突破数列解答题的瓶颈
把握考点明确方向-
时间
2019
2018
2017
2016
2015
I卷
等差数列的通项与求
Ⅱ卷等差、等比的证|等差数列的通
新定义数列,数列
明,通项公式
项与求和
的通项与求和
Ⅲ卷
等比数列的通
证明等比数列,求
项与求和
通项与求和
导图助思快速切入
数列问题重在“归”——化归
错位相减法
倒序相加法
求和
基本量
裂项相消法
分组求和法
解(化归
等差(比数列
公式法
基本方法
求通项
待定系数
知识整合易错题示---
知识整合
1活用定理与结论
(1)等差、等比数列{an}的常用性质
差数列
④若m,n,p,q∈N,且m+n=p
①若m,n,p,q∈N",且m+n=p+q,
性则am+an=a+a
⑤an=amq"m;
③Sm,Sn-Sn,S3m-S2m,…,仍成等差数列
⑥Sn,Sm-Sn,S3n-S2m,…仍成
等比数列(Sm≠0)
(2)判断等差数列的常用方法
①定义法:an+1-an=d(常数)(n∈N)→{an}是等差数列
②通项公式法:an=pn+q(p,q为常数,n∈N)s{an}是等差数列;
③中项公式法:2an+1=an+an+2(n∈N)e→{an}是等差数列
④前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数,n∈N)e→{an}是等差数列
(3)判断等比数列的常用方法
①定义法
q(q是不为0的常数,n∈N)e→{an}是等比数列;
②通项公式法:an=cq"(c,q均是不为0的常数,n∈N')e→{an}是等比数列
③中项公式法:a+1=anam+2(ann+1an+240,n∈N){an}是等比数列
2数列求和的常用方法
(1)等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和
(2)形如{anbn}(其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列)的数列,利用错位相减法求和
(3通项公式形如an
an+b1amb,(其中a,b,b,c为常数)用裂项相消法求和
(4)通项公式形如an=(-1)y·n或an=a(-1)(其中a为常数,n∈N)等正负项交叉的数列求和一般用并项法
并项时应注意分n为奇数、偶数两种情况讨论
(5)分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成cn=an+bn形式的数列求和问题的方法,其中{an}与{bn}
是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列
(6)并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求S
易错提醒
1已知数列的前n项和求an,易忽视n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示作答时,应验证a1是否满足an=S
Sn1,若是,则an=Sn-Sn-1;否则
2易混淆几何平均数与等比中项,正数a,b的等比中项是+ab
3等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算如等差数列{an}与{bn}
的前n项和分别为S和Tn,已知S
求时,无法正确赋值求解.
4.易忽
数列中公比q0导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解.
5运用等比数列的前n项和公式时,易忘记分类讨论.一定分q=1和q两种情况进行讨论
6利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项.
7裂项相消法求和时,裂项前后的值要相等
而是
n
n+2
nn+2
nn+2
2nn+2
8.通项中含有(-1)y的数列求和时,要把结果写成n为奇数和n为偶数两种情况的分段形式
典例分析能力提升
(本题满分12分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn∈N),{bn}是首项为2的等
比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S1=11b4
典例
(1)求{an}和{bn}的通项公式
(2)求数列{a2nb2n-n}的前n项和(n∈N)
审题()要求{an}和{bn}的通项公式→需求{an的首项a1和公差a;{bn的首项b和公比突破圆锥曲线解答题的瓶颈
把握考点明确方向
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2015
Ⅰ卷直线方程,直线直线方程,直线直线与椭圆的直线与椭圆的位置直线与抛物线的位置
与抛物线的位置与椭圆的位置位置关系,椭圆关系,证明定值,轨关系,探索性问题
关系
关系
程定点问题
迹方程
I卷直线与椭圆的直线与抛物线直线与椭圆的直线与椭圆的位置直线与椭圆的位置关
位置关系,面积的位置关系,圆位置关系,轨迹关系,面积、范围问系,证明定值,探索性
最值
的方程
方程,定点问题
问题
Ⅲ卷直线与抛物线的直线与椭圆的直线与抛物线的直线与抛物线的位
位置关系,定点、位置关系,范围位置关系,直线置关系,轨迹方程
面积问题
定值问题
与圆的方程
导图助思快速切入
思维流程]圆锥曲线问题重在“设”与“算
⊥偷数幻
女而
梁斗普通方
推方科
参数方科
求曲线方积
回归定义
求最值
〔借助平而向量)等式(不等式)
算川图形性顾
整体代人
个理换元
知识整合易错题示
知识整合
1直线与圆锥曲线的位置关系
判断方法:通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.
