第2课时 余弦定理
Q
中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？
X
1．余弦定理
(1)语言叙述：
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
(2)公式表达：
a2＝b2＋c2－2bccosA；
b2＝a2＋c2－2accosB；
c2＝a2＋b2－2abcosC.
(3)变形：
cosA＝；
cosB＝；
cosC＝.
2．余弦定理及其变形的应用
应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其夹角解三角形，另一类是已知三边解三角形．
3．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．
规律：设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则
a2＋b2
a2＋b2＝c2?△ABC是直角三角形，且角C为直角；
a2＋b2>c2?△ABC是锐角三角形，且角C为锐角.
Y
1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c的值是( D )
A．8
B．2
C．6
D．2
[解析] 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC
＝16＋36－2×4×6×(－)＝76，∴c＝2.
2．(2018·全国卷Ⅱ理，6)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( A )
A．4
B．
C．
D．2
[解析]
cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC，
所以AB2＝1＋25－2×1×5×＝32，所以AB＝4.
3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为( C )
A．
B．
C．
D．或
[解析] ∵a2＝b2＋c2＋bc，
∴cosA＝＝＝－，
又∵04．已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边的长是.
[解析] 解2x2＋3x－2＝0，得x1＝或x2＝－2(舍去)．
∴夹角的余弦值为，根据余弦定理得第三边长为＝.
5．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为.
[解析] 如图，cosA＝＝，
∴sinA＝.∴BD＝AB·sinA＝.
H
命题方向1 ?已知三边解三角形
例题1 在△ABC中，a﹕b﹕c＝3﹕5﹕7，求其最大内角．
[分析] 由条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解．
[解析] 由于a﹕b﹕c＝3﹕5﹕7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)．因此c边是最大边，其所对角C为最大内角．
由余弦定理推论得：
cosC＝＝＝－，
∴∠C＝120°，
即最大内角为120°.
『规律总结』 在解三角形时，有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理．
用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，以防增解或漏解．
〔跟踪练习1〕
已知在△ABC中，a﹕b﹕c＝2﹕﹕(＋1)，求∠A的度数．
[解析] ∵a﹕b﹕c＝2﹕﹕(＋1)，
令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)．
由余弦定理cosA＝＝，
∵A∈(0，π)，∴∠A＝45°.
命题方向2 ?已知两边及一角解三角形
例题2 △ABC中，已知b＝3，c＝3，∠B＝30°，解三角形．
[分析] 由题目可知以下信息：
①已知两边和其中一边的对角．
②求另外的两角和另一边．
解答本题可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a，再由正弦定理求角A，角C．
[解析] 解法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，∠A＝30°，∠C＝120°.
当a＝6时，由正弦定理sinA＝＝＝1.
∴∠A＝90°，∴∠C＝60°.
解法二：由bcsin30°＝3×＝知本题有两解．
由正弦定理sinC＝＝＝，
∴∠C＝60°或120°，当∠C＝60°时，∠A＝90°，
由勾股定理a＝＝＝6.
当∠C＝120°时，∠A＝30°，△ABC为等腰三角形，
∴a＝3.
『规律总结』 已知两边和一角解三角形时有两种方法：
(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
(2)直接用正弦定理，先求角再求边．
用方法(2)时要注意解的情况，用方法(1)就避免了取舍解的麻烦．
方法总结：利用正弦、余弦定理求角的区别
余弦定理
正弦定理
相同点
先求某种三角函数值再求角
不同点
条件
知三边
知二边一角
依据
cosA＝等
sinA＝等
求角
解方程cosA＝m，A∈(0，π)
解方程sinA＝m，A∈(0，π)
检验
y＝cosx在(0，π)上为减函数，解方程所得解唯一
y＝sinx在(0，π)上先增后减，解方程可能产生增根，需检验
〔跟踪练习2〕
若将上题中“c＝3”改为“c＝2”，“B＝30°”改为“A＝30°”，应该如何解三角形？
[解析] 直接运用余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccosA
＝32＋(2)2－2×3×2×cos30°＝3，
从而a＝，
∴cosB＝＝＝＝，
∴B＝60°，
∴C＝180°－A－B＝180°－30°－60°＝90°.
