中可以先让学生自学教材，自己独立完成问题的解答 ，教师要深入学生了解学生的学情．在自己独立探究的基础上，小组之间交流探究的结果，讨论探究中不同的意见以及存在的问题，教师参与学生的讨论，了解学生存在的共性问题． 通过填表格这么一个环节，让学生在自己的实际操作中体会到一元二次方程的两个根与它的系数有着非常密切的关系，进一步复习训练了用公式法解一元二次方程．
2、同学们，针对上面每个方程的a、b、c以及它们的两根的和、积，你有什么样的猜想，请同学们分组讨论一下你们的猜想．对于一般的一元二次方程,x，x是它的两个根，用字母表示你发现的规律： _________________________________3、针对上面的这个规律，你能从理论上加以证明吗？已知：求证：________________________________ 教师组织学生以小组为单位汇报探究结果，其他小组同学互相补充，教师与学生一起完善探究问题的解答，指出错误，总结方法，规律，使学生的探究得到升华． 通过这三个环节设计的问题，让学生深刻的认识到根与系数的关系，并从理论上加以理解、证明，进一步培养学生自主探索的精神，合作意识，观察能力，归纳总结能力．
二、尝试应用 1、如果方程2的两个根分别是x和x，则= ； = 2、方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值．3、方程的两个根分别是2与3，则 ，_____4、知方程2的两个根分别是x和x，求下列式子的值：（1）x+ x （2）xx（3）（x+2）（x+2） （4） 学生独立的完成解答过程，教师也可以适当的让学生板演解答过程，教师要关注后进生的答题．学生之间相互交流答案，评价学生的解答过程，教师要与学生一起指出存在的问题，强调书写格式，明确注意事项． 通过一组题目主要让学生练习运用根与系数的关系来解决一些简单的问题．通过学生练习的检查，进一步了解学生对本课重点内容的理解、掌握，进一步完善了学生解答过程的书写格式，培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，归纳总结能力．
补偿提高 1.一元二次方程 的一个根是3，则它的另一根是______，m的值为_______．2、一元二次方程（p,q为常数）的两个根是，则 ， ．3、以为两根的一元二次方程是 4、以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是___________________5、不解方程，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数．6、已知关于x的一元二次方程的两根之差为11，求m的值．7、在解方程时，小张看错了p，解得方程的根为1与；小王看错了q, 解得方程的根为4与，这个方程的根应该是什么？8、m为何值时，关于x的一元二次方程的两个根互为倒数． 学生仍是独立完成问题的解答过程，学生板演，然后小组之间交流讨论，评价学生的解答过程．教师巡视学生的解答过程，要特别关注在上一环节中暴露出来的问题，教师在这一环节的重点要放在方法的处理上，以及学生感觉疑难问题的解决上 进一步检查学生运用根与系数的关系来解决问题的能力，学生在上一环节中出现的问题，通过这些练习题目进行弥补，并且特别关注后进生学生的掌握知识的情况，通过这几题目的练习，拓展了学生的视野，让优等生学生能得到训练并提高进一步培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，归纳总结能力
总结归纳 1、这节课我的收获有哪些？ 2、还有哪些疑惑/ 让学生总结本节课所学，所感，所想，所思． 使知识得到提升，再次查漏补缺．
实践探索 必做题：设是方程的两个根，求的值．选做题：当k为何值时，一元二次方程：（1）有两个正根？（2）有一个正根一个负根？（3）有两个负根？
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第七课时 百分率应用
学校 主备人 时间
设计理念 本节内容是在学习完一元一次方程、一元二次方程的基础上，对方程与实际问题的把握和处理．重在结合日常事件与数学的关系，主要在商业、行程等问题上给学生具体讲解，使学生通过生活常例产生更浓的数学兴趣．
教学目标 知识与技能：会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．过程与方法：联系实际，让学生进一步以经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验．情感态度价值观：更好地体会数学的价值，进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
重点 一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题．
难点 会找相等关系列方程；能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理．
方法 观察探索规律 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主探究 1 情景引入 激趣设疑：常言道：“一传十，十传百，百传千千万”，今天我们首先探究的就是传播的问题．（一）自学课本Ｐ48探究1思考下列问题：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感．（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感．（3）列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？（4） 完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？ 学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨．最后思考题，可让学生试试独立完成．要教给学生如何审题，分析题．教师不要抱揽学生的思维过程，要让学生经历、体会思维的全过程达到建模解题的目标． 让学生对于利用一元二次方程解决增长率的问题有个初步认识．让学生从具体的问题情境中抽象出具体的数学模型．
尝试应用 例1： （教材P48探究1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染x个人根据题意列方程：（二）自学课本Ｐ46探究2思考下列问题：（1）正确理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元．（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大．（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 教师点拨：问题的关键是把握每一轮传染过后，所有的患者都是新传染源．比如：第一轮后共有（1+10）人患病，所以第二轮的传染源是11人，而不能认为是10人！★ 重点点拨问题2，根据情况教师可作必要讲解，问题4可让学生独立完成，来检查对此探究的掌握程度．此探究是平均增长率（下降率）问题，是中考考点，要引起同学们注意． 通过例1让学生对于增长率问题有个更深入的理解！让 学生探索规律，循序渐进，由浅入深，举一反三，这样才能让学生真正投入到思维活动中，发挥主体作用，切身感受到思考的快乐！
补偿提高 1、某校九年级毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留念，全班共送了2250张相片；如果全班有x名同学，根据题意列方程为（ ）A、 B、 C、 D2、某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为： ．3、（2008中考）某商店原价289元，经连续两次降价，售价为256元，设平均每次下降的百分率为x，则下面所列方程正确是（ ）A、289(1－x)2=256 B、256(1-x)2=289C、289(1-2x)=256 D、256(1-2x) =289 教师在学生解题中要适时给予恰当的指导，对学生回答给出评价．要求学生多数在练习本上选做，部分学生板书，最后师生共同评价！同学对照问题先独立自主探究，在探究的过程中可以先让学生自学教材，自己独立完成问题的解答 ，教师要深入学生了解学生的学情． 通过这组练习主要为了巩固加强 对增长率问题的理解，让学生通过一定量的练习，强化这一知识点！
总结归纳 让学生总结本节课所学，所感，所想，所思，使知识得到提升，再次查漏补缺
实践探索 必做题：某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为700吨，求平均每月增长率为多少？选做题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）1
第八课时 实际问题与一元二次方程
学校 主备人 时间
设计理念 通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
教学目标 知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．过程与方法：经历实际问题探究分析过程，锻炼学生解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。情感态度与价值观：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生的进取心，体会数学的应用价值。
重点 列一元二次方程解应用题
难点 发现问题中的等量关系
方法 自主探究 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、复习提问 回顾解应用题的一般步骤 教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充．教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题． 为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫．
