(共28张PPT)
章末复习
第一章 空间几何体
一、网络构建
二、要点归纳
1.柱、锥、台、球的结构特征
2.圆柱、圆锥、圆台、球的表(侧)面积公式
(1)S圆柱侧＝2πrl
(2)S圆锥侧＝πrl
(3)S圆台侧＝π(r1＋r2)l
(4)S球表＝4πR2
3.柱、锥、台、球的体积公式
(1)V柱＝Sh
4.空间几何体的三视图与直观图
2
题型探究
PART
TWO
例1 下列说法正确的是____.(填序号)
①棱柱的侧棱长都相等；
②棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面；
③夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；
④棱台的侧面是等腰梯形.
题型一 几何体的结构特征
①
解析 ②不正确，例如六棱柱的相对侧面；
③不正确，如图；
④不正确，侧棱长可能不相等.
反思感悟
与空间几何体结构特征有关问题的解题技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，要说明一个说法是错误的，只要举出一个反例即可.
跟踪训练1 根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形的是_________；
(2)等腰梯形沿着过两底边中点的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是_____；
(3)一个直角梯形绕较长的底边所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是____________________________.
正六棱柱
圆台
一个圆锥和一个圆柱的组合体
题型二 直观图与三视图
例2 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为
√
解析 由正视图和俯视图可得该几何体如图所示，故选B.
反思感悟
(1)空间几何体的三视图遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线用虚线表示.
(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.
跟踪训练2 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是
√
(2)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为______.
解析 该三棱锥的直观图如图所示，
并且PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，
题型三 几何体的表面积与体积
例3 如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.
解 所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的，
∵S锥表＝πR2＋πRl1＝4π＋8π＝12π，
∴所求几何体的体积为
反思感悟
1.空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
跟踪训练3 (1)如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为
√
√
解析 若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以△ACD为轴截面的圆锥中挖去一个以△ABD为轴截面的小圆锥后剩下的部分，如图所示.
设AD与CB的延长线交于点E.
3
达标检测
PART
THREE
1.关于几何体的结构特征，下列说法不正确的是
A.棱锥的侧棱长都相等
B.三棱台的上、下底面是相似三角形
C.有的棱台的侧棱长都相等
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
1
2
3
4
5
√
解析 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等.
2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是
A.圆柱
B.圆锥
C.四面体
D.三棱锥
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为
A.16π
B.20π
C.24π
D.32π
√
4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.180
B.200
C.220
D.240
1
2
3
4
5
√
解析 由三视图可知该几何体是个四棱柱.棱柱的底面为等腰梯形，高为10.
等腰梯形的上底为2，下底为8，高为4，腰长为5.
所以梯形的面积为
×4＝20，梯形的周长为2＋8＋2×5＝20.
所以四棱柱的表面积为20×2＋20×10＝240.
1
2
3
4
5
5.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三
棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为____.
1
2
3
4
5
解析 设三棱柱的高为h，
∵F是AA1的中点，
∵D，E分别是AB，AC的中点，中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 空间几何体章末复习检测
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.下面多面体中有12条棱的是( )
A.四棱柱
B.四棱锥
C.五棱锥
D.五棱柱
答案 A
解析 ∵n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，∴四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱.故选A.
2.棱锥的侧面和底面可以都是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案 A
解析 三棱锥的侧面和底面均为三角形.
3.如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P193.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.
B.1
C.
D.2
答案 D
解析 ∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是××＝1，
∴原平面图形的面积是1×2＝2.故选D.
4.如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD269.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.5π
B.4π
C.3π
D.2π
答案 A
解析 由题意知，形成的几何体是组合体：上面是半球、下面是圆柱，
∵正方形ABCD的边长为1，∠CDE＝90°，
∴球的半径是1，圆柱的底面半径是1，母线长是1，
∴形成的几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×1＋×4π×12＝5π.
5.以长为8
cm，宽为6
cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( )
A.64π
cm2
B.36π
cm2
C.64π
cm2或36π
cm2
D.48π
cm2
答案 C
解析 分别以长为8
cm，宽为6
cm的边所在的直线为旋转轴，即可得到两种不同大小的圆柱，显然C选项正确.
6.将若干毫升水倒入底面半径为2
cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6
cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )
A.6
cm
B.6
cm
C.2
cm
D.3
cm
答案 B
解析 设圆锥中水的底面半径为r
cm，由题意知
πr2×r＝π×22×6，
得r＝2，
∴水面的高度是×2＝6(cm).
7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P195.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是等边三角形
答案 C
8.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.
画图可知(图略)，R2＝R2＋r2，∴R2＝r2.
∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝πR2，
则所得截面的面积与球的表面积的比为＝.故选A.
9.如图所示的正方体中，M，N分别是AA1，CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P196.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P197.TIF"
\
MERGEFORMAT
答案 D
解析 四边形D1MBN在上下底面的正投影为选项A；在前后面上的正投影为选项B；在左右面上的正投影为选项C.故选D.
