第二讲 力的合成与分解力的合成与分解

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第二讲 力的合成与分解
力的合成与分解
合力 分力
力的合成
力的分解
余弦定理
平行四边形法则
三角形法则
解的讨论
正交分解法
效果法
1、矢量和标量
（1）在物理学中物理量有两种：一是矢量（既有大小，又有方向的物理量），如力、位移、加速度等； 　　 另一种是标量（只有大小，没有方向的物理量），如体积、路程、功、能等。
（2）矢量的合成均遵循平行四边形法则，而标量的运算则用代数加减。
（3）一直线上的矢量合成，可先规定正方向，与正方向相同的矢量方向均为正，与之相反则为负，然后 　　 进行加减。
要点·疑点
一、合力和分力
1.如果几个力同时作用时产生的作用效果与某一个力单独作用的效果相同，则这一个力就叫那几个力的合力，那几个力叫这一个力的分力.
2.合力和它的分力是力的效果上的一种等效替代关系.
要点·疑点
二、力的合成
（1）一个力如果产生的效果与几个力共同作用所产生的效果相同，这个力就叫做那几个的合力，而那几 　　 个力就叫做这个力的分力，求几个力的合力叫力的合成。
（2）力的合成遵循平行四边形法则，如求两个互成角度的共点力F1、F2的合力，可以把表示F1、F2的有向线段作为邻边，作一平行四边形，它的对角线即表示合力的大小和方向。
（3）共点的两个力F1、F2的合力F的大小，与两者的夹角有关，两个分力同向时合力最大，反向时合力最 　　 小，即合力的取值范围为|F1－F2|≤F≤|F1＋F2|
（4）合力可以大于等于两力中的任一个力，也可以小于任一个力。当两力大小一定时，合力随两力夹角 　　 的增大而减小，随两力夹角的减小而增大。
要点·疑点
要点·疑点
三、力的分解
1.力的分解：求一个力的分力的过程.
2.力的分解也要遵循平行四边形定则.
3.同一个力可以分解成无数多个大小、方向不同的分力，但一般情况下，应根据力的作用效果进行分解才有实际意义.
要点·疑点
四、力的正交分解
当物体受到多个力（两下以上）的作用时，要求其合力，一般不便用平行四边形定则逐个合成，这时可将各个力沿两个相互垂直的方向进行正交分解，然后再分别沿这两个方向求出合力.正交分解是处理多个力作用下物体运动问题的基本方法.
矢量三角形定则分析力最小的规律
分别将表示两分力的有向线段首尾相连，则连接第一条线段的起点和第二条线段的有向线段即为两分力的合力。
（1）当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2的最小条件是：两个分力垂直，如图。最小的F2=Fsinα。
α
F
F1
F2
（2）当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2最小的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图最小的F2=F1sinα。
F
F2
F1
α
（3）当已知合力F的大小及一个分力F1的大小时，另一个分力F2最小的条件是：已知大小的分力F1与合 力F同方向。最小的F2=|F－F1|。
课 前 热 身
1.有两个力，一个大小是8N，另一个大小是12N，则合力的最大值等于20N，最小值是4N.
2.下面的判断正确的有(B)
A.分力的大小一定比合力的要小
B.分力可以比合力小，也可以比合力大，还可以与合力大小相等
C.力的合成、分解都要遵循平行四边形定则，且互为逆运算，两个已知力的合力是惟一确定的，故一个已知力的分力也是惟一确定的
D.两个大小一定的力的合力随两力之间夹角的增大而增大
课 前 热 身
3.物体受到两个方向相反的力的作用，F1=8N，F2=10N，当F2由10N逐渐减小到0的过程中，这两个力的合力的大小变化是（D）
A.逐渐变小
B.逐渐增大
C.先变大后变小
D.先变小后变大
能力·思维·方法
【例1】如图1-3-2所示，用一个轻质三角支架悬挂重物，已知AB杆所受的最大压力为2000N，AC绳所受最大拉力为1000N，∠a=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？
能力·思维·方法
【解析】悬绳上A端受到竖直向下的拉力F=G，在这个拉力作用下，它将压紧水平杆AB并拉紧绳索AC，所以应把拉力F沿AB、CA两方向分解，设两分力为F1、F2，画出的平行四边形如图1-3-3所示.
