人教版八年级数学下册第18章单元培优练习：《平行四边形》含解析

单元培优练习：《平行四边形》
一．选择题
1．菱形不具备的性质是（　　）
A．对角线一定相等
B．对角线互相垂直
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
2．如图，在?ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝8，BD＝20，则BC的长为（　　）
A．10
B．4
C．12
D．2
3．如图，在?ABCD中，下列结论一定成立的是（　　）
A．AC⊥BD
B．∠BAD+∠ABC＝180°
C．AB＝AD
D．∠ABC＝∠BCD
4．如图，菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形高DE长为（　　）
A．5cm
B．10cm
C．4.8cm
D．9.6cm
5．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（　　）
A．12m
B．10m
C．9m
D．8m
6．如图，在矩形ABCD中，AO＝5，CD＝6，则AD＝（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
7．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠BAC＝90°，E为AB的中点，若AE＝3，AO＝4，则AD的长为（　　）
A．10
B．12
C．10
D．12
8．如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F分别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（　　）
A．不变
B．变长
C．变短
D．先变短再变长
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则ED的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．
10．如图，E、F分别是矩形ABCD边上的两点，设∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，若∠AED＝α+β，下列结论正确的是（　　）
A．α＝β
B．α＝γ
C．α+β+2γ＝90°
D．2α+γ＝90°
11．如图，在菱形ABCD中，AE，AF分别垂直平分BC，CD，垂足分别为E，F，则∠EAF的度数是（　　）
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
12．如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：
①∠ABE＝∠DCE；
②AG⊥BE；
③S△BHE＝S△CHD；
④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（　　）
A．①③
B．①②③④
C．①②③
D．①③④
二．填空题
13．如图，?ABCD中，AC＝AD，BE⊥AC于E，若∠D＝70°，则∠ABE＝　
　．
14．如果平行四边形的周长为20cm，一边长为4cm，则它的邻边长为　
　cm．
15．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是线段AD、BC的中点，G、H分别是线段BD、AC的中点，当四边形ABCD的边满足　
　时，四边形EGFH是菱形．
16．如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作正方形ABED，ACGF．若点E，A，G在同一直线上，EG＝8，BC＝7，则△ABC的面积为　
　．
17．学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．
应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为　
　．
三．解答题
18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作∠ADC和∠ABC的平分线，分别交AC于点G，H，延长DG交AB于点E，延长BH交CD于点F．
（1）求证：△ADG≌△CBH；
（2）若BD平分∠CDE，则四边形DEBF是什么特殊四边形？请说明理由．
19．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平∠BAD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE的长．
20．菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点．
（2）如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数．
21．如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，经过点O的直线AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）如图2，连接AF、CE，当AF⊥FC时，在不添加辅助线的情况下，直接写出等于AC的线段．
22．四边形ABCD是平行四边形，∠A＝∠B．
（1）求证：?ABCD是矩形；
（2）若BC＝AB，求∠ACB的度数；
（3）在（2）的条件下，点E，F分别在AB，AD上，且CE＝CF，∠ECF＝30°，AC＝4，求2AE﹣FD的值．
23．在平行四边形ABCD中，以边AD为边在平行四边形内作等边△ADE，连接BE．
（1）如图1，若点E在对角线BD上，且∠DAB＝75°，AB＝，求BE的长；
（2）如图2，若点F是BE的中点，且CF⊥BE，过点E作MN∥CF，分别交AB，CD于点M，N，求证：DN＝CN+EN．
参考答案
一．选择
1．解：根据菱形的性质可知：
菱形的对角线互相垂直平分；
菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
进行的对角线相等，而菱形不具备对角线一定相等．
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO＝BD＝10，AC＝2AO，
∵∠BAC＝90°，
∴AO＝＝6，
∴AC＝12，
∴BC＝＝＝4，
故选：B．
3．解：A、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，选项不能成立；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD+∠ABC＝180°，选项成立；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，选项不能成立；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC+∠BCD＝180°，选项不成立；
故选：B．
4．解：∵菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AC⊥BD，
OA＝AC＝×8＝4cm，
OB＝BD＝×6＝3cm，
根据勾股定理，AB＝＝5cm，
菱形ABCD的面积＝AC?BD＝AB?DE，
即×8×6＝5DE，
解得DE＝4.8cm．
故选：C．
5．解：∵A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB＝DE＝×18＝9，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，AO＝5，
∴∠ADC＝90°，AC＝2AO＝10，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，
故选：D．
7．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO＝DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD＝2OE，
∵∠BAC＝90°，AE＝3，AO＝4，
∴OE＝＝＝5，
∴AD＝2OE＝10．
故选：A．
8．解：连接AC，如图所示：
∵E，F分别是AM，MC的中点，
∴EF＝AC，
∵C是定点，
∴AC是定长，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
解得：x＝
∴DE＝；
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝α，∠EDF＝β，∠FDC＝γ，
∴α+β+γ＝90°，
∵∠AED+α＝90°，∠AED＝α+β，
∴2α+β＝90°，
∴α+β+γ＝2α+β，
∴α＝γ，
故选：B．
