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2.2.1 直线与平面平行的判定
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是( )
A.直线m与平面α内所有直线平行
B.直线m与平面α内无数条直线平行
C.直线m与平面α没有公共点
D.直线m与平面α内的一条直线平行
答案 C
解析 A，本身说法错误；B，当直线m在平面α内时，m与α不平行；C，能推出m与α平行；D，当直线m在平面α内时，m与α不平行.故选C.
2.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A.不可能作出
B.只能作出一个
C.能作出无数个
D.上述三种情况都存在
答案 D
解析 设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行.
3.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
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必修2\\03\\P286.TIF"
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A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案 D
解析 由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行.故与EF平行的平面有4个.
4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
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必修2\\03\\P287.TIF"
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A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案 B
5.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A.有且只有一个
B.有无数多个
C.有且只有一个或不存在
D.不存在
答案 A
解析 在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的.
6.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
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"E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教
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必修2\\03\\P288.TIF"
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A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
答案 B
7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
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必修2\\03\\P289.TIF"
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①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
解析 由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故①正确；PD?平面PCD，OM?平面PCD，∴OM∥平面PCD，故②正确；同理可得：OM∥平面PDA，故③正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④⑤不正确.故共有3个结论正确.
8.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有( )
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必修2\\03\\P290.TIF"
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A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
答案 C
解析 ∵＝，
∴EF∥AB.
又EF?平面EFGH，AB?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理，由＝，
可证CD∥平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条.
二、填空题
9.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________.
答案 l?α
10.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________.
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必修2\\03\\P292.TIF"
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答案 平行
解析 ∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACE，AC?平面ACE，∴A1C1∥平面ACE.
11.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.
答案 平行
解析 如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF?平面SBC，EG?平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
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必修2\\03\\P291.TIF"
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三、解答题
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1.
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必修2\\03\\P293.TIF"
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证明 取D1B1的中点O，连接OF，OB.
∵OF∥B1C1，BE∥B1C1且OF＝B1C1，
BE＝B1C1，∴OF∥BE且OF＝BE，
∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.
∵EF?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1.
13.已知正方形ABCD，如图(1)，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.
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必修2\\03\\P294.TIF"
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证明 ∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EB＝FD.
又∵EB∥FD，
∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.
∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
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14.如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.
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必修2\\03\\P295.TIF"
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答案 平面ABC，平面ABD
解析 连接BN，AM，并延长交CD于点E.
由题意易得MN∥AB，MN?平面ABC，AB?平面ABC，MN?平面ABD，AB?平面ABD，
∴MN∥平面ABC，MN∥平面ABD.
15.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
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解 如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，
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必修2\\03\\P297.TIF"
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PM∥平面BCE.
取BE的中点N，连接CN，MN，
MN∥AB且MN＝AB，
又PC∥AB且PC＝AB，
所以MN∥PC，MN＝PC，
所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN.
因为PM?平面BCE，CN?平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
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2.2.1 直线与平面平行的判定
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是( )
A.直线m与平面α内所有直线平行
B.直线m与平面α内无数条直线平行
C.直线m与平面α没有公共点
D.直线m与平面α内的一条直线平行
2.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A.不可能作出
B.只能作出一个
C.能作出无数个
D.上述三种情况都存在
3.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
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A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是( )
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A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
5.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )
A.有且只有一个
B.有无数多个
C.有且只有一个或不存在
D.不存在
6.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )
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A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：
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①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有( )
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A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
二、填空题
9.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m?α，l∥m”中另外添加的一个条件是________.
10.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则A1C1与平面ACE的位置关系为________.
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11.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.
三、解答题
12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点.求证：EF∥平面BDD1B1.
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13.已知正方形ABCD，如图(1)，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.
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14.如图，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________.
15.如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
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2.2.1 直线与平面平行的判定
第二章
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理.
2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
知识点 直线与平面平行的判定定理
表示
定理
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
?
平面外一条直线与______
，则该直线与此平面平行
此平
面内一条直线平行
特别提醒：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b.
1.若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.( )
2.若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )
3.若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行.( )
4.两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是
A.相交
B.b∥α
C.b?α
D.b∥α或b?α
题型一 线面平行判定定理的理解
解析 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
√
反思感悟
用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
跟踪训练1 能保证直线a与平面α平行的条件是
A.b?α，a∥b
B.b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D.a?α，b?α，a∥b0
√
题型二 直线与平面平行的证明
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
证明 连接BC1(图略)，
在△BCC1中，
∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF?平面AD1G，
AD1?平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.
反思感悟
利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.
跟踪训练2 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
证明 如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又∵MN?平面PAD，AG?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
平行中探索存在性问题
核心素养之逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
典例 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解 如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，
设O为A1C，AC1的交点.
由已知得，O为AC1的中点，
连接MD，OE，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
因此MD∥OE且MD＝OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，
使直线DE∥平面A1MC.
素养
评析
(1)平行中探索存在性问题的判定，多出现在解答题中.证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系.
(2)掌握推理的基本形式和规则，探索和表述论证过程，有逻辑地表达与交流是逻辑推理的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1.已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是
A.b与α内的一条直线不相交
B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交
D.b与α内的所有直线不相交
√
1
2
3
4
5
2.下列命题：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.
其中正确命题的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
√
1
2
3
4
5
解析 ②正确；①③错误.
3.有以下四个说法，其中正确的说法是
①若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；
②若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行；
③若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；
④若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.
A.①②
B.①②③
C.①③④
D.①②④
√
1
2
3
4
5
解析 ③中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故③不正确，①②④正确.
4.若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是
A.MN∥β
B.MN与β相交或MN?β
C.MN∥β或MN?β
D.MN∥β或MN与β相交或MN?β
√
1
2
3
4
5
解析 若平面β是△ABC所在的平面，
则MN?β.
若MN?β，则MN∥β.
故选C.
5.如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是______.
1
2
3
4
5
平行
1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作).
(2)判定定理法：a?α，b?α，a∥b?a∥α.
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内.
2.证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质.
(2)利用平行四边形的性质.
(3)利用平行线分线段成比例定理.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
