直线与平面垂直的判定定理
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(共12张PPT)
直线与平面垂直的判定
观察线面垂直
一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直
反之，一条直线垂直于一个平面，
则这条直线垂直于平面内的任意一条
直线
1、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
}
α
m
n
l
⊥
α
l
∩
m
n
α
α
m
n=
P
m
n
⊥
⊥
l
l
关键：平面内的两条
相交直线
练习
1、如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况
不能保证该直线与平面垂直的是 （ ）
三角形的两条边； 梯形的两条边； 圆的两条
直径； 正六边形的两条边。
A. B. C. D.
C
C
2、若直线 不垂直平面 ，那么在平面 内 （ ）
A、不存在与 垂直的直线
B、只存在一条与 垂直的直线
C、存在无数条与 垂直的直线
D、以上都不对
l
l
l
l
例1：在正方体AC1中，求证AC 平面D1B1BD.
A
B
C
D
D1
B1
C1
A1
证明：∵BB1 AB，BB1 BC，
∴BB1 面AC，又AC 面AC，∴
BB1 AC。又四边形ABCD是正
方形，∴BD AC，BD BB1=B，
∴AC 平面D1B1BD。
特别提醒：侧棱垂直于底面会经常用到
例2. 如图, PA垂直圆O所在平面, AB是圆O的直径, C是圆周上一点, 求证：BC⊥PC。
A
B
C
P
O
A
B
C
P
O
证明：∵PA 平面ABC，∴PA
BC，又AB是圆O的直径，∴
BC AC，而AC PA=A，∴BC
平面PAC，∴BC PC。
不要忘记：直径所对的圆周角是直角
例3. 在正方体AC1中，取DD1的中点E，AC和BD交于O点。 求证：OB1⊥面EAC
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
E
O
证明:连接AB1、B1C、OE、
B1E，∵在正方体中，AB1=
B1C、OA=OC, ∴OB1⊥AC,
在△EB1O中，B1O2+OE2=
B1E2, ∴OB1⊥OE.又OE AC
=O，∴OB1⊥EAC。
利用勾股定理证明两线垂直
2.直线和平面所成角
有关概念：
（1）斜线 与平面相交但不垂直的直线；
（2）斜足 斜线与平面的交点；
（3）斜线在平面内的射影 过斜线上斜足
以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足
的直线；
（4）直线和平面所成的角 斜线和它在平面
内的射影所成的锐角；
O
A
P
〔0， 〕
例4、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:
(1)直线A’B和平面ABCD所成的角
(2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角
B
B’
A’
D’
C’
A
C
D
O
（1）A’B是平面ABCD
的斜线，A’ A是平面ABCD
的垂线。
（2）A’O⊥BC’，BC’ ⊥B’ C
，∴BO是平面A’B’CD的垂线，
A’B是斜线。
等腰三角形三线合一
P
A
C
B
练习. 1. 如图，在Rt△ ABC中，已知 ∠C=90 ，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且PA=
，求PB与平面PAC所成的角.
解:∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥
BC,又BC⊥AC，∴BC⊥平
面PAC。∠BPC为PB与平
面PAC所成的角。在Rt△
PAC中，PC=
tan ∠BPC=
∴∠BPC=30°
∴PB与平面PAC所成的角30°
2 . 如图，已知Rt△ ABC的斜边BC在平面 内，两直角边AB.AC和平面 所成的角分别为45 和 30 ,求斜边BC上的高AD和平面 所成的角.
A
B
C
D
O
解：过A作AO⊥ ，连接BO、CO、DO ，则∠ABO=45 ，∠ACO=30
设AO=x，AC=2x，AB= x。在Rt△ABC中，BC= x，AD=
∴sin∠ADO= , ∴∠ADO=60°
归纳：求线面角关键是找角，也就是
找斜线在平面内的射影，再利用锐角
三角函数知识。
1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ？
2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗？
3. AO与平面 斜交，O为斜足，AO与平面 成 角，
B是A在 上的射影,OD是 内的直线，∠BOD=30 ，∠AOD=60 ，则sin = 。
（不一定）
（相等）
4.在正方体ABCD—A1 B 1C1 D1 中，E、F分别是A1A、AB的中点，求EF与面A1 C1 CA所成的角.