11．解：连接AC，
∵AE垂直平分边BC，
∴AB＝AC，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠BCD＝120°，
又∵AF垂直平分边CD，
∴在四边形AECF中，∠EAF＝360°﹣180°﹣120°＝60°．
故选：B．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴AE＝DE，AB＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE＝∠DCE，
故①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADB＝∠CDB＝45°，DH＝DH，
∴△ADH≌△CDH（SAS），
∴∠HAD＝∠HCD，
∵∠ABE＝∠DCE
∴∠ABE＝∠HAD，
∵∠BAD＝∠BAH+∠DAH＝90°，
∴∠ABE+∠BAH＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴AG⊥BE，
故②正确；
∵AD∥BC，
∴S△BDE＝S△CDE，
∴S△BDE﹣S△DEH＝S△CDE﹣S△DEH，
即；S△BHE＝S△CHD，
故③正确；
∵△ADH≌△CDH，
∴∠AHD＝∠CHD，
∴∠AHB＝∠CHB，
∵∠BHC＝∠DHE，
∴∠AHB＝∠EHD，
故④正确；
故选：B．
二．填空题
13．解：∵AC＝AD，
∴∠D＝∠ACD＝70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ACD＝70°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝20°，
故答案为：20°．
14．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形的周长为20cm，一边长为4cm，
∴它的邻边长为＝（cm），
故答案为：6．
15．解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，同理HF∥AB，∴EG∥HF，EG＝HF＝AB，
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG＝AB，又可同理证得EH＝CD，
∵AB＝CD，∴EG＝EH，
∴四边形EGFH是菱形．
故答案为AB＝CD．
16．解：∵四边形ABED和四边形ACGF是正方形，
∴∠EAB＝∠GAC＝45°，
∵E，A，G在同一直线上，
∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
设AB＝x，AC＝y，
∵EG＝8，BC＝7，
∴x2+y2＝72，x+y＝8，
∴x+y＝8，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝64，
∴2xy＝15，
∴xy＝，
∴△ABC的面积＝AB?AC＝xy＝，
故答案为：．
17．解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：
则AB＝DE，
由题意得：CD2+CE2＝CA2+CB2，
即22+CE2＝42+62，
解得：CE＝4，
当C、D、E三点共线时，DE最小，
∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE﹣CD＝4﹣2；
故答案为：4﹣2．
三．解答题
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，∠ADC＝∠ABC，
∴∠DAG＝∠BCH，
∵DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，
∴，
∴∠ADG＝∠CBH，
在△ADG和△CBH中，，
∴△ADG≌△CBH（ASA）；
（2）解：四边形DEBF是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AB＝CD，AB∥CD，∠DAB＝∠BCD，
在△CBF和△ADE中，，
∴△CBF≌△ADE（ASA），
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即EB＝DF，
又∵AB∥CD，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵BD平分∠CDE，
∴∠CDB＝∠BDE，
又∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠DBA，
∴∠BDE＝∠DBA，
∴ED＝EB，
∴平行四边形DEBF是菱形．
19．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴?ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝4，
∴OB＝BD＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝1，
∴OA＝＝＝4，
∴OE＝OA＝4．
20．证明：（1）如图1所示：连接AC．
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°．
∴△ABC等边三角形．
∴E是BC的中点，
∴AE⊥BC．
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°．
∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°．
∴∠FEC＝∠CFE．
∴EC＝CF．
∵，
∴，
∴F是CD的中点；
（2）如图2所示：连接AC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°．
∴∠B＝∠ACF＝60°．
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD．
∴∠AEB＝∠AFC．
在△ABE和△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
∴AE＝AF．
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF═60°，
∵∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，
∴∠FEC＝20°．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）∵OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AF⊥FC，
∴∠AFC＝90°，
∴四边形AFCE是矩形，
∴AC＝EF，
∴OA＝OC＝OE＝OF＝AC．
22．（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：如图2中，
在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°；
（3）解：如图3中，作FH⊥AC于H．
∵∠ACB＝∠ECF＝30°，
∴∠BCE＝∠FCH，
∵CE＝CF，∠B＝∠FHC＝90°，
∴△BCE≌△HCF，
∴BE＝FH，
在Rt△AFH中，∵∠FAH＝30°，
∴FH＝AF，
∴AE+AF＝AE+FH＝AE+BE＝AB，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC＝2，
∴AE+AF＝2，
∴2AE+AF＝4，
∴AF＝4﹣2AE，
∴DF＝AD﹣AF＝2﹣（4﹣2AE），
∴2AE﹣FD＝4﹣2．
23．解：（1）如图1，过点A作AH⊥BD于点H，
∴∠AHB＝90°．
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，
∴，
∵∠DAB＝75°，
∴∠BAH＝∠BAD﹣∠DAH＝75°﹣30°＝45°，
∴．
（2）如图2，在DC上取DG＝CN，连接CE，EG．
∵点F是BE的中点，且CF⊥BE，
∴CE＝CB，∠ECF＝∠BCF．
∵△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∴DE＝CE，
∴∠EDC＝∠ECD．
在△DEG和△CEN中，
，
∴△CEN≌△DEG（SAS），
∴EG＝EN．
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°．
∵∠ADE＝60°，
∴∠EDC+∠BCD＝120°．
∵∠ECF＝∠BCF，∠EDC＝∠ECD，
∴∠FCD＝60°．
∵CF∥MN，
∴∠DNE＝∠DCF＝60°，
∴△ENG是等边三角形，
∴NG＝EN，
∴DN＝NE+CN．