二、新课探究 要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等 宽，该如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位） 问题：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？ 教师展示课件“设计封面”，请一位同学朗读题目．教师提出问题（1）．学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系．教师提出问题（2）．学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7．教师提出问题（3）．学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．教师应注意：（1）学生对几何图形的分析能力；（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；（3）在讨论中能否互相合作；（4）解答一元二次方程的能力；（5）学生回答问题时的语言表达是否准确．教师提出问题 问题（1）（2）都是帮助学生更好地理解题意，为后面的解题做铺垫．问题（3）是中心环节，通过学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性．在某些解法中，利用图形变换简化数量关系是解决图形有关问题的一种重要手段，为下个活动埋下一个伏笔．问题（4）可以使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
三、巩固提高 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？ 问题：本题中有哪些数量关系？（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？（3）对比下列两个图形，它们有什么联系与区别？（4）有什么方法使本题易于解决？ 教师提出问题（1）．学生回答，教师在题目中指出．教师提出问题（2）．学生思考．因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题的前3问即可，如有不完全的地方，教师适当补充．第（4）问让大家适当思考，请同学回答，教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理．教师提出问题（3）． 学生分组讨论，教师指导．引领学生讨论后请一位同学回答．教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不容易表示。教师提出问题（4）学生分组讨论，画图，上台演示．教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则． 活动3的设计就是基于这个前提，首先使同学熟悉活动2中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究． 问题（1）（2）是针对活动2的巩固性练习．但是由于本题的数量关系变形的空间比较狭窄，经过解析之后依然不能得到比较满意的答案．由此激发学生进一步探究的热情．问题（3）是活动3的中心环节，以图形对比的问题为引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生以活动2中的封面问题为模型，构建活动3中的草坪问题的解题思路．在学生充分思考之后，学生会自然产生动手实践的欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评．
四 、归纳总结 通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？ 教师提出问题，学生回答．教师总结．在活动中，教师应注意：（1）对知识的归纳，总结，整理能力；（2）知识的横向联系能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想． 点明本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知识脉络清晰．
实践探索 必做题：习题22.3第3题5,8题。选做题：复习题22第8,11题。
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第九课时 一元二次方程复习
学校 主备人 时间
设计理念 逐步引导学生复习本章知识点，能够准确熟练的辨别方法，并加以解决．
教学目标 知识与技能：掌握一元二次方程的概念及解法，能准确、熟练地解一元二次方程．会根据具体情境列一元二次方程并求解．过程与方法：经历分析问题、解决问题的过程，发展学生的分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识．情感态度与价值观：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生的进取心，体会数学的应用价值．
重点 能准确、熟练地解一元二次方程．
难点 根据具体情境列一元二次方程
方法 由易到难，层层深入． 课型 复习课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主 探究 我校有一块长16m，宽12m的矩形荒地，要在这块荒地上种植花草，使花草面积占荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？如何解决上述问题？你所列的方程是什么方程？什么叫一元二次方程？ 1、分小组回顾，交流、补充一元二次方程的有关知识点．2、师生互动、梳理结构： 复习知识点，明确本章的知识结构．
二、尝试应用 题型一：一元二次方程的概念1、已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a=____2、若方程x２+(m２-1)x+m=0的两根互为相反数，则m=____3、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程．题型二：解一元二次方程１、若（x+y）(x+y+2)-8=0,则x+y=___２、已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，则代数式的值是___ 根据学生的能力水平分别练习，让学生在分组中找到乐趣． 层层深入，逐步复习本章知识点．
３、关于x的一元二次方程x2-m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围_____４、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为１和２，则b=_____，c=_____5、已知关于x的一元二次方程x2+(m-1)x-2m2+m=0(m为实数)有两个实数根x1，x2．⑴当m为何值时，x1≠x2⑵若x12+x22=2,求m的值．题型三：一元二次方程的应用 在学生训练中发现问题，讲练结合，达到巩固、熟练的目标
三、补偿提高 1．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．2．关于x的方程，当 ________时为一元一次方程；当 ___________时为一元二次方程．3．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是______．4．已知2是方程的一个根，则＝ ．5.某种药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，则平均每次降价的百分数为 .6.解下列方程1） ； 2）； 3）4）（用配方法）； 5）3x2+5(2x+1)=0 （用公式法）； 6） 7） 8）＝（x+1）＋567、如图，有一个面积为的长方形花园（花园的一边靠墙，墙长），另外三边用 栏杆围成，如果栏杆长，求长方形花园的长和宽．
四、总结归纳 通过复习你还有什么疑惑？
实践探索 必做题：如果关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程 的根的情况．选做题：解方程．
《一元二次方程》检测试题
姓名 考号 成绩 参考时间：45分钟
一、选择题：（每小题4分，共32分）
1、关于x的方程(a-1)x2-3x+2=0是一元二次方程，则( )．
A a<0 B a>0 C a≠1 D a≥0
2、一元二次方程x2-9=0的根为（ ）．
A x=3 B x=-3 C x1=0,x2=9 D x1=3,x2=-3
3、用配方法解方程y2-8y+5=0,变形正确的是（ ）．
A (y-4)2=11 B (y-4)2=21 C (y+4)2=11 D (y+4)2=21
4、方程x(x-1)=x的根是（ ）．
A x=2 B x=-2 C x1=-2,x2=0 D x1=2,x2=0
5、方程x2-x+2=0的根的情况是（ ）．
A 只有一个实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 没有实数根
6、已知（x2+y2）2-(x2+y2)-12=0，则x2+y2的值是（ ）．
A 4 B -3 C -3或4 D -3或-4
7、一个多边形有9条对角线，则这个多边形是（ ）边形．
A 6 B 7 C 8 D 9
8、某商品原价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）．
A 289(1+x)2=256 B 289(1-x)2=256 C 256(1+x)2=289 D 256(1-x)2=289
二、填空题：（每小题4分，共32分）
9、方程（x+2）(x-3)=5x(x+1)化成一般形式为_________________________.