B
A
C
D
A1
B 1
C1
D1
E
F
m
（30°）
直线与平面垂直的判定
观察线面垂直
一条直线和平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直
反之，一条直线垂直于一个平面，
则这条直线垂直于平面内的任意一条
直线
1、直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
}
α
m
n
l
⊥
α
l
∩
m
n
α
α
m
n=
P
m
n
⊥
⊥
l
l
关键：平面内的两条
相交直线
练习
1、如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况
不能保证该直线与平面垂直的是 （ ）
三角形的两条边； 梯形的两条边； 圆的两条
直径； 正六边形的两条边。
A. B. C. D.
C
C
2、若直线 不垂直平面 ，那么在平面 内 （ ）
A、不存在与 垂直的直线
B、只存在一条与 垂直的直线
C、存在无数条与 垂直的直线
D、以上都不对
l
l
l
l
例1：在正方体AC1中，求证AC 平面D1B1BD.
A
B
C
D
D1
B1
C1
A1
证明：∵BB1 AB，BB1 BC，
∴BB1 面AC，又AC 面AC，∴
BB1 AC。又四边形ABCD是正
方形，∴BD AC，BD BB1=B，
∴AC 平面D1B1BD。
特别提醒：侧棱垂直于底面会经常用到
例2. 如图, PA垂直圆O所在平面, AB是圆O的直径, C是圆周上一点, 求证：BC⊥PC。
A
B
C
P
O
A
B
C
P
O
证明：∵PA 平面ABC，∴PA
BC，又AB是圆O的直径，∴
BC AC，而AC PA=A，∴BC
平面PAC，∴BC PC。
不要忘记：直径所对的圆周角是直角
例3. 在正方体AC1中，取DD1的中点E，AC和BD交于O点。 求证：OB1⊥面EAC
A
B
C
D
B1
C1
D1
A1
E
O
证明:连接AB1、B1C、OE、
B1E，∵在正方体中，AB1=
B1C、OA=OC, ∴OB1⊥AC,
在△EB1O中，B1O2+OE2=
B1E2, ∴OB1⊥OE.又OE AC
=O，∴OB1⊥EAC。
利用勾股定理证明两线垂直
2.直线和平面所成角
有关概念：
（1）斜线 与平面相交但不垂直的直线；
（2）斜足 斜线与平面的交点；
（3）斜线在平面内的射影 过斜线上斜足
以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足
的直线；
（4）直线和平面所成的角 斜线和它在平面
内的射影所成的锐角；
O
A
P
〔0， 〕
例4、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,求:
(1)直线A’B和平面ABCD所成的角
(2)直线A’B和平面A’B’CD所成的角
B
B’
A’
D’
C’
A
C
D
O
（1）A’B是平面ABCD
的斜线，A’ A是平面ABCD
的垂线。
（2）A’O⊥BC’，BC’ ⊥B’ C
，∴BO是平面A’B’CD的垂线，
A’B是斜线。
等腰三角形三线合一
P
A
C
B
练习. 1. 如图，在Rt△ ABC中，已知 ∠C=90 ，AC=BC=1，PA⊥平面ABC，且PA=
，求PB与平面PAC所成的角.
解:∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥
BC,又BC⊥AC，∴BC⊥平
面PAC。∠BPC为PB与平
面PAC所成的角。在Rt△
PAC中，PC=
tan ∠BPC=
∴∠BPC=30°
∴PB与平面PAC所成的角30°
2 . 如图，已知Rt△ ABC的斜边BC在平面 内，两直角边AB.AC和平面 所成的角分别为45 和 30 ,求斜边BC上的高AD和平面 所成的角.
A
B
C
D
O
解：过A作AO⊥ ，连接BO、CO、DO ，则∠ABO=45 ，∠ACO=30
设AO=x，AC=2x，AB= x。在Rt△ABC中，BC= x，AD=
∴sin∠ADO= , ∴∠ADO=60°
归纳：求线面角关键是找角，也就是
找斜线在平面内的射影，再利用锐角
三角函数知识。
1. 两直线与一个平面所成的角相等,它们平行吗 ？
2.两平行直线和一个平面所成的角相等吗？
3. AO与平面 斜交，O为斜足，AO与平面 成 角，
B是A在 上的射影,OD是 内的直线，∠BOD=30 ，∠AOD=60 ，则sin = 。
（不一定）
（相等）
4.在正方体ABCD—A1 B 1C1 D1 中，E、F分别是A1A、AB的中点，求EF与面A1 C1 CA所成的角.
B
A
C
D
A1
B 1
C1
D1
E
F
m
（30°）