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2.2.4 平面与平面平行的性质
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
答案 B
解析 因为A1B1∥平面ABC，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，所以A1B1∥DE.又因为A1B1∥AB，所以DE∥AB.
2.平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A.l∥β
B.l?β
C.l∥β或l?β
D.l，β相交
答案 C
3.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( )
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A.1
B.1.5
C.2
D.3
答案 A
4.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A.两两相互平行
B.两两相交于同一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点
答案 A
解析 可以想象四棱柱.由面面平行的性质定理可得.
5.下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确的命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
答案 C
解析 根据面面平行的性质知①②③正确，故选C.
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
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A.不存在
B.有1条
C.有2条
D.有无数条
答案 D
解析 显然平面D1EF与平面ADD1A1相交，则在平面ADD1A1内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条，这些直线都与平面D1EF平行.
7.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
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A.2∶25
B.4∶25
C.2∶5
D.4∶5
答案 B
解析 ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝2＝2＝.
8.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是( )
①?a∥b;
②?a∥b；
③?α∥β；
④?α∥β；
⑤?α∥a;
⑥?a∥α.
A.④⑥
B.②③⑥
C.②③⑤⑥
D.②③
答案 C
解析 由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内.
二、填空题
9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
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答案
解析 ∵平面MNE∥平面ACB1，
由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，
又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，
∴MN＝AC，即＝.
10.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是________.
答案 a∥b
解析 由平面与平面平行的性质定理可判定a∥b.
11.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中所有真命题的序号为________.
答案 ③
解析 ①中α可能与β相交；②中直线l与m可能异面；③中根据线面平行的性质定理可以证明m∥n.
三、解答题
12.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.
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解 设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，
所以△SAC∽△SBD，所以＝，
即＝，所以SC＝17.
13.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
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证明 因为BE∥AA1，
AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，
BC?平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，
平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，
所以EC∥A1D.
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14.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________.(填序号)
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①BF∥平面ACGD；
②CF∥平面ABED；
③BC∥FG；
④平面ABED∥平面CGF.
答案 ①
解析 ∵EF∥DG，BE∥AD，BE∩EF＝E，AD∩DG＝D，BE，EF?平面BEF，AD，DG?平面ADGC，
∴平面BEF∥平面ADGC.
∵BF?平面BEF，∴BF∥平面ACGD，故①正确；
由于DG＝2EF，则四边形EFGD是梯形，
GF的延长线必与直线DE相交，
故④不正确；
选项②③不能推出.
15.如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC.
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证明 在AB上取一点P，使＝，连接MP，NP，则MP∥SB.
∵SB?平面SBC，
MP?平面SBC，∴MP∥平面SBC.
又＝，∴＝，∴NP∥AD.
∵AD∥BC，∴NP∥BC.
又BC?平面SBC，NP?平面SBC，
∴NP∥平面SBC.
又MP∩NP＝P，MP，NP?平面MNP，
∴平面MNP∥平面SBC，
而MN?平面MNP，
∴MN∥平面SBC.
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班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.以上均有可能
2.平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A.l∥β
B.l?β
C.l∥β或l?β
D.l，β相交
3.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( )
A.1
B.1.5
C.2
D.3
4.两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A.两两相互平行
B.两两相交于同一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点
5.下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等.
其中正确的命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )
A.不存在
B.有1条
C.有2条
D.有无数条
7.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A.2∶25
B.4∶25
C.2∶5
D.4∶5
α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是( )
①?a∥b;
②?a∥b；
③?α∥β；
④?α∥β；
⑤?α∥a;
⑥?a∥α.
A.④⑥
B.②③⑥
C.②③⑤⑥
D.②③
二、填空题
9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝________.
10.已知α，β，γ是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线.若α∩β＝a，β∩γ＝b，且α∥γ，则a与b的位置关系是________.
11.已知l，m，n是互不相同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l与m为异面直线，l?α，m?β，则α∥β；
②若α∥β，l?α，m?β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中所有真命题的序号为________.
三、解答题
12.如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.
13.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.
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14.如图，在多面体ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD∥BE，AC∥DG∥EF，且AB＝DE，DG＝2EF，则下列说法中正确的是________.(填序号)
①BF∥平面ACGD；
②CF∥平面ABED；
③BC∥FG；
④平面ABED∥平面CGF.
15.如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝，求证：MN∥平面SBC.
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第二章
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.4 平面与平面平行的性质
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题.