10、已知x=1是关于x的方程x2-ax+6=0的一个根，则a=______,另一个根为__________.
11、写出一个方程，使它的一个根x=2,另一个根满足-112、关于x的方程x2+4x+k=0有实数根，则k的取值范围是_______________．
13、若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为_______________.
14、若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足a+b+c=0，则方程一定有一个根________.
15、一个两位数，个位数比十位数大3，个位数的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是_____________________.
16、下列说法:⑴方程x(x+3)=2(x+3)的解只有x=2； ⑵方程x2+5X+10=0的两个根之和为-5，两根之积为10； ⑶ 若m,n满足m2+6m+4=0,n2+6n+4=0,则m,n是方程x2+6x+4=0的两个根；其中说法正确的是___________________． （添序号）
三、 解答题：（共36分）
17、解下列方程：（每小题4分，共16分）
⑴2x2+3x-2=0 (配方法) ⑵(x+1)2=4x
⑶4x(2x+1)=3(2x+1) （因式分解法） ⑷ (x-3)(1-3x)=2（公式法）
18、某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“国庆节”，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经过市场调查发现：如果每件降价一元，那么平均每天就可多售出2件，想要平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？（本小题8分）
19、美化城市，改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，某市进几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加(如图所示)根据图中所提供的信息，回答下列问题：（本小题12分）
⑴2001年的绿地面积为_______公顷，比2000年增加了__________公顷，在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最快的是________年。
⑵为满足城市发展的需求，计划到2003年使城区绿地面积达到72.6公顷，试求这两年（2001——2003）绿地面积的年平均增长率。
1998
2001
年份
48
51
56
60
绿地面积（公顷）
2000
1999
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 29 页） 版权所有@21世纪教育网
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第一课时 一元二次方程
学校 主备人 时间
设计理念 对一元二次方程及相关的概念，不要强调过于形式化的定义，也不要学生死记硬背定义，会概括一元二次方程中二次项系数，一次项系数，常数项等概念，要引导学生通过交流、辨析、先将方程华为一般形式，并注意系数的符号。
教学目标 知识与技能：使学生进一步理解和掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式。 过程与方法：通过一元二次方程概念的教学,培养学生善于观察,发现,探索,归纳问题的能力,培养学生创造性思维和逻辑推理的能力。情感态度价值观：通过一元二次方程概念的教学,培养学生把感性认识上升到理性认识的辩证唯物主义的观点。
重点 一元二次方程的概念
难点 一元二次方程(特别是含有字母系数的)化成一般形式
方法 观察探索规律 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
自主探究 情景引入问题：1、 剪一块面积为150的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？问题2、把面积为4平方米的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形的两部分，求正方形的边长。问题3、国家统计局统计的数据显示，浙江省2001年全省实现生产总值6700亿元， 2003年实现生产总值9200亿元，浙江省两年的年平均增长率是多少？ 对照问题先独立自主探究，在探究的过程中可以先让学生自学教材，自己独立完成问题的解答 。教师不要抱揽学生的思维过程，要让学生经历、体会思维的全过程达到建模解题的目标。学生分组交流完成。 让学生真切体验到已有方程知识的不足，为深入理解一元二次方程的概念做好铺垫。让学生从具体的问题情境中抽象出具体的数学模型。体会一元二次方程的不同之处。让学生形成自己的知识体系。
显然，这几个方程都不是一元一次方程，那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：(1)_________________(2) ________________(3)________________归纳:① 什么叫一元二次方程？②一元二次方程的一般形式：③什么叫方程的解？
尝试应用 1、判断下列哪些是一元二次方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 2、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项： 1） 2） 3）3、下面哪些数是方程的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 概念的教学不宜让学生死记硬背，而是通过探索发现与交流加深印象，达到掌握的目标！ 目的是巩固一元二次方程的概念，让学生在们在练习中理解掌握概念。在练习中既要让学生知其然，又要知其所以然。加强学生对一元二次方程根的理解！
补偿提高 1、是一元二次方程，则有( ) A a﹥0 B a≠0 C a=1 D a≥02、=1是一元二次方程的根，则a+b=____3、无论为何实数，以下仍是一元二次方程的是（ ） A B C D 4、当m为何值时，(m+2) +3mx+1=0是关于x的一元二次方程？5、⑴a是否等于1，为什么？⑵求a:b:c的值6、 若方程中，满足和，则方程的根是（ ）（A）1，0 （B）-1，0（C）1，-1 （D）无法确定 7、 已知是实数，若，则下列说法正确的是（ ）（A）一定是0 （B）一定是0 （C）或 （D）且 教师在学生解题中要适时给予恰当的指导，对学生回答给出评价。要求学生多数在练习本上选做，部分学生板书，最后师生共同评价！注意一般把二次项系数化为正数。
8、若是关于的一元二次方的根，且≠0，则+的值为（ ）（A）（B）1 （C）（D）9、关于的一元二次方程的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）10、某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为元，求原价是。
归纳总结 一元二次方程是初中数学知识体系中的重要内容，也是我们今后学习其他知识的基础，更是历年各地中考的热点知识之一。学好本节内容，要注重以下三个方面的学习：1、能够正确理解一元二次方程的概念；2、能够熟练掌握一元二次方程的一般形式；3、能够理解和应用一元二次方程的解的意义。
实践探索 必做题：关于x的一元二次方程整理成一般形式后为。选做题：求k为何值时，关于x的方程 ⑴ 是一元一次方程？ ⑵ 是一元二次方程？
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第二课时 直接开平方法
学校 主备人 时间
设计理念 由浅入深、由易到难．从学生练习中发现问题、讲解、练习、思考相结合，达到巩固、熟练的目标．