弦长公式:MAB=1+k2x-x2,
或B=1+n-y2
2解决范围、最值问题的常用方法
(1)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后,数形结合求解.
(2)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解
(3)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域.
3定点问题的思路
(1)动直线l过定点问题,解法:设动直线方程(斜率存在)为y=kx+t,由题设条件将t用k表
示为t=mk,得y=k(x+m),故动直线过定点(-m,0
(2)动曲线C过定点问题,解法:引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立
令其系数等于零,得出定点
4求解定值问题的两大途径
1)由特例得出一个值(此值一般就是定值)→
证明定值:将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关
(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示,再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正
负项抵消或分子、分母约分得定值
5解决存在性问题的解题步骤
第一步:先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)不等式(组)
第二步:解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在,若无解则不存在
第三步:得出结论
易错提醒
漏洞陷阱早知道
1不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系,导致由斜率的取值范围确定
倾斜角的范围时出错.
2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件,如根据直线在两轴上的截距相等设方程时,忽视截
距为0的情况,直接设为+y=1:再如,过定点P(x0,y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况
直接设为y-y=k(x-x0)等
3.讨论两条直线的位置关系时,易忽视系数等于零时的讨论导致漏解,如两条直线垂直时,
条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0
4.在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,要注意有可能这两条直线重合;在立体几何中
提到的两条直线,一般可理解为它们不重合
5求解两条平行线之间的距离时,易忽视两直线系数不相等,而直接代入公式
导致
/A2+B
错解.
6在圆的标准方程中,误把产2当成r:在圆的一般方程中,忽视方程表示圆的条件
7.易误认两圆相切为两圆外切,忽视两圆内切的情况导致漏解.突破立体几何解答题的瓶颈
把握考点明确方向
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2018
2015
卷线面平行的判线面垂直的判面面垂直的判面面垂直的判定;二面面垂直的判定;异面
定;二面角
定:线面角
定;二面角
面角
直线所成的角
Ⅱ卷线面垂直的判线面垂直的判线面平行的判线面垂直的判定:二线面平行的性质:线面
定;二面角
定:二面角定;线面角,二
面角
角
面角
Ⅲ卷面面垂直的判面面垂直的判面面垂直的判线面平行的判定:线
定:二面角
定:二面角
定:二面角
面角
-导图助思快速切入
[思维流程]—一立体几何问题重在“建”一一建模、建系
平行模型,垂市模型,平面化楨型
度计算模型距离计算模型
建
空间直角坐标系)空问向量公式处理
建系
知识整合易错题示
知识整合
1.柱、锥、台、球体的表面积和体积
侧面展开图
表面积
体积
直棱柱
长方形
S=2Sg+S
V=S
gh
长方形
S=2π2+2πr
棱锥由若干个三角形构成
S=S底+S
园锥
扇形
S=Tr+rl
棱台由若干个梯形构成
S=S上底+S下+S
v=H(S+sS'+S')
h
圆台
扇环
S=r′2+(r+r’)+x2
π(r2+r′+r’2)h
球
S=4Tr
2平行、垂直关系的转化示意图
面面平行的判定
平行的性质平
平行的性质平
而而行的性质
而而垂
定「线面而前垂直的判定
性质些直而而重的性质
平直的性质
(2)两个结论
a∥/b
∥b;②
→b⊥
b⊥a
a⊥a
3用向量求空间角
(1)直线l,l2的夹角确满足cosO=cos(,b2)(其中h,b分别是直线l,l2的方向向量)
(2)直线l与平面a的夹角满足sinO=cos(l,n)(其中l是直线l的方向向量,n是平面a的法向量)
(3)平面a,的夹角满足cos=cosn,n2),则二面角a-1平面角为或π-(其中n,n2分别是平
面a,的法向量)
易错提醒
易错提醒
漏洞陷阱早知道
1混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面a内”的数学符号关系,应表示为A∈a,aCa
2在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为
实线,不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主
3易混淆几何体的表面积与侧面积的区别,几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和,不能漏