能力·思维·方法
由直角三角形知识可得
能力·思维·方法
因为AB、AC能承受的最大作用力之比为
当悬挂物重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，所以为了不使三角架断裂，计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据，即取F2=F2m=1000N，于是得悬挂物的重力应满足的条件为Gm≤F2sin30°=500N
能力·思维·方法
本例也可以对A点受力用共点平衡条件求解.
A点受三个力：悬挂物绳子拉力F=G，杆的推力FB，绳的拉力FC，根据共点力平衡条件，由Fcsina=G，Fccosa=FB，即得
能力·思维·方法
【例2】如图1-3-4，两细绳AO，BO悬挂重物G，在保持重物位置不动的前提下，转动OB绳，使OB绳与竖直方向夹角变大，直到OB绳水平，在移动中两绳受的拉力如何变化？
图1-3-4
能力·思维·方法
【解析】竖直绳对结点O的拉力F=G，根据F的作用效果，把F分解：沿AO绳斜向右下方拉绳AO的力T1和沿BO绳斜向左下方拉BO绳的力T2.本例变化过程的实质是：合力大小、方向都不变.一个分力T1方向不变；另一个分力T2的大小方向都在变.两分力间夹角逐渐增大，这两个分力如何变？我们还是通过作图发现问题.
能力·思维·方法
在图1-3-5中，画出几个可能的平行四边形，其中T1和T2，T′1和T′2，T″1和T″2分别表示OB不同方向时，两绳中拉力的大小及方向?为了全面反应该变化过程，可以选取两绳夹角分别为60°、90°、120°时的方向来作图，从图中不难看出：OA绳中拉力逐渐增大；而OB绳中拉力则先减小后增大，当OB与OA垂直时，该力最小.
图1-3-5
能力·思维·方法
【解题回顾】此类问题的讨论可分两种情况
（1）若两分力的合力对称分布，则θ增大，两分力都增大；
（2）若两分力的合力不对称分布，则θ增大，两分力就不一定都增大.这种情况有个特例：其中一个分力方向不变，另一个分力方向变，在θ由0°到180°增大过程中，方向不变的一个分力始终随θ增大而增大；方向变的另一个分力，先随θ的增大而减小，后随θ的增大而增大；当两分力互相垂直时，此分力取得极小值.
能力·思维·方法
【例3】刀、斧、凿、刨等切削工具的刃部叫做劈，劈的纵截面是一个三角形.如图1-3-6所示.使用劈的时候，在劈背上加力F，这个力产生两个效果，使劈的侧面挤压物体，把物体劈开.设劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度是d，劈的侧面的长度是L.可以证明：F1=F2=(L/d)F.从上式可知，F一定的时候，劈的两个侧面间的夹角越小，L/d就越大，F1和F2就越大.这说明了为什么越锋利的切削工具越容易劈开物体，试证明上式.
能力·思维·方法
能力·思维·方法
【解析】将力F沿与劈侧面垂直直的方向分解如图1-3-7，F1、F2的大小即为刀刃对侧面压力大小.由几何关系可得，△AOB与劈的纵截面三角形相似，则F/d=F1/L=F2/L，可证得F1=F2=(L/d)F.
能力·思维·方法
从上式可知，F一定的条件下，劈的两个侧面夹角越小，即L/d越大，F1、F2也就越大，也就是说，越锋利的切削工具，越容易劈开物体.
【例4】F1与F2合力方向竖直向下，若保持F1的大小和方向都不变，保持F2的大小不变，而将F2的方向在竖直平面内转过60°，合力的方向仍竖直向下，下列说法正确的是(AC)
A.F1一定大于F2 B.F1可能小于F2
C.F2的方向与水平方向成30°角
D.F1的方向和F2的方向成60°
能力·思维·方法
【解析】由平行四边形定则可知，F1、F2分别是平行四边形的两个邻边，对角线表示F1与F2的合力F.要保持F1的大小和方向都不变，也就是平行四边形的一条边不变，要保持合力方向仍竖直向下，就是保证平行四边形的对角线方向不变，而F2的大小不变，即平行四边形的另一边长度不变，方向改变60°，按上面的要求，画出这两个平行四边形，如1-3-8图，设F′2为F2改变方向后的力.