教学目标 知识与技能：1、掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程；2、会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备．过程与方法：会解（x－a）2=b（b≥0）型的方程．情感态度与价值观：通过探索、观察、分析、比较，实现知识的迁移与转化．
重点 掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程．
难点 会解某些一元二次方程
方法 学导结合 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一．知识回顾 1.、举例说明什么是一元二次方程？ 2、平方根的概念及开平方根运算． 学生回答、补充．
二．自主探究 1．如何用平方根的知识解下列方程 例如：解第1题如下：解：移项，得 =36 两边开方得 x=6 所以原方程的解是． 师生类比、探索、发现； 教师强调方程根的写法．学生相互交流、增强感性认识．仿照例子完成第2、3两题．学生板演、让基础不同的学生在活动中都有成就感．
2．尝试写出下列方程的根． A组： （1） 9= 1（2） 25- 4 = 0 （3） 4 = 2 B 组 （1） = 4 （2） =5C组 （1）3 - 6=0 (2) -4x+ 4 = 5（3） - 2x + 1 = 5 (4) 9 +6x +1 =4 归纳：通过求解你发现了什么规律？ 3．组内交流．上面的解法中，实质上是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，如果方程能化成=p或=p （p≥0）的形式，那么可得 x=± 或mx+n=±． 习惯把这种解法叫直接开平方法 如果P等于0或小于0，方程根的情况又如何？
三、尝试应用 解下列一元二次方程 (1) -6x+9=4 (2)4+4x+1 =2 (3) +4x+4=9(4) 3=27 (5) -144=0 (6) -2(y+1)+1=0 学生板演、教师从学生练习中发现问题、及时评议．
四、补偿提高 完成下列各题： 1.方程-=0的根是． 2.若 8- 16 =0，则 x=． 3. 若代数式2-x+1与的值互为相反数，则的值为． 4.解下列一元二次方程 ： 1） 5=6 2）
五、实践探索 必做题：课本42页第一题．选做题：．
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第三课时 配方法解一元二次方程
学校 主备人 时间
设计理念 经历探究利用配方法将一元二次方程转化为一元一次方程,让学生体会解一元二次方程的基本思想-----降次,在类比直接开平方法中学会利用配法解一元二次方程,培养学生观察,类比,归纳,探究,交流,合作创新能力。
教学目标 知识与技能：经历探究配方法解一元二次方程的过程，进一步理解“降次”的思想。过程与方法： 会运用配方法解一元二次方程。情感态度与价值观：培养学生探索精神和创新精神，合作交流意识。
重点 配方法解一元二次方程
难点 能熟练正确的运用配方法解一元二次方程
方法 探究式教学 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
自主探究 问题情景；1、（投影） 要使一块矩形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，场地的长和宽应各是多少？（只列方程）（分析：矩形的面积为长乘以宽，题中给出长宽之间的关系，要求学生设未知数，用代数式表示长宽，根据数量关系得出方程并化简）2、 解下列方程 （1）x-6x+9=4 (2) 4x+4x+1=2 (3) x+4x+4=93、完全平方公式__________________ 4、 填空： （1）x-12x+( )=〔x-( )〕(2)x+10x+( )=〔x+( )〕 观察与思考：（1）第1题中的方程与第2题中的三个方程有什么不同？学生分小组讨论：怎样把第1题方程左边化为完全平方式，而右边是一个非负常数？交流归纳：怎样配常数项才能使题中左边成成为完全平方式？（应配：二次项系数一半的平方） 通过实际问题引入得到方程，把问题呈现在学生面前，通过设疑激发学生求知欲望。练习意在让学生发现问题，并用化归思想发现解决问题的方法和思路。学生分组讨论后，可能不会都有满意的结果，让学生带着求知的愿望去学习，设置填空是为了巩固旧知，学习新知作准备。此时教师可以规范板书作适当讲解，目的为学生解题作出必要的规范要求，养成良好的学习习惯，达到规范解题的目标，但解答过程应由学生自己完成。
尝试应用 1、 填出解方程x+6x-16=0空缺的步骤：解： x+6x-16=0 x+6x=16 x+6x+3=16+9 (x+3) =25 x+3=5 或 x+3= -5 x=；x= 。 2、解下列方程：（1） x-8x+1=0 (2) x+10x+16=0 (3) 2x+1=3x (4) 3x-6x+4=0 1、总结：________叫配方法。2、交流答案，（3）（4）与（1）（2）有什么不同 怎样解（3）(4) （试写出配方法步骤） 相互补充，相互促进，培养合作意识 。
补偿提高 1、 试一试，将下列各式进行配方：（1）+5x+( )=(x+ ); (2)x-x+____=(x- ) (3) x+8x+____=(x+ ) (4) x-10x+____=(x- )(5) x-5x+_____=(x-_____) (6) x+6x+_____=(x+___)2、用配方法解下列方程：（1） x+10x+9=0 (2) x-x-=0(3) 3x+6x-4=0 (4) 4x-6x-3=0(5) x+4x-9=2x-11 (6) x(x+4)=8x+12 学生独立完成，教师巡视加以指导，发现问题共同订正。
归纳总结 1、 配方法解一元二次方程步骤为： (1) 化简 _________________； (2) 移项 _________________ ； （3）配方 ________________ 。 2、 配方法的理论依据是完全平方公式，配方法以直接开平方法为基础，配方的目的是为了开平方降次。3、要通过观察，比较，分析去发现新旧知识的联系，学会化归，学会创新。
实践探索 必做题：教科书第42页第三题。选做题：同步拓展性学习
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第四课时 公式法解一元二次方程
学校 主备人 时间
设计理念 由简到难，让学生在练习中总结规律，找到方法．逐步培养推理能力并能熟练应用．
教学目标 知识与技能：理解并掌握一元二次方程的求根公式，正确、熟练地运用公式法解一元二次方程．过程与方法：通过求根公式的推导，培养学生推理能力、解方程的能力．情感态度价值观：形成全面解决问题的积极情感．
重点 运用公式法解一元二次方程．
难点 正确确定系数和准确运用公式．
方法 学导结合 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主 探究 问题：1、能用配方法解2x2-8x-9=0吗？2、你能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？ 学生练习，归纳．教师引导学生完成三种分类的归纳 引导学生解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）；具体步骤：1、二次项系数化为1得x2+x+=0；2、移项x2+x=-；3、配方x2+2·x·+（）2=（）2- 即（x+）2=．因为a≠0，所以4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：（1）b2-4ac>0时（2）b2-4ac=0时（3）b2-4ac<0时
二、尝试应用 1解下列方程：2x2+x-6=0； x2+4x=2；5x2-4x-12=0； 4x2+4x+10=1-8x．2用公式法解下列方程 ⑴6x2-13x-5=0；⑵x（x+8）=16； ⑶x2-4x=4； ⑷-x2-3x+6=0；⑸x2=2（x+1）； ⑹0.009x2-3x+6=0． 学生板练，明确方法． 明确 运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解．