命题方向3 ?判断三角形的形状
例题3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．
[分析] 解答时可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可由边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．
[解析] 解法一：利用角的关系来判断．
∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)．
又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.
∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．
又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab，
∴a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab.
根据余弦定理，上式可化为
2abcosc＝ab，
解得cosC＝，∴C∈(0，π)，∴C＝60°.故△ABC为等边三角形．
解法二：利用边的关系来确定．
由正弦定理，得＝.
由2cosA·sinB＝sinC，得cosA＝＝.
又∵cosA＝，∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2，∴a＝b.
又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab，∴4b2－c2＝3b2，
∴b＝c，∴a＝b＝c.
因此△ABC为等边三角形．
『规律总结』 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
〔跟踪练习3〕
在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
[解析] 解法一：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB．
∵B＝60°且b＝，
∴2＝a2＋c2－2accos60°.
整理，得(a－c)2＝0，∴a＝c，∴a＝b＝c，
∴△ABC为正三角形．
解法二：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC．
又∵B＝60°，∴A＋C＝120°.
即A＝120°－C，代入上式，
得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC．
整理，得sinC＋cosC＝1.
∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°，
∴C＝60°，∴A＝60°.
∴△ABC为正三角形．
Y
例题4 设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
[误解] ∵2a＋1，a,2a－1为三角形的三边，
∴解得a>.2a＋1是三边长的最大值，设其对角为θ.
∵2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，
∴cosθ<0，即＝<0，解得∴a的取值范围是[错因分析] 误解中求得的a>不是2a＋1，a,2a－1能构成三角形的充要条件．如当a＝1时，a＋(2a－1)<2a＋1，此时2a＋1，a,2a－1就不能作为三角形的三边，本题实质上是求2a＋1，a,2a－1能构成钝角三角形的充要条件，除了要保证三边长均为正数外，还应满足“两边之和大于第三边”．
[正解] ∵2a＋1，a,2a－1为三角形的三边，
∴解得a>，此时2a＋1最大．
∵2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边，还需a＋(2a－1)>2a＋1，解得a>2.设最长边所对角为θ，则cosθ＝＝<0，解得B
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-第2课时
余弦定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·烟台高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是( A )
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
[解析] ∵a2＝b2－c2＋ac，
∴a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝＝，
又0°2．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( C )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
[解析] 由题意知<0，即cosC<0，
∴△ABC为钝角三角形．
3．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1.
4．△ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则∠C的大小为( B )
A．
B．
C．
D．π
[解析] ∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝.
∴C＝.
5．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是( D )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
[解析] 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB和B＝60°，得ac＝a2＋c2－ac，
(a－c)2＝0.所以a＝c.又B＝60°，所以三角形是等边三角形．
6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( C )
A．(0，]
B．[，π)
C．(0，]
D．[，π)
[解析] 本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得：cosA＝≥＝，∴0二、填空题
7．若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于7.
[解析] 由已知得△ABC的面积为AB·AC·sin
A＝20sin
A＝10，所以sin
A＝，因为A∈，所以A＝.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A＝49，∴BC＝7.
8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于，则三边长为3,5,7.
[解析] ∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>b>c，
∴最大角为A．sinA＝，若A为锐角，则A＝60°，
又C∴A为钝角．∴cosA＝－，
设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4.
∴＝－，
∴x＝3，故三边长为3,5,7.
三、解答题
9．△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断三角形的形状．
[解析] 解法一：将已知等式变形为
b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，
即有b2＋c2－b2·2－c2·2
＝2bc··，
即b2＋c2＝
＝＝a2.
所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．
解法二：由＝＝＝2R，则条件可化为
4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B
＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，
所以sinB·sinC＝cosB·cosC，即cos(B＋C)＝0.
