题三含参数函数不等式恒成立问题
专题三含参数函数不等式恒成立问题
不等式问题是数学中的重要内容之一,而含参数函数不等式恒成立问题又是重点中的难
点.这类问题既含参数又含变量,与多个知识有效交汇,有利于考查学生的综合解题能力,
检验学生思维的灵活性与创造性,这正符合高考强调能力立意,强调数学思想与方法的命题
思想,因此恒成立问题成为近年来全国各地高考数学试题的一个热点
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处理含参数函数不等式(一个未知数)恒成立问题,从方法上,可考虑分离参数法或猜
想+最值法(必要条件法).如果使用分离参数法,则猜想是没有作用的,对于难一点的分离
参数法,可能要使用多次求导或洛必达法则.如果使用猜想法,则后续有3种可能:一是猜
想没有任何作用;二是利用猜想减少分类讨论;三是在猜想的基础上强化,从而得到答粲.从
改造的形式上,解答题优先选择一平一曲,可利用分离参数法转化为一平一曲两个函数,也
可以把函数化归为一边,考虑函数的图象与x轴的交点情况(本质上也是
洛必达法则
如果当x→x(x0也可以是±∞)时,两个函数∫(x)和g(x)都趋向于零或都趋向于无
穷大,那么极限lm可能存在,也可能不存在,如果存在,其极限值也不尽相同.我们
称这类极限为一型或一型不定式极限.对于这类极限,一般要用洛必达法则来求
定理1:若函数f(x)和g(x)满足条件
(1)
limf(x)=lim
g(x)=0
(2)f(x)和g(x)在x的某个去心邻域内可导,且g'(x)≠0
(3)
lim
f(x)
存在或为无穷大
则有mf(x)=m(x)
g(x)x→g(x)
定理2:若函数f(x)和g(x)满足条件
(1)limf(x)=lim
g(r)=
题三含参数函数不等式恒成立问题
(2)f(x)和g(x)在x的某个去心邻域内可导,且g'(x)≠0
(3)
存在或为无穷大
g(r)
则有lm(2=mnf(x)
→g(x)xg'(x)
在定理1和定理2中,将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则
使用洛必达法则时需要注意
(1)
lim
必须是一型或一型不定式极限
(2)若iy"(x)还是型或一型不定式极限,且函数f(x)和g(x)仍满足定理中f(x)
和g()所满足的条件,则可继续使用洛必达法则,即m()=m/(a=mC
x+g(x)xg(x)xg"(x)
(3)若无法判定的极限状态,或能判定它的极限振荡而不存在,则洛必达法则失
效,此时,需要用其它方法计算m(x)
(4)可以把定理中的x→x换为x→x,x→x,x→+0,x→-∞,此时只要把定
理中的条件作相应的修改,定理仍然成立
例
已知函数f(x)=lnx-kx+k(k∈R)
(1)求f(x)在[,2]上的最小值
(2)若,≥a对x∈(-1)恒成立,求正数a的最大值
【解析】(1)定义域为(0.+x),f(x)=1k=-x
Ax+1
①当k≤0时,f(x)>0,函数f(x)在[12]为增函数,所以[f(x)]。=f(1)=0题七圆锥曲线中的最值与范围
专题七圆锥曲线中的最值与范围
以能力立意命题”是考试大纲总的要求,也是高考命题总的方向.对学生能力的考察
离不开思想方法的考察,在圆锥曲线的背景下讨论最值或范围问题,能系统的将函数与方程
的思想、数形结合思想等多种数学思想结合在一起,更利于综合考察学生的能力
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圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有以下3种方
方法1:几何法.若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用曲线的定
义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解
方法2:代数法.把所求的量表示为某个(某些)参数的函数解析式,然后利用函数方法、
不等式方法等进行求解.对于大多数题目来说,主要是选择一个参数去表示所求的量,从而
把问题转化为求函数的值域问题.由于引进的参数往往不只一个,所以解题时通常涉及到消
参问题.如果用两个参数去表示所求的量(不能通过消参留下一个未知数),则往往考虑使用
均值不等式
方法3:不等式(组)法,由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式(组),通过该不
等式(组)的求解得到所求量的最值或取值范围
上述三种方法中,方法1主要在小题中体现,解答题中以方法2最为常见
例1