补偿提高 1、选择适当的方法解下列关于x的方程：①（2x-）2=8； ②12x2+7x+1=0；③x2-2x-1=0； ④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；⑤mx2-（3m2+2）x+6m=0（m≠0）．2、已知关于x的方程2x2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c和x的值．3、不解方程，判别下列方程的根的情况． ①2x2+4x+35=0； ②4m（m-1）+1=0；③0.2x2-5=x； ④4（y2+0.99）=2.4y；⑤x2-=x； ⑥2t=（t2+）．4、已知y1＝2x＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
总结归纳 一般的，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ= b2-4ac归纳总结：当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根．当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根．当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根．当Δ≥0时，方程的实数根可写为x=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
实践探索 必做题：解下列方程：1）6x2-13x-5=0；2）12x2+7x+1=0．选做题：已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程－17x＋66＝0的根．求此三角形的周长．
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第五课时 因式分解法
学校 主备人 时间
设计理念 经历探究利用因式分解的方法将一元二次方程转化为一元一次方程,让学生体会解一元二次方程的基本思想-----降次,在类比中学会利用因式分解法解一元二次方程,培养学生观察,类比,归纳,探究,交流,合作创新能力,会利用因式分解法解一元二次方程
教学目标 知识与技能： 经历探究因式分解法解一元二次方程的过程，进一步理解“降次”的思想；过程与方法： 会运用因式分解法解一元二次方程；情感态度价值观：培养学生探索精神和创新精神，合作交流意识。
重点 因式分解法解一元二次方程
难点 能熟练正确的进行因式分解
方法 启发探究 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主 探究 1 情景引入问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为：10-4.9x2。你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？根据题意，所列的方程为：___________________________. 你会解这个方程吗？用的方法是什么？除了配方法或公式法外，你还能找到更简单的方法解这个方程吗？2 自主学习⑴ 如果A×B=0,那么A=_______,或B=______.⑵你能根据上面的结论写出下列方程中的解吗？X(10-4.9x)=0 （x-2）(x+1)=0 (2x+1)(2x-1)=O 同学对照问题先独立自主探究，在探究的过程中可以先让学生自学教材，自己独立完成问题的解答 ，教师要深入学生了解学生的学情。在自己独立探究的基础上，小组之间交流探究的结果，讨论探究中不同的意见以及存在的问题，教师参与学生的讨论，了解学生存在的共性问题。 通过物理学上的一个引例，让学生体会可以利用一元二次方程的知识解决相关学科的问题，进一步复习一元二次方程的配方法与公式法，为因式分解法做准备。通过一联串的几个逐步转化的问题，让学生理解因式分解法的理论依据，体会利用因式分解的方法来降次的目的以及能用因式分解法解的方程的特点，培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，因式分解的能力，归纳总结能力。
⑶你会将下列方程转化成上面的形式吗 并求出方程的解吗？10x-4.9x2=0 x(x-2)+x-2=0 4x2-1=以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次的 ？⑷解方程5x2-2x-=x2-2x+能用上面的方法吗？运用这种方法来解的方程必须具备什么样的条件？ 教师组织学生以小组为单位汇报探究结果，其他小组同学互相补充，教师与学生一起完善探究问题的解答，指出错误，总结方法，规律，使学生的探究得到升华
二、尝试应用 1用因式分解法解下列方程：⑴ x2+x=0 ⑵x2-2x=0 ⑶ 3x2-6x=-3⑷ 4x2-121=0 ⑸3x(2x+1)=4x+2 ⑹(x-4)2=(5-2x)22把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地的面积增加了一倍，求小圆形场地的半径 学生独立的完成解答过程，教师也可以适当的让学生板演解答过程，教师要关注后进生的答题学生之间相互交流答案，探讨方法，评价学生的解答过程，教师要与学生一起指出存在的问题，强调书写格式，明确注意事项。 通过一组题目主要让学生练习运用因式分解法解一元二次方程，检查学生自主探究的情况，进一步明确可以通过因式分解将一元二次方程转化成一元一次方程体会降次的思想通过学生练习检查学生因式分解的能力，是否掌握检查能否利用因式分解法解方程的特点，明确因式分解法解答过程的书写格式，培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，因式分解的能力，归纳总结能力
补偿提高 1用因式分解法解下列方程196x2-1=0 4x2+12x+9=81 x2-2x+1=25 x(2x-5)=4x-101-8x+16x2=2-8x2用公式法和因式分解法解方程:x2-6x+9=(5-2x)23一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求斜边的长？4一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求斜边的长？5 有一根20m长的绳，怎样用它围城一个面积为24m2的长方形？ 学生仍是独立完成问题的解答过程，学生板演，然后小组之间交流讨论，评价学生的解答过程教师巡视学生的解答过程，要特别关注在上一环节中暴露出来的问题，教师在这一环节的重点要放在方法的处理上，以及学生感觉疑难问题的解决上 进一步检查学生利用因式分解法解一元二次方程的能力，并查漏补缺，学生在上一环节中出现的问题，通过这些练习题目进行弥补，并且特别关注后进生学生的掌握知识的情况，通过第2题让学生比较两种方法，体会因式分解的优越性，同时也要让学生明白因式分解既是一种简便的方法又是一种特殊的方法通过3，4，5，6这几题让学生利用因式分解法解决其他问题，拓展学生视野，让优等生学生能得到训练并提高进一步培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，因式分解的能力，归纳总结能力
总结归纳 在这节课我的收获有哪些？还有哪些疑惑？ 让学生总结本节课所学，所感，所想，所思，使知识得到提升，再次查漏补缺。
实践探索 必做题：用因式分解法解下列方程：1）4x2-1=0 2） x2+4x+4=9 3）x(2x-5)=4x-10 选做题：向阳村2001年的人均收入为1200元，2003年的人均收入为1452元，求人均收入的年平均增长率？
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第六课时 根与系数的关系
学校 主备人 时间
