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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.空间两条互相平行的直线指的是( )
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案 D
2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是( )
A.SB
B.SC
C.BC
D.AB
答案 C
3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行
B.一定相交
C.一定异面
D.相交或异面
答案 D
解析 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
4.两等角的一组对应边平行，则( )
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
答案 D
解析 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.
5.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A.一定平行
B.一定垂直
C.一定是异面直线
D.一定相交
答案 B
解析 ∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
答案 C
解析 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.
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7.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.相交、平行、异面均可能
答案 D
8.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )
A.2对
B.3对
C.6对
D.12对
答案 C
解析 如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.
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二、填空题
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
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①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________.(填序号)
答案 ③④
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确.
10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
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①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论正确的为________.(填序号)
答案 ①③
解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.
11.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.
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答案 60°
解析 连接BC1，AD1，
∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.
∵△ACD1是等边三角形，
∴∠D1AC＝60°.
三、解答题
12.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点.求证：四边形B1EDF是平行四边形.
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证明 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，
∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，
A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，
∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C的中点，
∴QD∥C1F且QD＝C1F，
∴四边形QDFC1为平行四边形.
∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，
∴B1E∥DF且B1E＝DF，
∴四边形B1EDF为平行四边形.
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13.如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2.
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(1)求直线BC和EG所成的角；
(2)求直线AE和BG所成的角.
解 (1)连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.
∵在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，
∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，
∴直线BC和EG所成的角是45°.
(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.
易知tan∠FBG＝，∴∠FBG＝60°，
∴直线AE和BG所成的角是60°.
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14.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A.有无数条
B.有两条
C.至多有两条
D.有一条
答案 A
解析 如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.
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15.已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别是AC，BC，DB，DA的中点，若AB＝12，CD＝4，且HG·HE·sin∠EHG＝12，求直线AB和CD所成的角.
解 如图所示，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，
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∴∠EHG或其补角就是异面直线AB和CD所成的角，且四边形EFGH是平行四边形.
∵HG＝AB＝6，HE＝CD＝2，
∴HG·HE·sin∠EHG＝12sin∠EHG，
∴12sin∠EHG＝12，∴sin∠EHG＝，
故∠EHG＝45°，∴直线AB和CD所成的角为45°.
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.空间两条互相平行的直线指的是( )
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线
2.在三棱锥S－ABC中，与SA是异面直线的是( )
A.SB
B.SC
C.BC
D.AB
3.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行
B.一定相交
C.一定异面
D.相交或异面
4.两等角的一组对应边平行，则( )
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
5.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A.一定平行
B.一定垂直
C.一定是异面直线
D.一定相交
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
7.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.相交、平行、异面均可能
8.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )
A.2对
B.3对
C.6对
D.12对
二、填空题
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
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①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线.
其中正确的结论为________.(填序号)
10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
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①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论正确的为________.(填序号)
11.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.
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三、解答题
12.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点.求证：四边形B1EDF是平行四边形.
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13.如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2.
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(1)求直线BC和EG所成的角；
(2)求直线AE和BG所成的角.
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14.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A.有无数条
B.有两条
C.至多有两条
D.有一条
15.已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别是AC，BC，DB，DA的中点，若AB＝12，CD＝4，且HG·HE·sin∠EHG＝12，求直线AB和CD所成的角.
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
第二章
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解空间中两条直线的位置关系.
2.理解异面直线的概念、画法.
3.理解并掌握公理4及等角定理.
4.了解异面直线所成角的概念，会求一些较特殊的异面直线所成的角.
知识点一 异面直线的定义
1.定义：不同在
平面内的两条直线.
2.异面直线的画法(衬托平面法)
如图(1)(2)(3)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
3.判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
任何一个
知识点二 空间两条直线的位置关系
空间两条直线的三种位置关系
1.从是否有公共点的角度来分：
没有公共点
平行
异面
有且仅有一个公共点——
相交
2.从是否共面的角度来分：
在同一平面内
平行
相交
不同在任何一个平面内——
异面
知识点三 公理4
1.平行公理的内容
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
知识点四 空间中的等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角
.