已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1)
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A、B两点,若直线
AO、BO分别交直线l:y=x-2于M、N两点,求MN
的最小值
【解析】(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则P=1,即p=2,所
以抛物线C的方程为x2=4y
(2)设A(,),B(x,y2),直线AB的方程为y=k+1.由=k+1,消去y,可
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题七圆锥曲线中的最值与范围
得x-4(4=0,从而x+一“,=4,一=4的+1,的
x1,解得点
8
M的横坐标为XMx1-y1x4
同理可得点N的横坐标为x4-x2
由弦长
公式可得MN=1+P-x,=2
xx2-4(x+x2)+16
(2+1)
k
于是
其中k≠3
4k-3)
法1:令4k-3=1,则t≠0,所以k
8(2+6+25)
所以|MN
251+61+1,令n=,则n≠0,|MNF2=8(25n2+6m+1),当,3,即1=3
时,MN有最小值,所以MN有最小值
法2:|MNF
令24k+7=t,则t≠25,所以k
所以MN=8+
288t
-504+63°当1≠0时,MN=8+62550
t取负数时,有
625
≤-50,所以M/≥128
于是当1=-25,即k=4,M有最小值。,所以MN
有最小值82
【点评】利用代数法求最值或范围问题,其难点在于选用一个(或两个)参数去表示目
标函数.我们常常可以从直线的斜率、截距、点的坐标等角度引进参数,然后根据题目所给
的条件消去参数,直至剩下一个参数或两个参数(以一个参数的情况占绝大多数).本题总共
引进了7个参数:k、x、y、x2、、x和x,最终是用参数k表示MN,而其余的6
参数只是中间过渡的量,要注意体会如何利用“设而不求”的思想消去这6个中间过渡的
参数
MN的表达式有两个特点:一是分式,二是分子和分母的最高次数一致.求这种特点的
函数最值的常见方法有两种,一是将分子或分母看成一个整体,最多经历两次换元得到一个
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络,侵删)题八圆雏曲线中的“定”问题
专题八圆锥曲线中的“定”问题
近些年,关于圆锥曲线的命题,不管是高考真题还是高考模拟题,都不约而同地大量涌
现出一类“定”问题,即定值、定点以及定直线问题,考生遇见这样的问题都因不得要领
从而内心感到惧怕,但因为这类题在解答之前并不知道其定值、定点之结果,更增添了它的
难度,有着很好的区分度,于是这一类题就成为了命题者们青睐的考题,相信在今年或往后
的高考中会成为一种趋势
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圆锥曲线中的“定”问题常有以下3类题型
题型1:定值问题——解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积
角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不依参数
的变化而变化,而始终是一个确定的值
定值问题的解法:选好参数,求出题目所需的代数表达式,然后对表达式进行直接推理
计算,并在推理计算的过程中消去变量,从而得到定值.这种方法可简记为:一选(选好参
变量)、二求(对运算能力要求颇高)、三定值(确定定值
题型2:定点问题一一解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线(中
的参数)如何变化,直线和曲线都经过某一个定点
定点问题的两种解法:一是从特殊入手,求出定点,再
般性的证明.二是把直线
或曲线方程中的变量x、y当作常数看待,把相关的参数整理在一起,同时方程一端化为零.既
然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样
就得到一个关于x、y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点
题型3:定直线问题一—对于求证某个点不管如何变化,始终在某条直线上的题目,其本
质就是求动点的轨迹方程
例1
椭圆有两顶点4(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(01)的斜
率为k的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P