设计理念 以学生的学为主体，让学生在简单明了的环节当中，轻松愉快的学习氛围当中，掌握深刻的数学理论知识，让学生体会到成就感，体会到一种积极向上的学习精神．
教学目标 知识与技能：获得并掌握一元二次方程根与系数关系定理，能利用一元二次方程根与系数的关系进行一些简单的运算．过程与方法：在探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，获得一元二次方程根与系数关系定理．情感态度价值观：
重点 发现掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程
难点 运用根与系数的关系进行一些简单的运算
方法 启发探究 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主 探究 我们在前面刚学习过用公式法解一元二次方程，在那里，我们已经看出：一元二次方程不论是有无根还是根是多少都是由方程三个系数（a,b,c）决定的，这说明一元二次方程的根与系数有着非常密切的关系，除了根的判别式和根公式之外，它们之间还有怎样的关系呢？让我们一起来探究吧．首先请大家完成下面的表格：方程a、b、c的值xxx 同学对照问题先独立自主探究，在探究的过程中可以先让学生自学教材，自己独立完成问题的解答 ，教师要深入学生了解学生的学情．在自己独立探究的基础上，小组之间交流探究的结果，讨论探究中不同的意见以及存在的问题，教师参与学生的讨论，了解学生存在的共性问题． 通过填表格这么一个环节，让学生在自己的实际操作中体会到一元二次方程的两个根与它的系数有着非常密切的关系，进一步复习训练了用公式法解一元二次方程．
2、同学们，针对上面每个方程的a、b、c以及它们的两根的和、积，你有什么样的猜想，请同学们分组讨论一下你们的猜想．对于一般的一元二次方程,x，x是它的两个根，用字母表示你发现的规律： _________________________________3、针对上面的这个规律，你能从理论上加以证明吗？已知：求证：________________________________ 教师组织学生以小组为单位汇报探究结果，其他小组同学互相补充，教师与学生一起完善探究问题的解答，指出错误，总结方法，规律，使学生的探究得到升华． 通过这三个环节设计的问题，让学生深刻的认识到根与系数的关系，并从理论上加以理解、证明，进一步培养学生自主探索的精神，合作意识，观察能力，归纳总结能力．
二、尝试应用 1、如果方程2的两个根分别是x和x，则= ； = 2、方程的一个根是3，求方程的另一个根及c的值．3、方程的两个根分别是2与3，则 ，_____4、知方程2的两个根分别是x和x，求下列式子的值：（1）x+ x （2）xx（3）（x+2）（x+2） （4） 学生独立的完成解答过程，教师也可以适当的让学生板演解答过程，教师要关注后进生的答题．学生之间相互交流答案，评价学生的解答过程，教师要与学生一起指出存在的问题，强调书写格式，明确注意事项． 通过一组题目主要让学生练习运用根与系数的关系来解决一些简单的问题．通过学生练习的检查，进一步了解学生对本课重点内容的理解、掌握，进一步完善了学生解答过程的书写格式，培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，归纳总结能力．
补偿提高 1.一元二次方程 的一个根是3，则它的另一根是______，m的值为_______．2、一元二次方程（p,q为常数）的两个根是，则 ， ．3、以为两根的一元二次方程是 4、以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是___________________5、不解方程，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是原方程各根的倒数．6、已知关于x的一元二次方程的两根之差为11，求m的值．7、在解方程时，小张看错了p，解得方程的根为1与；小王看错了q, 解得方程的根为4与，这个方程的根应该是什么？8、m为何值时，关于x的一元二次方程的两个根互为倒数． 学生仍是独立完成问题的解答过程，学生板演，然后小组之间交流讨论，评价学生的解答过程．教师巡视学生的解答过程，要特别关注在上一环节中暴露出来的问题，教师在这一环节的重点要放在方法的处理上，以及学生感觉疑难问题的解决上 进一步检查学生运用根与系数的关系来解决问题的能力，学生在上一环节中出现的问题，通过这些练习题目进行弥补，并且特别关注后进生学生的掌握知识的情况，通过这几题目的练习，拓展了学生的视野，让优等生学生能得到训练并提高进一步培养学生自主探索的精神，合作意识，转化的思想，整体思想，观察能力，归纳总结能力
总结归纳 1、这节课我的收获有哪些？ 2、还有哪些疑惑/ 让学生总结本节课所学，所感，所想，所思． 使知识得到提升，再次查漏补缺．
实践探索 必做题：设是方程的两个根，求的值．选做题：当k为何值时，一元二次方程：（1）有两个正根？（2）有一个正根一个负根？（3）有两个负根？
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第七课时 百分率应用
学校 主备人 时间
设计理念 本节内容是在学习完一元一次方程、一元二次方程的基础上，对方程与实际问题的把握和处理．重在结合日常事件与数学的关系，主要在商业、行程等问题上给学生具体讲解，使学生通过生活常例产生更浓的数学兴趣．
教学目标 知识与技能：会根据具体问题（按一定传播速度传播问题和平均增长率或降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理,进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．过程与方法：联系实际，让学生进一步以经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验．情感态度价值观：更好地体会数学的价值，进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．
重点 一元二次方程在实际问题中的应用，列方程解应用题．
难点 会找相等关系列方程；能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理．
方法 观察探索规律 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主探究 1 情景引入 激趣设疑：常言道：“一传十，十传百，百传千千万”，今天我们首先探究的就是传播的问题．（一）自学课本Ｐ48探究1思考下列问题：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感．（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感．（3）列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？（4） 完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？ 学生可在交流中解决问题，教师深入小组讨论，对疑惑较多的问题要点拨；前两个问是解题的关键，可作适当点拨．最后思考题，可让学生试试独立完成．要教给学生如何审题，分析题．教师不要抱揽学生的思维过程，要让学生经历、体会思维的全过程达到建模解题的目标． 让学生对于利用一元二次方程解决增长率的问题有个初步认识．让学生从具体的问题情境中抽象出具体的数学模型．
尝试应用 例1： （教材P48探究1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，毎轮传染中平均一个人传染了几个人？解：设每轮传染中平均一个人传染x个人根据题意列方程：（二）自学课本Ｐ46探究2思考下列问题：（1）正确理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元．（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大．（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 教师点拨：问题的关键是把握每一轮传染过后，所有的患者都是新传染源．比如：第一轮后共有（1+10）人患病，所以第二轮的传染源是11人，而不能认为是10人！★ 重点点拨问题2，根据情况教师可作必要讲解，问题4可让学生独立完成，来检查对此探究的掌握程度．此探究是平均增长率（下降率）问题，是中考考点，要引起同学们注意． 通过例1让学生对于增长率问题有个更深入的理解！让 学生探索规律，循序渐进，由浅入深，举一反三，这样才能让学生真正投入到思维活动中，发挥主体作用，切身感受到思考的快乐！
