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2.1.1 平 面
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.经过同一条直线上的3个点的平面( )
A.有且只有一个
B.有且只有3个
C.有无数个
D.不存在
答案 C
2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a?α，直线b?β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\去年BS74.TIF"
\
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INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年BS75.TIF"
\
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答案 D
3.如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A.l?α
B.l?α
C.l∩α＝M
D.l∩α＝N
答案 A
解析 ∵M∈a，a?α，∴M∈α，
又∵N∈b，b?α，∴N∈α，
又M，N∈l，∴l?α.
4.下列说法中正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
答案 C
解析 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C.
5.下列图形中不一定是平面图形的是( )
A.三角形
B.菱形
C.梯形
D.四边相等的四边形
答案 D
解析 四边相等的四边形可能四边不共面.
6.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A.A，B，C，D四点中必有三点共线
B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
答案 B
解析 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则( )
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.M不在直线AC上，也不在直线BD上
答案 A
解析 由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.
8.空间不共线的四点可以确定平面的个数是( )
A.0
B.1
C.1或4
D.无法确定
答案 C
解析 若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点可以确定平面的个数为1；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点可以确定平面的个数是4，故选C.
二、填空题
9.如图所示的图形可用符号表示为________.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P234.TIF"
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答案 α∩β＝AB
10.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.
答案 1或无数
解析 当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；
当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.
11.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.
答案 A∈l，l?α
三、解答题
12.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.
证明 ∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB?β，
∴O∈直线CD，
∴O，C，D三点共线.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P235.TIF"
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13.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P236.TIF"
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(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)直线CE，D1F，DA三线共点.
证明 (1)如图，连接EF，D1C，A1B.
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P237.TIF"
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∵E为AB的中点，F为AA1的中点，
∴EF∥A1B，且EF＝A1B，
又∵A1B∥D1C，且A1B＝D1C，
∴EF∥D1C，且EF＝D1C，
∴E，F，D1，C四点共面.
(2)∵EF∥CD1，EF∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈直线CE，CE?平面ABCD，
得P∈平面ABCD.
同理，P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.
∴CE，D1F，DA三线共点.
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14.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.
答案 6
解析 当三条直线共点但不共面相交时，这三条直线可以确定三个平面，而点P与三条直线又可以确定三个平面，故最多可以确定六个平面.
15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
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必修2\\03\\去年DD334.TIF"
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解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
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必修2\\03\\去年DD335.TIF"
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∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
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2.1.1 平 面
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.经过同一条直线上的3个点的平面( )
A.有且只有一个
B.有且只有3个
C.有无数个
D.不存在
2.满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a?α，直线b?β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
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3.如果直线a?平面α，直线b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( )
A.l?α
B.l?α
C.l∩α＝M
D.l∩α＝N
4.下列说法中正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
5.下列图形中不一定是平面图形的是( )
A.三角形
B.菱形
C.梯形
D.四边相等的四边形
6.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )
A.A，B，C，D四点中必有三点共线
B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
7.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则( )
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.M不在直线AC上，也不在直线BD上
8.空间不共线的四点可以确定平面的个数是( )
A.0
B.1
C.1或4
D.无法确定
二、填空题
9.如图所示的图形可用符号表示为________.
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10.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.
11.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________.
三、解答题
12.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.
13.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是A1A的中点，求证：
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(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)直线CE，D1F，DA三线共点.
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14.已知空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，则由点P和这三条直线最多可以确定的平面个数为________.
15.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
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2.1.1 平 面
第二章
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.
2.掌握关于平面基本性质的三个公理.
3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系.
知识点一 平面
1.平面的概念
(1)平面是最基本的几何概念，对它加以描述而不定义.
(2)几何中的平面的特征：
绝对的平
不计大小
不计厚薄
无限延展
2.平面的画法
常常把水平的平面画成一个
，并且其锐角画成
，且横边长等于其邻边长的
倍
?
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用
画出来
?
平行四边形
45°
2
虚线
3.平面的表示方法
(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.
(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.
(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.
知识点二 点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的
都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
所有点
文字语言0
符号语言
图形语言
A在l外
A?l
?
A在l上
A∈l
?
A在α内
A∈α
?
A在α外
A?α
?
l在α内
l?α
?
l在α外
l?α
?
l，m相交于A
l∩m＝A
?
l，α相交于A
l∩α＝A
?
α，β相交于l
α∩β＝l
?
知识点三 平面的基本性质
公理
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的
在一个平面内，那么这条直线在_________
?
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
①确定直线在平面内的依据
②判定点在平面内
公理2
过_____________
___的三点，____
一个平面
?
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
①确定平面的依据
②判定点线共面
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________
?
P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
两点
此平面内
不在一条直线
上
有且
只有
公共直线
1.两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.( )
2.两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，记作α∩β＝A.( )
3.空间不同三点确定一个平面.( )
4.两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
题型一 图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
解 用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解 用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图.
反思感悟
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
跟踪训练1 (1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作
A.A∈b∈β
B.A∈b?β
C.A?b?β
D.A?b∈β
(2)如图所示，用符号语言可表述为
A.α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
√
√
题型二 点、线共面问题
例2 如图，已知a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.
证明 因为PQ∥a，
所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a?β，点P∈β.
因为P∈b，b?α，
所以P∈α.
又因为a?α，P?a，所以α与β重合，所以PQ?α.
引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.
证明 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面.
证明：如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理2的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.
反思感悟
证明点、线共面问题的理论及常用方法
(1)依据：公理1和公理2.
(2)常用方法.
①先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；②先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；③假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”.
跟踪训练2 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明 方法一 (纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
方法二 (辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明点共线、线共点问题
核心素养之逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
典例 (1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求证：AB，CD，l共点.
证明 ∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AB与CD必交于一点，
设AB交CD于M.
则M∈AB，M∈CD，
又∵AB?α，CD?β，
∴M∈α，M∈β，
又∵α∩β＝l，
∴M∈l，
∴AB，CD，l共点.
(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.
求证：E，F，G，H四点必定共线.
证明 ∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β，
∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，
∴E∈β，
∴E在α与β的交线l上.
同理，F，G，H也在α与β的交线l上，
∴E，F，G，H四点必定共线.
素养
评析
(1)点共线与线共点的证明方法
①点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
②三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
(2)通过证明题的学习，掌握推理的基本形式和规则，形成重论据，有条理，合乎逻辑的思维品质，培养逻辑推理的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1.有以下结论：
①平面是处处平的面；
②平面是无限延展的；
③平面的形状是平行四边形；
④一个平面的厚度可以是0.001
cm.
其中正确的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
1
2
3
4
5
√
解析 平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；
③④两种说法是错误的.故选B.
1
2
3
4
5
√
2.若一直线a在平面α内，则正确的作图是
解析 B中直线a不应超出平面α；
C中直线a不在平面α内；
D中直线a与平面α相交.
1
2
3
4
5
3.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为
A.A?a，a?α，B∈α
B.A∈a，a?α，B∈α
C.A?a，a∈α，B?α
D.A∈a，a∈α，B∈α
√
解析 点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.
4.能确定一个平面的条件是
A.空间三个点
B.一个点和一条直线
C.无数个点
D.两条相交直线
1
2
3
4
5
√
解析 A项，三个点可能共线，
B项，点可能在直线上，
C项，无数个点也可能在同一条直线上.
1
2
3
4
5
5.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________.
P∈直线DE
解析 因为P∈AB，AB?平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