直线AC与直线BD交于点Q
(1)当CD=时,求直线l的方程
专题八圆锥曲线中的“定”问题
(2)当点P异于A、B两点时,求证:OPOQ为定值
【解析】(1)由已知可得椭圆方程为+x2=1,设/的方程为y-1=kx,则由
y=kx+I
,消去y可得(2+k2)x2+2kx-1=0·设C(x,n),D(x,y2),则
D=+k-y2)+4(2+22(+k)
2+k
2,解得k2=2,所以
k=±√2,所以直线方程为y=±√2x+1
【证明】(2)设l的方程为y-1=kx(k≠0且k≠±1),则点P的坐标为-,0.直线
BD的方程为y=1,(x-1),直线C的方程为y=2,(x+1),联立两条直线方程,可得
(x1+x2)+2kxx2+k(x-x2
点Q的横坐标为x=++y2k(+x2)(x1-x2)+2,由(1)可知
2+k2’xx2
2+h2代入上式,可得
b=一2,2+k(x-x)一,+k+k(x-2)
k.于是
2+k2-(x-42)
OP
oQ=xpro+pyo=I
【点评】从直线的斜率和点这两个角度,共引入了5个参数:k
x、1、x2、y2,
这5个参数将点P和点Q的坐标表示出来(因为点P的纵坐标为0,所以可以不求点Q的纵
坐标),然后进行消参,最后求出OP·OQ的定值
尽管题目是要求点P异于A、B两点,但是我们可以大胆假设点P和点B重合,此时点Q
就是点P,从而我们可以猜出OP·OQ的定值为1.猜出定值,能使定值问题有清晰明确的方
向,也能在做不出题目的时候实现抢分最大化专题五利用导数证明函数不等式(二)
专题五利用导数证明函数不等式(二
本专题总结了利用导数证明含有两个未知数的函数不等式的常见方法,希望同学们看后
有所收获,提升利用导数证明函数不等式的能力
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对于两个未知数的函数不等式问题,其关键在于将两个未知数化归为一个未知数,常见
的证明方法有以下4种
方法1:利用换元法,化归为一个未知数
方法2:利用未知数之间的关系消元,化归为一个未知数
方法3:分离未知数后构造函数,利用函数的单调性证明
方法4:利用主元法,构造函数证明
对数平均值不等式链
我们将两个正数a和b的对数平均值定义为:L(a,b)={加a-bb≠b对数平均值不
等式链为
1s√0b5(b+b回2+b
对数平均值不等式链的指数形式为:-2
≤e2≤
其中
例1
已知函数f(x)=-x+alnx
(1)讨论f(x)的单调性:(免费资料公众号学未已)
(2)若f(x)存在两个极值点x,x2,证明
f(x)-f(x2)
【解析】(1)定义域为(0+∞),r(x)=-1-1+2=-x-ax+
①若a≤0,则f(x)<0,f(x)在(O,+∞)上递减
专题五利用导数证明函数不等式(二)
②若△=a2-4≤0,即0
③若△=a2-4>0,即a>2时,由f(x)>0,可得
a2-
f(x)<0,可得0“V-4
所以f(x)在0
+∞上递减,
a-√a2-4a+a2-4\上递增
综上所述,当52时,(x)在(0+x)上递减:当a>2时,f(以B/-a2-4
+∞上递减,
2-4a+v
2
2
【证明】(2)法1:由(1)知,f(x)存在两个极值点,则a>2.因为x,x2是f(x)的
两个极值点,所以x,x满足x2-ax+1=0,所以x+x2=a,xx2=1,不妨设0a
In
f(x,)-f(x)x
二-(x-x)+a(hx=hx)
a(In
于是
f)-/(x5)a-2-2+(
Inx
-Inx
2nx21
2lnx+1-x2<0.构造函数g()=2hx+1-x,x>1,由(1)知,g(x)在(1+x)上递
减,所以g(x)法2:由(1)知,f(x)存在两个极值点,则a>2·因为x,x2是f(x)的两个极值点
所以x,x2满足x2-ax+1=0,不妨设0近年来,在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题.探究性问题是一种开放性问
题,是指命题中缺少一定条件或无明确结论,需要经过猜测、归纳并加以证明的题型.圆锥
曲线的考题主要是结论探究的开放性问题,有探究位置关系的,有探究点是否存在直线是否
存在圆是否存在的,有探究圆是否过定点直线是否过定点的,等等,有结论存在和结论不存
在两种情形.这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时,能很好地考查学生的运
算求解、推理论证等数学能力,对学生的综合能力要求较高
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圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略有2种:一是先假设存在或结论成立,然后引