相等或互补
思考 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，试问这两个角在什么情况下相等，在什么情况下互补？
答案 当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时，这两个角相等；当两个角的一组边的方向相同，而另一组边的方向相反时，这两个角互补.
知识点五 异面直线所成的角
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的
叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)，如图所示.
(1)a′与b′所成的角的大小只由a，b的相互位置来确定，与O的选择
，为了简便，点O一般取在两直线中的一条直线上；
(2)两条异面直线所成的角的范围是0°<θ≤90°；
(3)当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
.
锐角(或直角)
无关
a⊥b
1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.( )
2.两直线若不是异面直线，则必相交或平行.( )
3.两条直线无公共点，则这两条直线平行.( )
4.和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是______；
题型一 两直线位置关系的判定
平行
解析 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；
解析 直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
异面
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
相交
解析 直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是______.
异面
解析 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
反思感悟
(1)判定两条直线平行或相交的方法
判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.
(2)判定两条直线是异面直线的方法
①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内.
②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A?α，B∈α，l?α，B?l?AB与l是异面直线(如图).
跟踪训练1 (1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行、相交或异面
√
解析 可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或异面.
(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为
A.1
B.2
C.3
D.4
√
解析 还原的正方体如图所示.
是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
题型二 平行公理和等角定理的应用
例2 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.
证明 因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形，
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
引申探究
1.在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM是梯形.
证明 如图，在正方体中，连接A′C′，MN∥A′C′，且MN＝
A′C′，因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，
又AM与CN不平行，
故四边形ACNM是梯形.
2.若将本例变为已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点.求证：∠BEC＝∠B′E′C′.
证明 如图所示，连接EE′.
因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，
所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.
所以四边形AEE′A′是平行四边形.
所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.
又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，
所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，
所以四边形BEE′B′是平行四边形，
所以BE∥B′E′.
同理可证CE∥C′E′.
又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，
所以∠BEC＝∠B′E′C′.
反思感悟
(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
跟踪训练2 (1)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1中点.
求证：∠BGC＝∠FD1E.
证明 因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，
所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E，GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.
证明 如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
因为F为CC1的中点，
所以BG∥FC1，
且BG＝FC1.
所以四边形BFC1G是平行四边形.
所以BF∥GC1，BF＝GC1，
又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，
A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，
所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.
所以四边形EGC1D1是平行四边形.
所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，
所以BF∥ED1，BF＝ED1，
所以四边形BFD1E是平行四边形.
求异面直线所成的角
核心素养之数学运算与逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
SHU
XUE
YUN
SUAN
YU
LUO
JI
TUI
LI
典例 如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
解 ∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)FO与BD所成的角.
解 连接FH，
∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
素养
评析
(1)求两异面直线所成的角的三个步骤
①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
②证：证明作出的角就是要求的角；
③计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角范围是0°<θ≤90°.
(2)求异面直线所成的角，关键是找出异面直线所成的角，这就需要借助于几何图形，探索和论述某角是异面直线所成的角，进而求解，所以本例充分体现了逻辑推理与数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1.不平行的两条直线的位置关系是
A.相交
B.异面
C.平行
D.相交或异面
√
1
2
3
4
5
6
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
√
解析 EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
1
2
3
4
5
6
3.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是
A.共面
B.平行
C.异面
D.平行或异面
√
解析 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
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6
4.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是
A.平行或异面
B.相交或异面
C.异面
D.相交
√
解析 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
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6
5.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是______.
矩形
解析 如图所示.
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
即MN∥PQ且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ，AC⊥BD，
∴MN⊥MQ，
∴平行四边形MNPQ是矩形.
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6.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小.
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解 如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，
由AB＝CD知EG＝FG，
从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角.
∵AB与CD所成角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°，
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，
故EF与AB所成角的大小为15°或75°.
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1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.
2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