又0°故△ABC为直角三角形．
10．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
[解析] 解法一：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°.
由a＋c＝8，ac＝15，则a、c是方程x2－8x＋15＝0的两根．
解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋25－2×3×5×＝19.
∴b＝.
解法二：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝82－2×15－2×15×＝19.∴b＝.
B级 素养提升
一、选择题
1．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a＝2，c＝2，cos
A＝，且b＜c，则b＝( C )
A．3
B．2
C．2
D．
[解析] 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，
∴b＝2或b＝4.又∵b2．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·等于( D )
A．19
B．－14
C．－18
D．－19
[解析] 在△ABC中AB＝7，BC＝5，AC＝6，
则cosB＝＝.
又·＝||·||cos(π－B)
＝－||·||cosB
＝－7×5×＝－19.
3．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又04．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos
＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝.
由正弦定理，得＝，
∴sinA＝＝＝.
二、填空题
5．在△ABC中，已知(b＋c)﹕(c＋a)﹕(a＋b)＝4﹕5﹕6，求△ABC的最大内角为120°.
[解析] 设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k＞0)．
则a＋b＋c＝7.5k，解得a＝3.5k，b＝2.5k，c＝1.5k.
∴a是最大边，即角A是△ABC的最大角．
由余弦定理，得cosA＝＝－，
∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，即最大角为120°.
6．已知钝角△ABC的三边，a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的范围是(2,6).
[解析] ∵c>b>a，∴角C为钝角．
由余弦定理，得cosC＝＝<0，
∴k2－4k－12<0，解得－2而k＋(k＋2)>k＋4，
∴k>2，故k的范围是(2,6)．
三、解答题
7．在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，四个内角A，B，C，D度数的比为3﹕7﹕4﹕10，求AB的长．
[解析] 设四个角A，B，C，D的度数分别为3x,7x,4x,10x，则有3x＋7x＋4x＋10x＝360°，
解得x＝15°.
∴A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°.
连接BD，在△BCD中，由余弦定理，得
BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcosC
＝a2＋4a2－2a·2a·＝3a2，
∴BD＝a.
这时DC2＝BD2＋BC2，
则△BCD是以DC为斜边的直角三角形，
∴∠CDB＝30°，于是∠ADB＝120°.
在△ABD中，由正弦定理，得
AB＝＝＝＝a.
∴AB的长为a.
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB．
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
[解析] (1)∵asinA＋csinC－asinC＝bsinB，
∴a2＋c2－ac＝b2，∴a2＋c2－b2＝ac，
∴cosB＝＝＝，∴B＝45°.
(2)由(1)得B＝45°，
∴C＝180°－A－B＝180°－75°－45°＝60°.
由正弦定理＝＝，
∴a＝＝＝＝＋1，
c＝＝＝＝.
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6(共32张PPT)
第二章
解三角形
§1 正弦定理与余弦定理
第2课时 余弦定理
自主预习学案
中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？
1．余弦定理
(1)语言叙述：
三角形任何一边的平方等于_________________减去___________________的积的__________.
(2)公式表达：
a2＝_______________________；
b2＝__________________；
c2＝________________.
其他两边的平方和
这两边与它们夹角的余弦
两倍
b2＋c2－2bccosA
a2＋c2－2accosB
a2＋b2－2abcosC
夹角
三边
钝角
钝角
直角
直角
锐角
锐角
D
A
C
互动探究学案
命题方向1 ?已知三边解三角形
在△ABC中，a﹕b﹕c＝3﹕5﹕7，求其最大内角．
[分析] 由条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解．
例题
1
『规律总结』 在解三角形时，有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理．
用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，以防增解或漏解．
命题方向2 ?已知两边及一角解三角形
例题
2
命题方向3 ?判断三角形的形状
在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．
[分析] 解答时可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可由边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．
例题
3
『规律总结』 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
〔跟踪练习3〕
在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．
例题
4