进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系,若能求出相应的量,则表示存在或结
论成立,否则表示不存在或结论不成立;另一种方法是在假设存在或结论成立的前提下,利
用特殊情况作出猜想,然后加以验证
例1
椭圆E:a+b2=1(a>b>0)的左焦点为F,右焦点为F2,离心率c≈1.过F的
直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8
1)求椭圆E的方程;
(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点
Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求
出点M的坐标;若不存在,说明理由
解析】(1)因为AB+4F|+1BF2=8,即4F|+|BF|+F1|+BF|=8,而
AF|+145|=|BF|+|BF1|=2,所以4a=8,a=2.又因为e=二=,所以c=1,
b2=a2-c2=3,所以椭圆E的方程为x+2=1
(2)法1:假设平面内存在定点M满足条件,由对称性可知点M必在x轴上,设M(10)
消去y可得(42+-3)x2+80mx+4m2-12=0,因为直线/与椭圆有且只
有一个公共点,所以△=644m2-444+3(4m2-12)=0,即4k2-m2+3=0.设P(xnn),
则x0=-4k2+3
yo=kx+m
所以
4431.联立y=kx+m,可得
Q(4,4k+m)
因为MP=4k,3
MQ=(4-1,4k+m),由MPMQ=0可得
/(4-)+(4k+m)=0,整理可得(4-少k+-4+3=0,由(4=4=0解
t2-4+3=0
得t=1,所以存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M
法2:假设平面内存在定点M满足条件,由对称性可知点M必在x轴上.若直线l为
y=√3,则P(3),Q(4√3),以PQ为直径的圆为x(x-4)+(y-5y-√5)=0,与x
轴交于点M1(1,0)和M2(3,0).下面进行验证
由{x2y2,消去y可得(4k2+3)x2+8mx+m212=0,因为直线/与椭圆有且只
有一个公共点,所以△=64km2-4(4k2+3)4m2-12)=0,即4k2-m2+3=0.设P(xn,)
4km
=kx+m
则
所以P
可得
Q(4,4k+m)
因为MP=/4m/0+m),所以34k_1+32(4k+m)=0.因为
4k
4k
M,P
33),MQ=(.4+m),所以1
m(44+m)2≠0
综上所述,存在定点M(0),使得以PQ为直径的圆恒过点M
【点评】由对称性得到:如果存在定点M,则M一定在x轴上,由此可减少未知数的引
入,降低题目的难度,法2是根据对称性和选取特殊情况P(0√3,求出具体的圆与x轴的交
点:M1(1,0)和M2(3,0),此时只需对这两个点进行检验,如果有满足条件的,则表示点M存
在,如果都不满足,则表示点M不存在专题六圆锥曲线中的轨迹问题
专题六圆锥曲线中的轨迹问题
轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的,这个轨迹条件一旦用动点坐标的
数学表达式表示出来,轨迹方程就产生了.根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程,这是
高考的常考点:一方面,求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方
程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质;另一方面,求轨迹方程培养了学生数形结合的思
想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想
模块1整理方法提升能力
曲线轨迹方程的探求有两种题型
种题型是曲线类型已知,该题型常用的方法是找
条件或用待定系数法,难度不大;第二种题型是曲线类型未知,该题型常用的方法有以下3种
1.定义法:如果所给的几何条件能够符合一些常见定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线
等曲线的定义),则可从定义出发直接写出轨迹方程,这种方法叫做定义法
2.直接法:如果动点运动的条件有明显的等量关系,或者是一些几何量的等量关系,这
些条件简单明确,易于表达成含未知数x、y的等式,从而得到轨迹方程,这种方法叫做直接
法.(免费资料公众号学未已)
