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2.2.3 直线与平面平行的性质
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是( )
A.b∥α
B.b与α相交
C.b?α
D.不确定
答案 D
2.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A.平行
B.平行或异面
C.平行或相交
D.异面或相交
答案 B
解析 由AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，得CD∥α，
所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.
3.已知a，b表示直线，α表示平面，给出下列说法：①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α，其中正确说法的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案 A
4.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )
A.有无数条，不一定在平面α内
B.只有一条，不在平面α内
C.有无数条，一定在平面α内
D.只有一条，且在平面α内
答案 D
5.对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是( )
A.如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B.如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C.如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D.如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
答案 C
解析 由线面平行的性质定理知C正确.
6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
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A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
答案 A
解析 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.
又∵EF∥AB，∴GH∥AB.
7.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为( )
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A.1
B.
C.2
D.3
答案 D
解析 设AO交BE于点G，连接FG.
∵O，E分别是BD，AD的中点，
∴＝，＝.
∵PC∥平面BEF，平面BEF∩平面PAC＝GF，
∴GF∥PC，∴＝＝，
∴λ＝3.
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8.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A.E，F，G，H一定是各边的中点
B.G，H一定是CD，DA的中点
C.BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
答案 D
解析 由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
二、填空题
9.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有____条.
答案 0或1
解析 过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.
10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.
答案 A1C1∥l
解析 因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，
所以AC∥平面A1B1C1D1.
又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，
所以AC∥l.
又因为A1C1∥AC，所以A1C1∥l.
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11.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
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答案 a
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
三、解答题
12.如图，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.
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证明 ∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形.
13.已知AB，CD为异面线段，E，F分别为AC，BD的中点，过E，F作平面α∥AB.求证：CD∥α.
证明 如图，连接AD交平面α于点H，连接EH，FH，
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因为AB∥α，AB?平面ABD，且平面ABD∩α＝FH，
所以AB∥HF.又因为F为BD中点，
所以H为AD中点，又E为AC中点，
所以EH∥CD，又因为EH?α，CD?α，故CD∥α.
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14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中错误的是( )
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A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
答案 C
解析 由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；C是错误的，故选C.
15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
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解 若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，
连接MN，NF.
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因为BF∥平面AA1C1C，
BF?平面FBMN，
平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，
所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN，
平面FBMN∩平面AEF＝FN，
所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线.
所以当M是AC的中点时，
MB∥平面AEF.
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2.2.3 直线与平面平行的性质
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是( )
A.b∥α
B.b与α相交
C.b?α
D.不确定
2.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A.平行
B.平行或异面
C.平行或相交
D.异面或相交
3.已知a，b表示直线，α表示平面，给出下列说法：①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b?α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α，其中正确说法的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
4.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线( )
A.有无数条，不一定在平面α内
B.只有一条，不在平面α内
C.有无数条，一定在平面α内
D.只有一条，且在平面α内
5.对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是( )
A.如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n∥α
B.如果m?α，n?α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C.如果m?α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D.如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
6.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
7.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，AC交BD于点O，E为AD中点，F在PA上，AP＝λAF，PC∥平面BEF，则λ的值为( )
A.1
B.
C.2
D.3
8.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )
A.E，F，G，H一定是各边的中点
B.G，H一定是CD，DA的中点
C.BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
二、填空题
9.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有____条.
10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.
11.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
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三、解答题
12.如图，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.
13.已知AB，CD为异面线段，E，F分别为AC，BD的中点，过E，F作平面α∥AB.求证：CD∥α.
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14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列命题中错误的是( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面PQMN
C.AC＝BD
D.异面直线PM与BD所成的角为45°
15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
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2.2.3 直线与平面平行的性质
第二章
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.
2.结合具体问题体会转化与化归的数学思想.
知识点 直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面
，则过这条直线的任一平面与此平面的
与该直线______
符号语言
a∥α，
?a∥b
图形语言
?
平行
交线
平行
a?β，α∩β＝b
1.若直线l∥平面α，且b?α，则l∥b.( )
2.若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线.( )
3.若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，则a∥b.( )
4.若直线a∥平面α，直线a∥直线b，则b∥α.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
×
×
×
2
题型探究
PART
TWO
例1 已知直线a∥平面α，a?平面β，α∩β＝b，b∥平面γ，α∩γ＝c.
求证：a∥c.
题型一 线面平行性质的直接应用
证明 ∵a∥α，a?β，β∩α＝b，∴a∥b，
又∵b∥γ，b?α，α∩γ＝c，∴b∥c，∴a∥c.
反思感悟
直接应用线面平行的性质定理，关键是摆全定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②直线a在平面β内，即a?β；③平面α，β相交，即α∩β＝b.三个条件缺一不可.
跟踪训练1 如图所示，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则
A.MN∥PD
B.MN∥PA
C.MN∥AD
D.以上均有可能
解析 四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，因为MN?平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，
所以由直线与平面平行的性质定理可得，MN∥PA.
√
题型二 线面平行的判定与性质的交替应用
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
证明 连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP?平面BDM，
OM?平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
∴AP∥GH.
引申探究
本例条件不变，求证：GH∥平面PAD.
证明 由例2证得AP∥GH.
又AP?平面PAD，GH?平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
反思感悟
线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.
跟踪训练2 如图，在五面体EF－ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.
证明 ∵AD∥BC，AD?平面BCEF，BC?平面BCEF，
∴AD∥平面BCEF，
∵AD?平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，
∴AD∥EF.
线面平行性质的综合应用
核心素养之逻辑推理
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
典例 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段FE的长度.
解 ∵EF∥平面AB1C，
又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，
∴EF∥AC，
∵E是AD的中点，
素养
评析
(1)利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
①根据已知线面平行关系推出线线平行关系.
②在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.
③利用所得关系计算求值.
(2)逻辑推理是数学核心素养之一.
3
达标检测
PART
THREE
1.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
1
2
3
4
5
√
2.如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
√
1
2
3
4
5
3.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
√
1
2
3
4
5
解析 因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.
4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝__.
1
2
3
4
5
解析 因为AB∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
5
5.已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是______四边形.
1
2
3
4
5
平行
1.在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
2.要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