能力·思维·方法
因F2方向改变了60°，可得改变方向前后F2与水平方向夹角均为30°.由图可看出F1与F2夹角一定小于60°，F1一定大于F2，本题答案为A、C.
A．50 N
B.
C.
D.100N　
能力·思维·方法
例1、水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮 　　 后悬挂一质量m=10kg的重物，∠CBA=30°，如图所示，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10m/s2) （ ）
解析：
　　滑轮光滑，同一根绳张力处处相等，又因两个互成120°角的力大小相等，则合力与每一个分力等大。由于物体质量10kg，则绳对滑轮的压力为100N。
C
例2、某压榨机的结构示意图如图，其中B点为固定铰链。若在A铰链处作用一垂直于壁的力F，则由于力F的作 　　 用，使滑块C压紧物体D。设C与D光滑接触，杆的重力不计，压榨机的尺寸如图所示，求物体D所受压力大 　　 小是F的多少倍？（滑块C重力不计）
能力·思维·方法
力F的作用效果是对AB、AC两杆产生沿两杆方向的压力F1、F2，如图（甲）。力F1的作用效果是对C产生水平向左的推力和竖直向下的压力FN。将力F1沿水平方向和竖直方向分解，如图（乙），可得到C对D的压力FN′=FN。

由题图可看出

依图（甲）有：F1=F2=
依图（乙）有：FN′=F1sinα；
故可以得到：

可见，物体D所受的压力是F的5倍。
例3、如图所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上；试分析挡板AO与斜面间的倾角β为多大时，AO所 　　 受压力最小？
能力·思维·方法
解析：
　　虽然题目问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板所受力均为未知力，将无法得出结论。
　　以球作为研究对象。球所受重力G产生的效果有两个：对斜面产生的了压力F1，对挡板产生了压力F2。根据重力产生的效果将重力分解，如图所示。
当挡板与斜面的夹角β由图示位置变化时，F1大小改变，但方向不变，始终与斜面垂直；F2的大小、方向均改变（如图中画出的一系列虚线表示变化的F2），由图可看出，当F2与F1垂直即β=90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力F2min=mgsinα。
　　也可用解析法分析力矢量三角形。根据正弦定理有 F2/sinα=mg/sinβ。
　　所以F2=mgsinα/sinβ。
　　mgsinα是定值，
F2随sinβ变化而变化。
　　当β<90°时，
β↑→sinβ↑→F2↓，
　　当β>90°时，
β↑→sinβ↓→F2↑，
　　所以当β=90°时，
F2有最小值F2min=mgsinα。
例4、如图所示，长为5m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B。绳上挂一个光滑的 　　 轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体。平衡时，绳中的张力T=_______。
能力·思维·方法
解析：
　　该题属于典型的三角形相似关系的应用。因挂钩光滑，所以AO的张力必等于BO的张力，设BO=x，AO=5－x，OD=y，CO=4－y（如图所示）。因为TA=TB，则α=β，由相似三
角形对应边成比例，则 导出 。由2Tsinα=G，可得出TA=TB=10（N）。题中关键一点在于BOA是一根绳子，所以始终有TA=TB（和O点是结点完全不同）。分析时应特别注意这些隐含条件。
例5、将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成30°角，试讨论：
（1）另一个分力的大小不会小于多少？
（2）若另一个分力大小是， 则已知方向的分力的大小是多少？
能力·思维·方法
解析：
　　（1）根据已知条件可作出图（a），合力F与它的两个分力要构成一个三角形，F的末端到直线OA的最短距离表示那个分力的最小值，即过F末端作OA的垂线，构成一个直角三角形，如图（b）所示，由几何关系知F2=10N。
　　（2）当另一个分力 时，由于 根据力的三角形法则，可以组成两个不同的三角形，如
图（c）所示，根据正弦定理 和
∠A＋∠B＋∠C=180°，可求出