3.参数法:求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借
助中间变量(参数),使x、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的
轨迹方程,这种方法叫做参数法.一般来说,引进了N个未知数与参数,要得到未知数x与
之间的关系,需要找N-1个方程.常见的消参手法是:加、减、乘、除、平方、平方相加、
平方相减以及整体消参等.相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况
例1
已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A、B两点,线
段AB的中点为M,O为坐标原点
(1)求M的轨迹方程
(2)当OP|=M|时,求l的方程及△POM的面积
【解析】(1)法1(定义法):圆心C(0.4),由垂径定理可知CM⊥PM,于是点M在
以CP为直径的圆上,所以M的轨迹方程为x(x-2)+(y-4)y-2)=0,即
专题六圆锥曲线中的轨迹问题
法2(直接法):设M的坐标为(x,y),由CM⊥PM可得CM·PM=0.CM=(x,y-4),
PM=(x-2,y-2),于是x(x-2)+(y-4)(y-2)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2
法3(参数法):当l的斜率不存在时,其直线方程为x=2,于是y2-8y+4=0,所以点
M的坐标为(2,4)
当/的斜率存在时,设直线方程为y-2=k(x-2),M(,y),联立-2=k(x-2
消去
y可得(k2+)2-4(k2+k)x+(4k2+8-12)=0,于是x=2(k2+k)
将k
代入
消去参数k,可得x=
,整理可得(x-1)2+(y-3)2=2(x≠2)
综上所述,M的轨迹方程为(x-1)2+(y-3)=2
(2)法1:由OP|=OM可知点M在以原点为圆心,OP为半径的圆上·联立
2
解得
于是点M的坐标为(55)·于是直线/的方程为
y-2=-1(x-2),即x+3y-8=0.△POM的面积为
16
法2:由OP=0M可知点O在PM的垂直平分线上,而PM的垂直平分线过圆心(3)
所以直线1的斜率为-3,直线方程为y-2=3(x-2),即x+3y-8=0,因为p=2
点O到直线的距离为d=40,所以PM=2y0-=40,于是△POM的面积为
【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种:点在圆上,向量数量积为0,斜
率乘积为-1,勾股定理.用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程;用“向专题一含参数导数问题的分类讨论
导数是研究函数的图象和性质的重要工具,自从导数进入高中数学教材以来,有关导数
问题几乎是每年高考的必考试题之一.随着高考对导数考查的不断深入,含参数的导数问题
成为了历年高考命题的热点.由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论,
如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点
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在众多的含参数导数问题中,根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见
的题目之一,求函数的极值、最值等问题,最终也需要讨论函数单调性.对于含参数导数
题的单调性的分类讨论,常见的分类讨论点有以下三个
分类讨论点1:求导后,考虑f(x)=0是否有实根,从而引起分类讨论
分类讨论点2:求导后,f(x)=0有实根,但不清楚f(x)=0的实根是否落在定义域内,
从而引起分类讨论;
分类讨论点3:求导后,∫(x)=0有实根,f"(x)=0的实根也落在定义域内,但不清楚
这些实根的大小关系,从而引起分类讨
以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点,在求解有关含参数导数问
题的单调性时,可按上述三点的顺序对参数进行讨论.因此,对含参数的导数问题的分类讨
论,还是有一定的规律可循的.当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时
的讨论就会复杂一些了,也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理,减少分类
讨论,需要灵活把握.