补偿提高 1、某校九年级毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留念，全班共送了2250张相片；如果全班有x名同学，根据题意列方程为（ ）A、 B、 C、 D2、某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为： ．3、（2008中考）某商店原价289元，经连续两次降价，售价为256元，设平均每次下降的百分率为x，则下面所列方程正确是（ ）A、289(1－x)2=256 B、256(1-x)2=289C、289(1-2x)=256 D、256(1-2x) =289 教师在学生解题中要适时给予恰当的指导，对学生回答给出评价．要求学生多数在练习本上选做，部分学生板书，最后师生共同评价！同学对照问题先独立自主探究，在探究的过程中可以先让学生自学教材，自己独立完成问题的解答 ，教师要深入学生了解学生的学情． 通过这组练习主要为了巩固加强 对增长率问题的理解，让学生通过一定量的练习，强化这一知识点！
总结归纳 让学生总结本节课所学，所感，所想，所思，使知识得到提升，再次查漏补缺
实践探索 必做题：某厂今年一月总产量为500吨，三月的总产量为700吨，求平均每月增长率为多少？选做题：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）1
第八课时 实际问题与一元二次方程
学校 主备人 时间
设计理念 通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
教学目标 知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．过程与方法：经历实际问题探究分析过程，锻炼学生解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。情感态度与价值观：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生的进取心，体会数学的应用价值。
重点 列一元二次方程解应用题
难点 发现问题中的等量关系
方法 自主探究 课型 新授课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、复习提问 回顾解应用题的一般步骤 教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充．教师应注意：（1）学生对列方程解应用问题的步骤是否清楚；（2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题． 为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫．
二、新课探究 要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等 宽，该如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位） 问题：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？ 教师展示课件“设计封面”，请一位同学朗读题目．教师提出问题（1）．学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系．教师提出问题（2）．学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9∶7．教师提出问题（3）．学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法．其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示学生分组，分别按问题（3）中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．教师应注意：（1）学生对几何图形的分析能力；（2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理；（3）在讨论中能否互相合作；（4）解答一元二次方程的能力；（5）学生回答问题时的语言表达是否准确．教师提出问题 问题（1）（2）都是帮助学生更好地理解题意，为后面的解题做铺垫．问题（3）是中心环节，通过学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性．在某些解法中，利用图形变换简化数量关系是解决图形有关问题的一种重要手段，为下个活动埋下一个伏笔．问题（4）可以使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验．
三、巩固提高 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？ 问题：本题中有哪些数量关系？（2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？（3）对比下列两个图形，它们有什么联系与区别？（4）有什么方法使本题易于解决？ 教师提出问题（1）．学生回答，教师在题目中指出．教师提出问题（2）．学生思考．因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题的前3问即可，如有不完全的地方，教师适当补充．第（4）问让大家适当思考，请同学回答，教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理．教师提出问题（3）． 学生分组讨论，教师指导．引领学生讨论后请一位同学回答．教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不容易表示。教师提出问题（4）学生分组讨论，画图，上台演示．教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则． 活动3的设计就是基于这个前提，首先使同学熟悉活动2中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究． 问题（1）（2）是针对活动2的巩固性练习．但是由于本题的数量关系变形的空间比较狭窄，经过解析之后依然不能得到比较满意的答案．由此激发学生进一步探究的热情．问题（3）是活动3的中心环节，以图形对比的问题为引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生以活动2中的封面问题为模型，构建活动3中的草坪问题的解题思路．在学生充分思考之后，学生会自然产生动手实践的欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评．
四 、归纳总结 通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？ 教师提出问题，学生回答．教师总结．在活动中，教师应注意：（1）对知识的归纳，总结，整理能力；（2）知识的横向联系能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想． 点明本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知识脉络清晰．