掉几何体的底面积:求锥体体积时,易漏掉体积公式中的系数
4不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理,忽视判定定理和性质定理中的条件,导致判断
出错如由a⊥B,a∩B=l,m⊥1,易误得出m⊥β的结论,就是因为忽视面面垂直的性质定理中mCa的限制
条件
5注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形,弄清楚变与不变的元素后,再立
足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置关系与数量关系
6几种角的范围
两条异面直线所成的角:0
直线与平面所成的角:0°≤a≤90°;
二面角:09≤a≤180
7用空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系,如求解二面角时,不能根据几何体判断二面角突破概率与统计解答题的瓶颈
把握考点明确方向-
时间
016
2015
卷随机变量的分布根据二项分布对立事件的概柱状图,随机变量的散点图,回归方程
列,与等比数列求事件的概率,率,数学期望,分布列,数学期望
结合讨论方案合随机变量的数正态分布,独立
理性
学期望及意义
性检验
Ⅱ卷畚随机变量的概回归直线方程相互独立事件的随机事件的概率,条茎叶图,相互独立事件
率,独立事件
概率,独立性检件概率,随机变量的
的概率
互斥事件的概率
验,直方图,中分布列与数学期望
位数
Ⅲ卷频率分布直方茎叶图,独立性随机变量的分布线性回归方程,相关
图,平均数
检验
列,数学期望
性检验
导图助思快速切入一
「思维流程]—概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型
分析
「件
一关系
独立事件
条件概卒
古典概型
一几何概型
知识整合易错题
二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n
(3)序字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数
由零逐项增1直到n
(4)二项式的系数从C,C,一直到C-1,C
式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C畀=CHm
(2)增减性与最大值:二项式系数C,当k”十时,二项式系数是递增的:当kn十时,二项式系数是递减
当n是偶数时,那么其展开式中间一项T的二项式系数最大
n是奇数时,那么其展开式中间两项Tn1和T1,的二项式系数相等且最大
(3)各二项式系数的和
(a+by的展开式的各个二项式系数的和等于2
即C9+CH+C+…+C+…+C=2n
二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即Cn+C+C+…=C9+C+C
3统计中四个数据特征
(1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据
(2)中位数:在样本数据中,将数据按从大到小(或从小到大)排列,位于最中间的数据如果数据的个数为偶
数,就取中间两个数据的平均数作为中位数
(3)平均数:样本数据的算术平均数,
即
(4)方差与标准差
方差:s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn-x)2]
标准差
s=1-(x1-x)2+(2-x)2+…+(x-x)
4离散型随机变量
(1)离散型随机变量的分布列的两个性质
①p≥0i=1,2,…,n);②p+p2+…+pn=1
(2)期望公式
E()=xp1+xp2+…+xnpn
(3)期望的性质
①E(aX+b)=gE(X+b
②若X~B(n,p),则E(X=;
③若X服从两点分布,则E()=
(4)方差公式
DO=[x1-E(Xp1+(2-E(X]2p2+…+xn-ECX)pn,标准差为DO
(5)方差的性质
①D(aX+b)=a2D(X突破导数解答题的瓶颈
把握考点明确方向
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2015
1卷利用导数研究函利用导数研究利用导数研究函利用导数研究函数导数的几何意义,利用
数的极值点,函函数的单调性,数的单调性,函的单调性,函数零导数研究函数的最值
数零点
极值点,证明不
数零点
点,证明不等式
函数零点
等式
I卷导数的几何意利用导数研究利用导数研究函利用导数研究函数利用导数研究函数的
义,利用导数研函数的单调性,数的单调性,恒的单调性,证明不等单调性,恒成立问题
究函数的单调函数零点,证明成立问题
式,最值问题。
性,函数零点
不等式
Ⅲ卷利用导数研究函利用导数研究利用导数研究函利用导数研究函数
数的单调性,最函数的极值,证数的单调性,恒的极值,最值
值
明不等式
成立问题
导图助思快速切入
思维流程]—函数与导数问题重在“转”与“分”
一方解的问题
不等式的问题
土与次的转化
网敬分离
量分离
与反的转化
逻辑分解
分解一过程分解
分类
标准明确
知识整合易错题示
知识整合
导数的几何意义
(1)(xo)的几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,(x)处的切线的斜率,该切线的方程为y-(xo)=f(xo)(x-xo)
(2)切点的两大特征:①在曲线y=fx)上;②在切线上
2利用导数研究函数的单调性
(1)求可导函数单调区间的一般步骤
①求函数f(x)的定义域
②求导函数f(x)
③由∫(x)>∞0的解集确定函数fx)的单调增区间,由∫(x)<0的解集确定函数fx)的单调减区间.