例1
设a>0,讨论函数f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性
【解析】f(x)的定义域是(0,+∞).f(x)=+2a(1-a)x-2(1-a
2a(1-a)x2-2(1-a)x+1
令g(x)=2(1-a)x2-2(1-a)x+1,则f(x)=0的根的情况等价于g(x)=0的根的情
况,由于g(x)的函数类型不能确定,所以需要对a进行分类讨论从而确定函数的类型
(1)当a=1时,g(x)是常数函数,此时g(x)=1,f(x)=>0,于是f(x)在(0,+∞)
上递增
(2)当a≠1时,g(x)是二次函数,类型确定后,我们首先考虑讨论点1——f(x)=0是
否有实根的问题.由于g(x)不能因式分解,所以我们考虑其判别式△=4(a-1)(3a-1),判
别式的正负影响到g(x)=0的根的情况,由此可初步分为以下三种情况:①当△<0,即
当△>0,即01时,g(x)=0有两个不等的实根
对于第①种情况,g(x)=0没有实根且水远在x轴上方,于是f(x)>0,所以f(x)在
(0,+∞)上递增
对于第②种情况,g(x)=0有两个相等的实根x=3,于是f(x)20,所以(x)在(0+x)
上递增.
对于第种情况,g()=0有两个不等的实根1a-1)30-e
1√a-1)(30-1)
由于不知道两根是否落在定义域(0,+∞)内,因此要考虑讨论点2
而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法
因为x1+x2
x,x2
所以当00且xx2>0,此时
两个根都在定义域内切03).由∫(x)>0可得0xx2,所以f(x)在(0,x)和(x2,+∞)上递增:由f(x)<0
可得x当a>1时,有
0且x2<0,此时x2<00可得0
所以
f(x)在(0,x)上递增:由(x)<0可得x>x,所以f(x)在(x,+∞)上递减
综上所述,当0时,f(x)在(0,+)上递增:当a>1时,f(x)在(0x)上递增,在(x,+∞)上递减.其中
2a(1-a)题二函数零点问题
专题二函数零点问题
函数的零点作为函数、方程、图象的交汇点,充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰
富的数形结合思想.诸如方程的根的问题、存在性问题、交点问题等最终都可以转化为函数
零点问题进行处理,因此函数的零点问题成为了近年来高考新的生长点和热点,且形式逐渐
多样化,备受青睐
模块1整理方法提升能力
对于函数零点问题,其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点
对于两个函数的选择,有3种情况:一平一曲,一斜一曲,两曲(凸性一般要相反).其
中以一平一曲的情况最为常见
分离参数法是处理零点问题的常见方法,其本质是选择一平一曲两个函数;部分题目直
接考虑函数∫(x)的图象与x轴的交点情况,其本质是选择一平一曲两个函数:部分题目利用
零点存在性定理并结合函数的单调性处理零点,其本质是选择一平一曲两个函数
函数的凸性
下凸函数定义
设函数f(x)为定义在区间(a,b)上的函数,若对(a,b)上任意两点x,x2,总有
五+)(x)+/(x,当且仅当x=与时取等号,则称f(x)为(ab)上的下凸函数
2.上凸函数定义
设函数f(x)为定义在区间(ab)上的函数,若对(ab)上任意两点x,x,总有
x+x2)>(x)+f(x2),当且仅当x=x2时取等号,则称f(x)为(ab)上的上凸函数
下凸函数
上凸函数
3.下凸函数相关定理
题二函数零点问题
定理:设函数∫(x)为区间(a,b)上的可导函数,则f(x)为(a,b)上的下凸函数f(x)
为(a,b)上的递增函数f"(x)20且不在(a,b)的任一子区间上恒为零
4.上凸函数相关定理
