第1课时
正弦定理
在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法．阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球．”但实际情况是根本找不到这样的支点．全等三角形法有时就像这样，你根本没有足够的空间去构造出全等三角形，所以每种方法都有它的局限性．其实上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的，从本章我们开始学习正弦定理、余弦定理以及它们在科学实践中的应用，看看它们能解决这个问题吗？
本章的主要内容包括正弦定理、余弦定理以及正弦定理和余弦定理的推导，解三角形及正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的应用．
知识线索：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的．正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三角形的重要工具．本章内容与三角形的结论相联系，同时与三角函数、向量相联系，也体现了三角函数、向量及其运算的应用．高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容.
§1 正弦定理与余弦定理
第1课时 正弦定理
Q
在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼(战士语)”，即准确地发现敌台的位置．在该项目的训练中，追寻方的安排是以两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线(即用两台探测器分别探出敌台的方向)一交叉就把敌人给“叉”出来了，想藏？想跑？门都没有．其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还隐藏了另一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已知的，它们和敌台构成一个三角形，战士探明了敌台的方向，也就是知道了该三角形的两个内角．
通过本课时的学习，我们就会知道其中的奥秘了．
X
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝.
2．常见的公式变形(其中R为△ABC外接圆的半径)
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
②sinA＝，sinB＝，sinC＝
③a﹕b﹕c＝sinA﹕sinB﹕sinC
④＝＝＝.
3．面积定理
对于任意△ABC，则S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB.
Y
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sinA﹕sinB的值是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由正弦定理知，sinA﹕sinB＝a﹕b＝5﹕3.选A．
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则sinB＝( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由正弦定理＝，知sinB＝＝＝.
3．在△ABC中，∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B等于( C )
A．45°或135°
B．135°
C．45°
D．以上答案都不对
[解析] sinB＝＝＝.
∴∠B＝45°或135°
∵a>b，∴∠A>∠B．
∴∠B＝45°，故选C．
4．在△ABC中，若b＝1，c＝，∠C＝，则a＝1.
[解析] 由正弦定理，得＝，
∴sinB＝.∵∠C为钝角，
∴∠B必为锐角，∴∠B＝，
∴∠A＝，∴a＝b＝1.
5．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，若∠A＝105°，∠B＝45°，b＝2，则c＝2.
[解析] 由已知，得∠C＝180°－105°－45°＝30°.
∵＝，∴c＝＝＝＝2.
H
命题方向1 ?已知两角及一边解三角形
例题1 在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，c＝10，求b.
[分析] 先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理求边b.
[解析] ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠C＝105°，
∵＝，sin105
°＝sin(45°＋60°)
＝×＝，
∴b＝c·＝＝5(－)．
『规律总结』 本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
〔跟踪练习1〕
在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长．
[解析] ∵B角最小，∴b边为最短边，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝，
∴最短边长为.
命题方向2 ?已知两边及一边对角解三角形
例题2 在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
[分析] 由c>a可得A为锐角，由正弦定理求出sinA，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，正弦定理求得b.
[解析] ∵＝，
∴sinA＝＝.
∵c>a，∴C>A，∴A＝.
∴B＝，b＝＝＝
＝＋1.
『规律总结』 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
利用正弦定理解三角形的类型
(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．
(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC中，已知a，b和∠A时，解的情况如下：
∠A为锐角
∠A为钝角或直角
图形
关系式
①a＝bsinA②a≥b
bsinA
aa>b
a≤b
解的个数
一解
两解
无解
一解
无解
〔跟踪练习2〕
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的求其他边和角．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°；
(2)a＝10，b＝20，A＝80°；
(3)b＝10，c＝5，C＝60°；
(4)a＝2，b＝6，A＝30°.
[分析] 已知两边及其一边对角的值，求其他边和角可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角考虑解的情况，可由正弦定理求其他边和角．
[解析] (1)∵a＝7，b＝8，
∴a90°，∴本题无解．
(2)∵bsinA＝20·sin80°>20·sin60°＝10，
∴a(3)∵b＝10，c＝5，∴b∴本题有一解．
∵sinB＝＝＝，
∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.
