高考数学二轮专题 平面向量数量积最值妙解——极化恒等式的应用 教案（PDF版）

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平面向量数量积的求解——极化恒等式学案
学习目标
通过对平面向量数量积的求值以及最值的分析,在本次课中,我们学习通过另一个重要的思路途径
解决有关平面向量的数量积的问题
二.前文回顾
1.平面向量数量积的概念
①平面向量数量积公式1
(1)如果两个向量的模与夹角已知,可利用如下公式进行数量积的求解
同网c.中同,分别表示a、b的概,O表示两个向量的头
(2)1cos的几何意义是指a在b方向上的投影
)02时,ab=c0
当=时,ab
6=0
当b∈(-,丌]时
cos
0<0
②平面向量数量积公式2
(1)如果两个向量的坐标已知,可利用如下公式进行数量积的求解
ab=x1x2+y1y2,其中a=(x1,y1)、b=(x2,y2)
(2)当xx2+yy2=0时,a·b=x1x2+y1y2=0
2.平面向量数量积与其他知识的综合
①平面向量数量积与三角函数公式的结合:此类题目常常是以平面向量的数量积作为载体工具,其
考察重点在于三角函数的和差公式以及倍角公式的应用
②平面向量数量积与解三角形(正余弦定理)的结合:
平面向量数量积余弦定理形式
AB
ACI-BCl
AB·AC=AB.AC·cosA=
平面向量数量积(三角形面积公式)形式
△ABC
AC
sin
A
AB.
AC=AB-AC
cos
A
故而S△ABC2
=-AB·AC·tan
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三.典例分析与性质总结
平面向量极化恒等式的解题灵魂在于如何将共起点的两个向量数量积转化为另外两个向量模的平方
基本原理
b+2a·b、(a-b)2=a+b-2ab
所以有ab=[(a+b)2-(a-b)]:
ABAC=E[(AB+
AC)2-(AB-4C)]
当D是AB的中点时,(AB+AC)=2AD、(AB-AC)=CB=2CD
可推得ABAC=AD
通过上述步骤,可以将两个相同起点的向量的数量积转化为两个向量的模的平方差。该公式称为极
化恒等式,用来解决向量数量积的求解以及最大最小值问题。
题型1:平面向量数量积的求解
通过构造两向量所形成的三角形的中线,结合极化恒等式进行求解
例1:在△ABC中,AD是△ABC的中线,AD=3,BC=10,则AB·AC
题型2:平面向量数量积的取值范围计算
我们以2017年全国高考试题进行说明,如何利用极化恒等式的模型求解平面向量数量积的最值
例2:
已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA(PB+PC)的最小值为
例3:(2018年天津高考理数8)在平面四边形ABCD中,AB⊥BC
AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1,若点E为边CD上的动
点,则AE·BE的最小值为()
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