人教高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件(共35张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定 课件(共35张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-09 06:36:50 | ||
图片预览
文档简介
(共35张PPT)
2.3.1直线与平面垂直的判定
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
实例引入
旗杆与底面垂直
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所
示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，
将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.
思考3
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直.
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的直线与桌面垂直
垂足
直线与平面垂直
对定义的认识
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③?
等价于对任意的直线
，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
直线与平面垂直
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
直线与平面垂直判定定理
简记为：线线垂直
线面垂直
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
V
A
B
C
练习：
提示：找AC中点D,连接VD,BD
如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证:
VB⊥AC.
中
外
垂
线面垂直判定定理的应用
例
1：已知：如图
，空间四边形
ABCD
中，
DB＝DC，取
BC
中点
E，连接
AE、DE，
求证：BC⊥平面
AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E
为BC
中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
又∵AE
与DE
交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直
线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两
条相交直线垂直即可．
例2:如图，点P
是平行四边形ABCD
所在平面外一点，O
是对角线AC与BD的交点，且PA
=PC
,PB
=PD
.
求证：PO⊥平面ABCD
3.如图，圆O所在一平面为
，AB是圆O
的直径，C
在圆周上,
且PA
AC,
PA
AB,
求证：（1）PA
BC
（2）BC
平面PAC
证明：∵PA
⊥⊙O
所在平面，
BC?⊙O
所在平面，∴PA
⊥BC，
∵AB
为⊙O
直径，
∴AC⊥BC，
又
PA
∩AC＝A，
∴BC⊥平面
PAC，
又
AE?平面
PAC，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC,
PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面
PBC.
例
3：如图
6，已知
PA
⊥⊙O
所在平面，
AB
为⊙O
直径，C
是圆周上任一点，
过
A
作
AE⊥PC
于
E，求证：AE⊥平面
PBC.
1.
已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC
异面的体对角线.求证：AC⊥BD′
∵正方体ABCD-A′B′C′D′
∴DD′⊥正方形ABCD
证明：连接BD
∵AC、BD
为对角线∴AC⊥BD
∵DD′∩BD=D
∴AC⊥平面D′DB
且BD′?面D′DB
∴AC⊥BD′
一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足(A)，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．
斜线与斜线段
斜线在平面内的射影
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角
(或斜线和平面的夹角).
简称线面角
斜线和平面所成的角
斜线和平面所成的角
1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角
直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的角是0°
2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：
斜线与平面所成的角θ的取值范围是：
O
P
A
α
斜线PA
斜足A
线面所成角
（锐角∠PAO）
射影AO
关键：过斜线上一点作平面的垂线
线面所成的角
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2）
A1C1与面BB1D1D所成的角
（3）
A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A
D
C
B
典型例题
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角
O
例2：如图
4，在正方体
ABCD－A1B1C1D1
中，求
A1B
与平
面
A1B1CD
所成的角．
图
4
求直线和平面所成的角时，应注意的问题
是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，
常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②
证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角
形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．
图
5
2－1.如图
5，在长方体
ABCD－A1B1C1D1
中，
AB＝BC＝2，
AA1＝1，则
AC1
与平面
A1B1C1D1
所成角的正弦值为(
)
A
答案：D
图
22
1．直线与平面垂直的概念
（1）利用定义；
（2）利用判定定理．
3．数学思想方法：转化的思想
知识小结
2．直线与平面垂直的判定
垂直与平面内任意一条直线
（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面
4．直线与平面所成的角.
四.知识小结：
间接法
直接法
（1）
（2）数学思想方法：转化的思想
2.3.1直线与平面垂直的判定
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？
实例引入
旗杆与底面垂直
桥柱与水面的位置关系，给人以直线与平面垂直的形象.
思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位置关系.
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所
示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，
将翻折后的纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.
思考3
(1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直.
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的直线与桌面垂直
垂足
直线与平面垂直
对定义的认识
①“任何”表示所有.
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③?
等价于对任意的直线
，都有
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
直线与平面垂直
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
直线与平面垂直判定定理
简记为：线线垂直
线面垂直
“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
V
A
B
C
练习：
提示：找AC中点D,连接VD,BD
如图，在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证:
VB⊥AC.
中
外
垂
线面垂直判定定理的应用
例
1：已知：如图
，空间四边形
ABCD
中，
DB＝DC，取
BC
中点
E，连接
AE、DE，
求证：BC⊥平面
AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E
为BC
中点，
∴AE⊥BC，DE⊥BC.
又∵AE
与DE
交于E，∴BC⊥平面AED.
由判定定理可知要证明直
线垂直平面，只需证明直线与平面内的任意两
条相交直线垂直即可．
例2:如图，点P
是平行四边形ABCD
所在平面外一点，O
是对角线AC与BD的交点，且PA
=PC
,PB
=PD
.
求证：PO⊥平面ABCD
3.如图，圆O所在一平面为
，AB是圆O
的直径，C
在圆周上,
且PA
AC,
PA
AB,
求证：（1）PA
BC
（2）BC
平面PAC
证明：∵PA
⊥⊙O
所在平面，
BC?⊙O
所在平面，∴PA
⊥BC，
∵AB
为⊙O
直径，
∴AC⊥BC，
又
PA
∩AC＝A，
∴BC⊥平面
PAC，
又
AE?平面
PAC，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC,
PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面
PBC.
例
3：如图
6，已知
PA
⊥⊙O
所在平面，
AB
为⊙O
直径，C
是圆周上任一点，
过
A
作
AE⊥PC
于
E，求证：AE⊥平面
PBC.
1.
已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC
异面的体对角线.求证：AC⊥BD′
∵正方体ABCD-A′B′C′D′
∴DD′⊥正方形ABCD
证明：连接BD
∵AC、BD
为对角线∴AC⊥BD
∵DD′∩BD=D
∴AC⊥平面D′DB
且BD′?面D′DB
∴AC⊥BD′
一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足(A)，斜线上一点和斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段．
斜线与斜线段
斜线在平面内的射影
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角
(或斜线和平面的夹角).
简称线面角
斜线和平面所成的角
斜线和平面所成的角
1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角
直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的角是0°
2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：
斜线与平面所成的角θ的取值范围是：
O
P
A
α
斜线PA
斜足A
线面所成角
（锐角∠PAO）
射影AO
关键：过斜线上一点作平面的垂线
线面所成的角
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1与面ABCD所成的角
（2）
A1C1与面BB1D1D所成的角
（3）
A1C1与面BB1C1C所成的角
（4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A
D
C
B
典型例题
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角
O
例2：如图
4，在正方体
ABCD－A1B1C1D1
中，求
A1B
与平
面
A1B1CD
所成的角．
图
4
求直线和平面所成的角时，应注意的问题
是：(1)先判断直线和平面的位置关系．(2)当直线和平面斜交时，
常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成的角；②
证——论证所作或找到的角为所求的角；③算——常用解三角
形的方法求角；④结论——说明斜线和平面所成的角值．
图
5
2－1.如图
5，在长方体
ABCD－A1B1C1D1
中，
AB＝BC＝2，
AA1＝1，则
AC1
与平面
A1B1C1D1
所成角的正弦值为(
)
A
答案：D
图
22
1．直线与平面垂直的概念
（1）利用定义；
（2）利用判定定理．
3．数学思想方法：转化的思想
知识小结
2．直线与平面垂直的判定
垂直与平面内任意一条直线
（3）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面
4．直线与平面所成的角.
四.知识小结：
间接法
直接法
（1）
（2）数学思想方法：转化的思想