∴a＝＝＝＝5(＋1)．
(4)∵a＝2，b＝6，a又∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，∴本题有两解．
由正弦定理得sinB＝＝＝，
∴B＝60°或120°.
当B＝60°时，C＝90°，
c＝＝＝4；
当B＝120°时，C＝30°，
c＝＝＝2.
∴B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，
c＝2.
命题方向3 ?求三角形的面积
例题3 在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积．
[分析] 首先要讨论三角形解的个数，然后利用三角形的面积公式求解．
[解析] 由正弦定理，得＝，∴sinC＝＝＝.
∵AB>AC，∴C>B＝30°，即C有两解．
∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，
S△ABC＝AB·AC·sinA＝×2×2sin90°＝2；
当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sinA＝×2×2sin30°＝.
综上可知，△ABC的面积为2或.
『规律总结』 利用三角形的面积公式S＝absinC
＝bcsinA＝acsinB即可求出三角形的面积，同时要注意解的个数．
三角形常用面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)．
(2)S＝absinC＝bcsinA＝acsinB．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
〔跟踪练习3〕
在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知A＝，b＝1，△ABC的外接圆半径为1，则△ABC的面积S＝.
[解析] 由正弦定理＝＝2R，
∴a＝，sinB＝，
∵a>b，∴A>B，
∴B＝，C＝.
∴S△ABC＝.
命题方向4 ?利用正弦定理判断三角形形状
例题4 在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
[分析] 根据条件等式的特点为边角关系，可以应用正弦定理把边化为角，再利用三角公式求解．
[解析] 由已知得＝.
由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，则＝，
即sinAcosA＝sinBcosB．
∴sin2A＝sin2B．
∴2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
『规律总结』 利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．
注意：(1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论．
(2)在△ABC中，若sin2A＝sin2B，不一定只有A＝B，因为sin2A＝sin2B?2A＝2B，或2A＝π－2B?A＝B或A＋B＝.
〔跟踪练习4〕
在△ABC中，acos(－A)＝bcos(－B)，判断△ABC的形状．
[解析] 解法一：
∵acos(－A)＝bcos(－B)，
∴asinA＝bsinB．
由正弦定理，
得a×＝b×，
∴a2＝b2，∴a＝b，
故△ABC是等腰三角形．
解法二：∵acos(－A)＝bcos(－B)，
∴asinA＝bsinB．由正弦定理，得
2Rsin2A＝2Rsin2B，即sinA＝sinB，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)，
故△ABC是等腰三角形．
命题方向5 ?正弦定理的综合应用
例题5 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知cosB＝.
(1)判断△ABC的形状；
(2)若sinB＝，b＝3，求△ABC的面积．
[分析] (1)要判断△ABC的形状，由于已知条件中出现边、角关系，因此考虑利用正弦定理将边化为角．
(2)由(1)可求c，由S△ABC＝bcsinA，故只需求出sinA即可．
[解析] (1)∵cosB＝，＝，
∴cosB＝，∴sinA＝2cosBsinC．
又∵sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
∴sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC．
∴sinBcosC－cosBsinC＝sin(B－C)＝0.
∴在△ABC中，B＝C，∴△ABC为等腰三角形．
(2)∵C＝B，∴0∵sinB＝，∴cosB＝.
∴sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin2B＝2sinBcosB＝，
∴S△ABC＝bcsinA＝×3×3×＝3.
『规律总结』 利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角．值得注意的是已知三角形的任意两
边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解可能不唯一，可结合图形，利用大边对大角的性质去判断解的个数．要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类整合、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用．
〔跟踪练习5〕
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.
已知A＝，bsin(＋C)－csin(＋B)＝a.