定理:设函数f(x)为区间(a,b)上的可导函数,则f(x)为(a,b)上的上凸函数s→f(x)
为(ab)上的递减函数台f"(x)≤0且不在(a,b)的任一子区间上恒为零
→例1
已知函数∫(x)=ae2+(a-2)e-x
(1)讨论f(x)的单调性
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围
【解析】(1)f(x)=2c2+(a-2)e-1=(2e+1(ae-1),2c2+1>0
①当a≤0时,ae-1<0,所以f(x)<0,所以f(x)在R上递减
②当a>0时,由f(x)>0可得x>n-,由∫(x)<0可得x-,1n-上递减,在hn-,+∞上递增
(2)法1:①当a≤0时,由(1)可知,f(x)在R上递减,不可能有两个零点
②当a>0时,[(x)。=/h=1-+ma,令g(a)=[f(x)]。,则
g(a)=1+->0,所以g()在(0+x)上递增,而g()=0,所以当a21时,
g(a)=[f(x)]。≥0,从而f(x)没有两个零点
当00,于是f(x)在-1,ln上有1个
零点;因
n1|>0,且
n(3-1)>h1(2),所以()在(m2,+2)上有1个零点题四利用导数证明函数不等式(一)
专题四利用导数证明函数不等式(一
函数不等式的证明由于其形式多变,方法灵活,成为了近几年高考的一个热点与难点
它一般出现在压轴题的位置,解决起来比较困难.利用导数作为工具进行证明是证明函数不
等式的一种常见方法,本专题总结了利用导数证明一个未知数的函数不等式的常见方法,希
望同学们看后有所收获,提升利用导数证明函数不等式的能力
模块1整理方法提升能力
对于一个未知数的函数不等式问题,其关键在于将所给的不等式进行“改造”,得到一平
曲、两曲两种模式中的一种
当出现一平一曲时,只需运用导数求出“曲”的最值,将其与“平”进行比较即可
当出现两曲时,如果两个函数的凸性相同,则可以考虑通过曲线进行隔离.由于隔高曲
线的寻找难度较大,所以我们一般希望两个函数的凸性相反,当两个函数的凸性相反时,则
可以寻找直线(常选择公切线或切线)实现隔离放缩,当然最理想的直线状态是该直线与x轴
平行或重合
当改造的过程中出现一斜一曲时,一般要将其继续改造,要么将其化归到一边,转化为
平一曲,要么将其转化为两曲
Q常用不等式的生成
在不等式“改造”或证明的过程中,可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性
与e"、lnx有关的常用不等式等方法进行适当的放缩,再进行证明.下面着重谈谈与ex、lnx
有关的常用不等式的生成
生成一:利用曲线的切线进行放缩
设y=e上任一点P的横坐标为m,则过该点的切线方程为y-e"=e"(x-m),即
y=e"(x+1)-me",由此可得与e有关的不等式:e≥e"(x+1)-me",其中x∈R,m∈R
等号当且仅当x=m时成立,特别地,当m=0时,有ex≥1+x;当m=1时,有ex≥ex
设y=lnx上任一点Q的横坐标为n,则过该点的切线方程为y-ln=-(x-n),即
y=x-1+lnn,由此可得与lx有关的不等式:hnx≤-x-1+hnn,其中x>0,n>0,等
号当且仅当x=n时成立.特别地,当n=1时,有lnx≤x-1:当n=e时,有lnx≤-x
利用切线进行放缩,能实现以直代曲,化超越函数为一次函数
题四利用导数证明函数不等式(一)
生成二:利用曲线的相切曲线进行放缩
y
图2
y=lnx
x+1
图3
图4
由图1可得lnx≥
由图2可得lnx≥
由图3可得,ln
(x-1)
(0lnx≥
(x≥1);由图4可得,lnx≥x--|(0x+1
综合上述两种生成,我们可得到下列与e2、lnx有关的常用不等式:
与e有关的常用不等式:
(1)e≥1+x(x∈R);
(2)e≥ex(x∈R)
与1x有关的常用不等式
I-x(1)
≤lnx≤x-1(x>0)