实践探索 必做题：习题22.3第3题5,8题。选做题：复习题22第8,11题。
义务教育课标实验教科书数学九年级（上册）
第九课时 一元二次方程复习
学校 主备人 时间
设计理念 逐步引导学生复习本章知识点，能够准确熟练的辨别方法，并加以解决．
教学目标 知识与技能：掌握一元二次方程的概念及解法，能准确、熟练地解一元二次方程．会根据具体情境列一元二次方程并求解．过程与方法：经历分析问题、解决问题的过程，发展学生的分析问题，解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识．情感态度与价值观：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生的进取心，体会数学的应用价值．
重点 能准确、熟练地解一元二次方程．
难点 根据具体情境列一元二次方程
方法 由易到难，层层深入． 课型 复习课
教 学 过 程
教 学 环 节 教 学 内 容 师 生 活 动 设 计 意 图
一、自主 探究 我校有一块长16m，宽12m的矩形荒地，要在这块荒地上种植花草，使花草面积占荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？如何解决上述问题？你所列的方程是什么方程？什么叫一元二次方程？ 1、分小组回顾，交流、补充一元二次方程的有关知识点．2、师生互动、梳理结构： 复习知识点，明确本章的知识结构．
二、尝试应用 题型一：一元二次方程的概念1、已知x=-1是关于x的方程2x2+ax-a2=0的一个根，则a=____2、若方程x２+(m２-1)x+m=0的两根互为相反数，则m=____3、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程．题型二：解一元二次方程１、若（x+y）(x+y+2)-8=0,则x+y=___２、已知x是一元二次方程x2+3x-1=0的实数根，则代数式的值是___ 根据学生的能力水平分别练习，让学生在分组中找到乐趣． 层层深入，逐步复习本章知识点．
３、关于x的一元二次方程x2-m=2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围_____４、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为１和２，则b=_____，c=_____5、已知关于x的一元二次方程x2+(m-1)x-2m2+m=0(m为实数)有两个实数根x1，x2．⑴当m为何值时，x1≠x2⑵若x12+x22=2,求m的值．题型三：一元二次方程的应用 在学生训练中发现问题，讲练结合，达到巩固、熟练的目标
三、补偿提高 1．方程2x2-x-2=0的二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．2．关于x的方程，当 ________时为一元一次方程；当 ___________时为一元二次方程．3．已知x2-2x-3与x+7的值相等，则x的值是______．4．已知2是方程的一个根，则＝ ．5.某种药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，则平均每次降价的百分数为 .6.解下列方程1） ； 2）； 3）4）（用配方法）； 5）3x2+5(2x+1)=0 （用公式法）； 6） 7） 8）＝（x+1）＋567、如图，有一个面积为的长方形花园（花园的一边靠墙，墙长），另外三边用 栏杆围成，如果栏杆长，求长方形花园的长和宽．
四、总结归纳 通过复习你还有什么疑惑？
实践探索 必做题：如果关于x的方程没有实数根，试判断关于x的方程 的根的情况．选做题：解方程．
《一元二次方程》检测试题
姓名 考号 成绩 参考时间：45分钟
一、选择题：（每小题4分，共32分）
1、关于x的方程(a-1)x2-3x+2=0是一元二次方程，则( )．
A a<0 B a>0 C a≠1 D a≥0
2、一元二次方程x2-9=0的根为（ ）．
A x=3 B x=-3 C x1=0,x2=9 D x1=3,x2=-3
3、用配方法解方程y2-8y+5=0,变形正确的是（ ）．
A (y-4)2=11 B (y-4)2=21 C (y+4)2=11 D (y+4)2=21
4、方程x(x-1)=x的根是（ ）．
A x=2 B x=-2 C x1=-2,x2=0 D x1=2,x2=0
5、方程x2-x+2=0的根的情况是（ ）．
A 只有一个实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 没有实数根
6、已知（x2+y2）2-(x2+y2)-12=0，则x2+y2的值是（ ）．
A 4 B -3 C -3或4 D -3或-4
7、一个多边形有9条对角线，则这个多边形是（ ）边形．
A 6 B 7 C 8 D 9
8、某商品原价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）．
A 289(1+x)2=256 B 289(1-x)2=256 C 256(1+x)2=289 D 256(1-x)2=289
二、填空题：（每小题4分，共32分）
9、方程（x+2）(x-3)=5x(x+1)化成一般形式为_________________________.
10、已知x=1是关于x的方程x2-ax+6=0的一个根，则a=______,另一个根为__________.
11、写出一个方程，使它的一个根x=2,另一个根满足-1
13、若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为_______________.
14、若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足a+b+c=0，则方程一定有一个根________.
15、一个两位数，个位数比十位数大3，个位数的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是_____________________.
16、下列说法:⑴方程x(x+3)=2(x+3)的解只有x=2； ⑵方程x2+5X+10=0的两个根之和为-5，两根之积为10； ⑶ 若m,n满足m2+6m+4=0,n2+6n+4=0,则m,n是方程x2+6x+4=0的两个根；其中说法正确的是___________________． （添序号）
三、 解答题：（共36分）
17、解下列方程：（每小题4分，共16分）
⑴2x2+3x-2=0 (配方法) ⑵(x+1)2=4x
⑶4x(2x+1)=3(2x+1) （因式分解法） ⑷ (x-3)(1-3x)=2（公式法）
18、某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“国庆节”，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，经过市场调查发现：如果每件降价一元，那么平均每天就可多售出2件，想要平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？（本小题8分）
19、美化城市，改善人们的居住环境，已成为城市建设的一项重要内容，某市进几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加(如图所示)根据图中所提供的信息，回答下列问题：（本小题12分）
⑴2001年的绿地面积为_______公顷，比2000年增加了__________公顷，在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最快的是________年。
⑵为满足城市发展的需求，计划到2003年使城区绿地面积达到72.6公顷，试求这两年（2001——2003）绿地面积的年平均增长率。
1998
2001
年份
48
51
56
60
绿地面积（公顷）
2000
1999
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