(1)求证：B－C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
[分析] (1)将已知的边角恒等式利用正弦定理化为角的关系来证明．
(2)根据(1)结合B＋C＝求出B，C，利用正弦定理求出b，c最后求△ABC的面积．
[解析] (1)由bsin(＋C)－csin(＋B)＝a，
应用正弦定理，得
sinBsin(＋C)－sinCsin(＋B)＝sinA，
sinB(sinC＋cosC)－sinC(sinB＋cosB)＝.
整理得sinBcosC－cosBsinC＝1.
即sin(B－C)＝1，
由于0从而B－C＝.
(2)B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.
由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，
所以△ABC的面积S＝bcsinA＝sin·sin＝cossin＝sin＝.
Y
例题6 在△ABC中，a＝15，b＝12，A＝60°，则cosB＝.
[误解] ± 由正弦定理，得＝，
∴sinB＝＝，∴cosB＝±＝±.
[辨析] ∵a>b，∴A>B，因此cosB>0.
[正解] 由正弦定理，得＝，∴sinB＝＝，
∵a>b，∴A>B，∴B为锐角，∴cosB＝＝.
B
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11
-第1课时
正弦定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b的值为( C )
A．＋1
B．2＋1
C．2
D．2＋2
[解析] 由正弦定理＝，得＝，所以b＝2，故选C．
2．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B＝( C )
A．45°或135°
B．60°
C．45°
D．135°
[解析] 由正弦定理＝，得sinB＝＝＝.
∵a>b，∴A>B，∴B＝45°.
3．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC( C )
A．有一个
B．有两个
C．不存在
D．不能确定
[解析] 由正弦定理，得＝，所以sinB＝>1，所以满足条件的B不存在，因此满足条件的△ABC不存在．
4．在△ABC中，已知(b＋c)
﹕(c＋a)
﹕(a＋b)＝4﹕5﹕6，则sinA﹕sinB﹕sinC等于( B )
A．6﹕5﹕4
B．7﹕5﹕3
C．3﹕5﹕7
D．4﹕5﹕6
[解析] 解法一：∵(b＋c)
﹕(c＋a)
﹕(a＋b)＝4﹕5﹕6，
∴＝＝.
∴＝＝＝，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴a﹕b﹕c＝7﹕5﹕3，
又由正弦定理＝＝，
得sinA﹕sinB﹕sinC＝7﹕5﹕3，故选B．
解法二：(b＋c)
﹕(c＋a)
﹕(a＋b)
＝(sinB＋sinC)
﹕(sinC＋sinA)
﹕(sinA＋sinB)
＝4﹕5﹕6，
令sinB＋sinC＝4x，
sinC＋sinA＝5x，
sinA＋sinB＝6x，
解得，sinA＝x.sinB＝x，sinC＝x，
∴sinA﹕sinB﹕sinC＝7﹕5﹕3.故选B．
5．△ABC中，a＝2，b＝，B＝，则A等于( C )
A．
B．
C．或
D．或
[解析] ∵＝，∴sinA＝，
∴A＝或A＝，
又∵a＞b，∴A＞B，∴A＝或，∴选C．
6．在ΔABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( D )
A．－
B．
C．－
D．
[解析] 由正弦定理，得＝，
∴sinB＝＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．
∴cosB＝＝＝.
二、填空题
7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝2.
[解析] 由正弦定理得sinB＝·sinA
＝×＝，
又∵b＝1∴B由勾股定理得c＝＝＝2.
8．(2019·北师大附二中高二检测)在△ABC中，若B＝2A，a﹕b＝1﹕，则A＝_30°__.
[解析] 由正弦定理＝知，
＝＝，
所以sinB＝sinA＝sin2A．
所以cosA＝，因为A为△ABC的内角，
所以A＝30°.﹕
三、解答题
9．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判定△ABC的形状．
[解析] 解法一：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理得a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形且A＝90°，
∴B＋C＝90°，B＝90°－C．∴sinB＝cosC．
由sinA＝2sinBcosC，可得1＝2sin2B，
∴sin2B＝，sinB＝.
∴B＝45°，∴C＝45°.