(2)由函数的单调性求参数的取值范围
①若可导函数fx)在区间M上单调递增,则∫(x)≥0(∈M恒成立;若可导函数f(x)在区间M上单调递减
则f(x)≤0(x∈M恒成立;
②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,f(x)>0(或∫(x)<0)在该区间上存在解集
③若已知f(x)在区间I上的单调性,区间/中含有参数时,可先求出fx)的单调区间,则/是其单调区间的子
集
3.利用导数研究函数的极值与最值
(1)求函数的极值的一般步骤
①确定函数的定义域
②解方程∫(x)=0
③判断f(x)在方程∫(x)=0的根x附近两侧的符号变化:
若左正右负,则xo为极大值点
若左负右正,则x为极小值点
若不变号,则x0不是极值点
(2)求函数f(x)在区间a,b]上的最值的一般步骤
①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
②比较函数y=fx)的各极值与端点处的函数值f(a),fb)的大小,最大的一个是最大值,最小的一个是最小
易错提醒
漏洞陷阱早知道
1.解决函数问题时要注意函数的定义域,要树立定义域优先原则
2.解决分段函数问题时,要注意与解析式对应的自变量的取值范围.
3求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接,可用“和”连接或用“,”隔开
单调区间必须是“区间”,而不能用集合或不等式代替.
4.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使定义域
不受影响
5准确理解基本初等函数的定义和性质如函数y=a(a>0,a≠1)的单调性容易忽视对a的取值进行讨论,忽
视a2>0;对数函数y=
Logan(a>0,a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件
6.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点,不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确
互化
7已知可导函数fx)在(a,b)上单调递增(减),则f(x)≥0(≤0)对x∈(a,b)恒成立,不能漏掉“=”,且
需验证“=”不能恒成立;已知可导函数fx)的单调递增(减)区间为(a,b),则∫(x)>0(<0)的解集为(a,b)
8f(x)=0的解不一定是函数f(x)的极值点一定要检验在x=x0的两侧∫(x)的符号是否发生变化,若变化
则为极值点;若不变化,则不是极值点
典例分析能力提升
典例(本题满分12分)已知函数f(x)=
e
cos
x-x突破三角函数解答题的瓶颈
把握考点明确方向-
时间
201920820172016
2015
I卷正弦定理、余弦「正弦定理、余弦正弦定理、余弦正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理
定理
定理
定理
Ⅱ卷
正弦定理、余弦
正弦定理、余弦定理
弦定理,三角
余弦定理解三角
函数及三角形面
积
导图助思快速切入
[思维流程]—三角函数问题重在“变”—变角、变式
两角问的和、差、倍、半变换
统一角
变角)三角形内角和定埋的变换
换元
式
三们函数
三角形屮、余弦定埋
知识整合
1.辅助角公式
acos
x+bsin
x=va2+b2.
coSx+
sIn
a2+b2
bsinr=va2+bsin(x+0)
其中0为辅助角,tan.0=2
2正弦定理及其变形
2R(2R为△ABC外接圆的直径)
sin
a
sin
b
sin
c
Rsin
a,
b=2Rsin
B,
c=2Rsin
C
a:b:
c=sin
a:
sin
b:
sin
c
3.余弦定理及其推论、变形
a2=b2+c2-2bccos
4,
b2=
2accos
b,
c2=a2+b2-2abcos
C
推论:cosA=b2+c-a,
CoS
B-a2
a2+b2-c2
WE:
b2+c2--a2=2bCcos
A,
a2+c2-b2=2accos
B,
a2+b2-c2=2abcos
C
易错提醒
漏洞陷阱早知道
1利用同角三角函数的平方关系式求值时,不要忽视角的范围,要先判断函数值的符号
2在求三角函数的值域(或最值)时,不要忽略x的取值范围
3求函数f(x)=Asin(ox+g)的单调区间时,要注意A与o的符号,当o<0时,需把o的符号化为正值后求解
4三角函数图象变换中,注意由y=
-SIn
wx的图象变换得到y=sin(ox+g)的图象时,平移量为lol,而不
是
5在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时,要注意检验解是否满足“大边对大角”,避免增解.
--)典例分析能力提升
(本题满分12分)本题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知
典例|△48C的面积为2
(1)求
sin
Bsin
C:
(2)若6
cos
Bcos
c=1,a3,求△ABC的周长
正弦定理
审题
路线
求
cos
Bcos
c-
sin
Bein
Cl→求e(B1C→求B1C和A
由》+-=2ms,求b+求周区
标准答案
6分
6分
(1)由题设得
-actin
B=a2
第(1)问踩点得分说明
3sn4,①
①写出
acTIn
B=a2
2分,如果没
有记0分
由正弦定理得
3i变式.③
sin
a
②正确变形,得出_
csin
B