2.知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化.
知识点 两平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线_____
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?_______
图形语言
?
a∥b
平行
思考 (1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
答案 不是；
(2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？
答案 是的.
1.若平面α∥平面β，l?平面β，m?平面α，则l∥m.( )
2.若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.( )
3.已知两个平面平行，若有第三个平面与其中的一个平面平行，那么它与另一平面也平行.( )
4.夹在两平行平面的平行线段相等.( )
思考辨析
判断正误
SI
KAO
BIAN
XI
PAN
DUAN
ZHENG
WU
×
√
√
√
2
题型探究
PART
TWO
例1 如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b.
求证：a∥b.
题型一 面面平行性质的应用
证明 ∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，
∴a∥A′D′，又∵平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，
平面ADC′∩平面ABC＝AD，
∴b∥AD，又AA′∥B′B∥DD′且AA′＝B′B＝DD′，
∴四边形ADD′A′是平行四边形，
∴A′D′∥AD，∴a∥b.
反思感悟
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
(4)由定理得出结论.
跟踪训练1 如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
证明 因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
题型二 平行关系的综合应用
例2 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；
证明 如图，连接AC，CD1.
因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，
所以PQ∥CD1.
又PQ?平面DCC1D1，
CD1?平面DCC1D1，
所以PQ∥平面DCC1D1.
(2)求证：EF∥平面BB1D1D.
证明 方法一 取B1D1的中点O1，
连接FO1，BO1，
所以BE∥FO1，BE＝FO1.
所以四边形BEFO1为平行四边形，
所以EF∥BO1，
又EF?平面BB1D1D，BO1?平面BB1D1D，
所以EF∥平面BB1D1D.
方法二 取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，
则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，
且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1?平面EE1F，B1D1，BB1?平面BB1D1D，
所以平面EE1F∥平面BB1D1D.
又EF?平面EE1F，
所以EF∥平面BB1D1D.
反思感悟
(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.
(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化，转化思想是解决这类问题的最有效的方法.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面PAB.
证明 取AD的中点O，连接OC，OE.
∵E为侧棱PD的中点，
∴OE∥PA，OE?平面PAB，PA?平面PAB，
∴OE∥平面PAB.
∵BC＝2，AD＝4，BC∥AD，∴四边形ABCO为平行四边形，
∴OC∥AB，
又OC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴OC∥平面PAB.
∵OC∩OE＝O，OC，OE?平面OCE，
∴平面OCE∥平面PAB.
∵CE?平面OCE，∴CE∥平面PAB.
几何中的计算问题
核心素养之逻辑推理与数学运算
HE
XIN
SU
YANG
ZHI
LUO
JI
TUI
LI
YU
SHU
XUE
YUN
SUAN
典例 如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15
cm，DE＝5
cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.
解 如图所示.
连接AF，交β于点G，连接BG，EG，
则点A，B，C，G共面.
∵β∥γ，平面ACF∩β＝BG，平面ACF∩γ＝CF，
∴BG∥CF，
∴△ABG
∽△ACF，
∴EF＝3DE＝3×5＝15
cm.
素养
评析
(1)利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养.
(2)理解运算对象，借助三角形相似求得运算结果，充分体现了数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART
THREE
1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
1
2
3
4
5
√
解析 由面面平行的性质定理易得.
6
2.若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
√
1
2
3
4
5
解析 由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确.
6
3.设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C
A.不共面
B.不论点A，B如何移动，都共面
C.当且仅当点A，B分别在两条直线上移动时才共面
D.当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
√
1
2
3
4
5
解析 由平面与平面平行的性质，不论A，B如何移动，动点C均在过C且与平面α，β都平行的平面上.
6
4.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是
A.相似但不全等的三角形
B.全等三角形
C.面积相等的不全等三角形
D.以上结论都不对
1
2
3
4
5
解析 由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，
∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
√
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5.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是___________.
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平行四边形
解析 由夹在两平行平面间的平行线段相等可得.
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6.空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH.
(1)求AH∶HD；
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又EF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴EF∥平面ACD.
∵EF?平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，
∴EF∥GH.
又EF∥AC，∴AC∥GH.
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(2)求证：EH，FG，BD三线共点.
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∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.
设EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH?平面ABD，P∈FG，FG?平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，
∴EH，FG，BD三线共点.
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1.常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
课堂小结
KE
TANG
XIAO
JIE
2.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