10.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 易知V＝1－8×××××＝.
11.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.3π
B.6π
C.18π
D.24π
答案 B
解析 将三棱锥补成边长分别为1，，的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R＝，解得R＝，故S＝4πR2＝6π.
12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P198.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
答案 B
解析 米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，
设圆锥底面半径为r，则×2πr＝8，
得r＝，
所以米堆的体积为×πr2×5≈(立方尺)，
÷1.62≈22(斛).
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.
答案 2
解析 S圆台侧＝π(r1＋r2)l＝2πl2＝8π，所以l＝2.
14.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点.记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.
答案
解析 如图，设点C到平面PAB的距离为h，则点E到平面PAD的距离为h.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P199.TIF"
\
MERGEFORMAT
∵S△DAB＝S△PAB，
∴＝＝＝.
15.一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________.(铁皮厚度忽略不计)
答案
解析 如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝＝，所以圆锥的容积为πr2h＝.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P200.TIF"
\
MERGEFORMAT
16.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________.
答案 48
解析 设球的半径为r，
则πr3＝π，
得r＝2，柱体的高为2r＝4.
又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，
所以底面正三角形的边长为4，
所以正三棱柱的体积V＝×(4)2×4＝48.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P201.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 由已知得，该几何体为一个棱台，
其侧面的高h′＝＝.
故S＝S上底＋S下底＋S侧面＝22＋42＋4××(2＋4)×＝20＋12，
所以该几何体的表面积为20＋12，
体积V＝(42＋22＋2×4)×3＝28.
18.(12分)如图所示，在多面体FE－ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P202.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 如图所示，分别过A，B作EF的垂线AG，BH，垂足分别为G，H.连接DG，CH，容易求得EG＝HF＝.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P203.TIF"
\
MERGEFORMAT
所以AG＝GD＝BH＝HC＝，
S△AGD＝S△BHC＝××1＝，
V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC
＝×2＋×1＝.
19.(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50
cm，两底面直径分别为40
cm和30
cm.求纸篓的表面积.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P204.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 根据题意可知，纸篓底面圆的半径r′＝15
cm，上口的半径r＝20
cm，设母线长为l，
则纸篓的表面积S＝πr′2＋
＝π(r′2＋r′l＋rl)
＝π(152＋15×50＋20×50)＝1
975π(cm2).
20.(12分)有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2，现将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没于水中.
(1)求圆柱的体积；
(2)求溢出水的体积.
解 (1)∵内壁底面半径为5，高为2，∴圆柱体积V＝π×52×2＝50π.
(2)溢出水的体积为×π×33＝36π.
21.(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P205.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 由题图可知半球的半径为4
cm，
所以V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πR2h＝π×42×12＝64π(cm3).
因为V半球22.(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为.设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P206.TIF"
\
MERGEFORMAT
解 (1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，
所以对角线的长为＝.
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P207.TIF"
\
MERGEFORMAT
(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图所示.
设PC的长为x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.
因为MP＝，MA＝2，AC＝3，所以x＝2(负值舍去)，即PC的长为2.
又因为NC∥AM，所以＝，即＝，所以NC＝.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一章 空间几何体章末复习检测
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.下面多面体中有12条棱的是( )
A.四棱柱
B.四棱锥
C.五棱锥
D.五棱柱
2.棱锥的侧面和底面可以都是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
3.如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P193.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.
B.1
C.
D.2
4.如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE＝90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\去年DD269.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.5π
B.4π
C.3π
D.2π
5.以长为8
cm，宽为6
cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为( )
A.64π
cm2
B.36π
cm2
C.64π
cm2或36π
cm2
D.48π
cm2
6.将若干毫升水倒入底面半径为2
cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6
cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为( )
A.6
cm
B.6
cm
C.2
cm
D.3
cm
7.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P195.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.△ABC是钝角三角形
B.△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是等边三角形
8.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图所示的正方体中，M，N分别是AA1，CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P196.TIF"
\
MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P197.TIF"
\
MERGEFORMAT
10.若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )
A.
B.
C.
D.
11.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，，，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A.3π
B.6π
C.18π
D.24π
12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
INCLUDEPICTURE
"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
A版
必修2\\03\\P198.TIF"
\
MERGEFORMAT
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若一个圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r1，r2，且满足2l＝r1＋r2，其侧面积为8π，则l＝________.
14.三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点.记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则＝________.
15.一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________.(铁皮厚度忽略不计)
16.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积.
18.(12分)如图所示，在多面体FE－ABCD中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，求该多面体的体积V.
19.(12分)如图所示是一个圆台形的纸篓(有底无盖)，它的母线长为50
cm，两底面直径分别为40
cm和30
cm.求纸篓的表面积.
20.(12分)有一盛满水的圆柱形容器，内壁底面半径为5，高为2，现将一个半径为3的玻璃小球缓慢浸没于水中.
(1)求圆柱的体积；
(2)求溢出水的体积.
21.(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.
22.(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为.设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