∴△ABC为等腰直角三角形．
解法二：由解法一知A＝90°，
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，
∴sin(B－C)＝0，又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
10．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A．
(1)求cos
A的值；
(2)求c的值．
[解析] (1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，a＝λ，b＝λ，∠A＝45°，则满足此条件的三角形有( A )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
[解析] 由正弦定理＝得sinB＝＝>1无解，故选A．
2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是( D )
A．a>bsinA
B．a＝bsinA
C．aD．a≥bsinA
[解析] 由正弦定理＝，
∴asinB＝bsinA，在△ABC中，0∴a≥bsinA．故选D．
3．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．
由正弦定理可得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB，
∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，∴sinB＝，由a>b知A>B，∴B＝.选A．
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( C )
A．x>2
B．x<2
C．2D．2[解析] 由题设条件可知，
∴2二、填空题
5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c.若a＝，sin
B＝，C＝，则b＝1.
[解析] 因为sin
B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝，又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.
6．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝2.则此三角形的最小边长为2－2.
[解析] ∵A＝60°，C＝45°，∴B＝75°，
∴最小边为c，由正弦定理，得＝，
∴＝，
又∵sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝×＋×＝，
∴c＝＝＝2－2.
三、解答题
7．(2019·湖南武冈二中高二月考)在△ABC中，AC＝6，cosB＝，C＝.
(1)求AB的长；
(2)求cos(A－)的值．
[解析] (1)∵cosB＝，∴sinB＝.
由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝5.
(2)sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC
＝×＋×＝，
∴cosA＝.
∴cos(A－)＝cosAcos＋sinAsin＝×＋×＝.
8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
[解析] (1)∵cosA＝.0又B＝A＋.∴sinB＝sin(A＋)＝cosA＝.
又a＝3.∴由正弦定理得．
＝，
即＝，∴b＝3.
(2)∵cosB＝cos(A＋)＝－sinA＝－，
∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×(－)＋×＝，
∴S△ABC＝absinC＝×3×3×＝.
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7(共45张PPT)
第二章
解三角形
在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法．阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球．”但实际情况是根本找不到这样的支点．全等三角形法有时就像这样，你根本没有足够的空间去构造出全等三角形，所以每种方法都有它的局限性．其实上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的，从本章我们开始学习正弦定理、余弦定理以及它们在科学实践中的应用，看看它们能解决这个问题吗？
本章的主要内容包括正弦定理、余弦定理以及正弦定理和余弦定理的推导，解三角形及正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的应用．
知识线索：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的．正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三角形的重要工具．本章内容与三角形的结论相联系，同时与三角函数、向量相联系，也体现了三角函数、向量及其运算的应用．高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容.
§1 正弦定理与余弦定理
第1课时 正弦定理
自主预习学案
在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼(战士语)”，即准确地发现敌台的位置．在该项目的训练中，追寻方的安排是以两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线(即用两台探测器分别探出敌台的方向)一交叉就把敌人给“叉”出来了，想藏？想跑？门都没有．
正弦的比
2RsinA
2RsinB
2RsinC
sinA﹕sinB﹕sinC
A
A
C
1
2
互动探究学案
命题方向1 ?已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，c＝10，求b.
[分析] 先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理求边b.
例题
1
『规律总结』 本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
〔跟踪练习1〕
在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长．
命题方向2 ?已知两边及一边对角解三角形
例题
2
『规律总结』 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
利用正弦定理解三角形的类型
(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．
(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC中，已知a，b和∠A时，解的情况如下：
[分析] 已知两边及其一边对角的值，求其他边和角可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角考虑解的情况，可由正弦定理求其他边和角．
命题方向3 ?求三角形的面积
例题
3
命题方向4 ?利用正弦定理判断三角形形状
在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
例题
4
命题方向5 ?正弦定理的综合应用
例题
5
『规律总结』 利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角．值得注意的是已知三角形的任意两
边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解可能不唯一，可结合图形，利用大边对大角的性质去判断解的个数．要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类整合、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用．
例题
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