(共71张PPT)
初二年级
数学
菱
形
的
判
定
研究图形的一般思路
定义
性质
判定
矩形
一个角是直角
定义
性质
判定
菱形
一组邻边相等
边
角
对角线
定义
性质
判定
平行四边形
性质定理
发现
猜想
证明
互逆关系
逆命题
判定定理
回顾反思，类比猜想
矩形的判定方法
矩形
平行
四边形
一个角是直角
对角线相等
四边形
对角线相等且互相平分
三个角是直角
矩形的判定方法
矩形
对角线相等且互相平分的四边形
对角线相等的平行四边形
对角线
有一个角是直角的平行四边形
有三个角是直角的四边形
角
探究菱形的判定方法
四边形
平行
四边形
菱形
探究判定，深化认知
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
∵
四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
AB=BC，
∴
四边形ABCD是菱形.
探究菱形的判定方法
四边形
平行
四边形
菱形
一组邻边相等
前提条件是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的对角线互相垂直.
题设
结论
猜想
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在
ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，且AC⊥BD.
求证：
ABCD是菱形.
A
B
D
C
O
A
B
D
分析：要证
ABCD是菱形
O
一组邻边相等
+
平行四边形
证明DA
=
DC
C
O
OA
=
OC
AC⊥BD
BD垂直平分线段AC
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
OA
=
OC.
∵
AC⊥BD，
∴
DA
=
DC.
又
四边形ABCD是平行四边形，
∴
ABCD是菱形.
A
B
D
O
C
O
菱形的判定定理：
在
ABCD中，
∵
AC⊥BD，
∴
ABCD是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
O
探究菱形的判定方法
四边形
平行
四边形
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
边
对角线
菱形的四条边都相等.
四条边相等的四边形是菱形.
题设
结论
猜想
四条边相等的四边形是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，在四边形ABCD中，
AB
=
BC
=
CD
=
AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
一组邻边相等
+
平行四边形
AB
=
BC
AB
=
CD，BC
=
AD
A
B
C
D
证明：∵
AB
=
BC
=
CD
=
AD，
∴
AB
=
CD，
BC
=
AD.
∴
四边形ABCD是平行四边形.
又
AB
=
BC，
∴
四边形ABCD是菱形.
菱形的判定定理：
四条边相等的四边形是菱形.
∵
AB
=
BC
=
CD
=
AD，
∴
四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）四条边相等的四边形是菱形；
（定义）
（判定定理）
（判定定理）
探究菱形的判定方法
菱形
平行
四边形
一组邻边相等
对角线互相垂直
四边形
四条边相等
边
对角线
边
对角线互相垂直平分
对角线
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
对角线
边
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线
平分一组对角.
菱形的特殊性质：
思考：下面的命题是真命题吗？
（2）对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.
（1）对角线平分一组对角的四边形是菱形；
A
B
C
D
(假命题）
思考：下面的命题是真命题吗？
（1）对角线平分一组对角的四边形是菱形；
（2）对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.
已知：如图，在
ABCD中，对角线AC平分∠DAB.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AB//CD.
∴
∠BAC
=∠DCA.
A
B
D
C
∵
AC平分∠DAB
，
∴
∠DAC
=∠BAC.
∴
∠DAC
=∠DCA.
∴
DA
=
DC.
∴
四边形ABCD是菱形.
A
B
D
C
(假命题）
(真命题）
思考：下面的命题是真命题吗？
（2）对角线平分一个内角的平行四边形是菱形.
（1）对角线平分一组对角的四边形是菱形；
应用练习，巩固知识
例
如图，
ABCD的对角线AC，BD
相交于点O，且AB
=
5，AO
=
4，BO
=
3.
求证：
ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
A
B
O
3
4
5
AC⊥BD
ABCD
+
证明：∵
AB
=
5，AO
=
4，BO
=
3，
∴
.
∴
△OAB是直角三角形.
∴
AC⊥BD.
∴
ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
例题小结
勾股定理
的逆定理
直角
三角形
直角
菱形
三角形
例
如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，
BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是菱形.
B
C
F
A
D
E
AE∥BF，AC平分∠BAD.
分析：
O
AE∥BF，AC平分∠BAD.
例
如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，
BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是菱形.
分析：
2
1
3
∠1
=∠2
∠1
=∠3
∠2
=∠3
AB
=
BC
BC
=
AB
=
AD
同理AB
=
AD
A
D
E
O
B
C
F
分析：
BC
=
AB
=
AD
AE∥BF
AC平分∠BAD
BD平分∠ABC
求证：四边形ABCD是菱形.
AD∥BC
方法1
AD
=
BC
ABCD
AB
=
BC
B
C
F
A
D
E
O
B
C
F
A
D
E
O
方法2
①AE∥BF
②AC平分∠BAD
③BD平分∠ABC
④BC
=
AB
=
AD
④BC
=
AB
=
AD
A
D
E
O
①AE∥BF
②AC平分∠BAD
③BD平分∠ABC
方法2
B
C
F
AC⊥BD，
OA
=
OC
OB
=
OD
B
C
F
A
D
E
O
①AE∥BF
②AC平分∠BAD
③BD平分∠ABC
AC⊥BD，
OA
=
OC
ABCD
菱形ABCD
方法2
④BC
=
AB
=
AD
B
C
F
A
D
E
O
①AE∥BF
②AC平分∠BAD
③BD平分∠ABC
方法3
④BC
=
AB
=
AD
A
④BC
=
AB
=
AD
B
C
F
D
E
O
①AE∥BF
②AC平分∠BAD
③BD平分∠ABC
2
1
AC⊥BD，
OA
=
OC
BD是线段AC的垂直平分线
AD
=
CD
BC
=
AB
=
AD
=
DC
菱形ABCD
方法3
方法总结：
方法1
方法2
方法3
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
证明菱形
先证明平行四边形
四边形
（对角线互相垂直平分）
平行四边形
+
平行四边形
+
证明：∵
AE∥BF，
∴
∠1
=∠2.
∵
AC平分∠BAD，
∴
∠1
=∠3.
∴
∠2
=∠3.
∴
AB
=
BC.
A
D
E
O
B
2
1
3
C
证明：同理
AB
=
AD.
∴
AD
=
BC.
∵
AD∥BC，
∴
四边形ABCD是平行四边形.
又
AB
=
AD，
∴
四边形ABCD是菱形.
A
D
E
O
B
2
1
3
C
例题小结
等腰三角形
三线合一的性质
角平分线
+平行线
等腰三角形
证明菱形
线段的垂直
平分线的性质
证明线段相等或
垂直关系的方法
例
如图，在菱形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，连接DE，DF，BE，BF.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若∠DAB
=
60°，
AC
=
6，
求菱形DEBF的面积.
A
B
C
D
E
F
例
如图，在菱形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，连接DE，DF，BE，BF.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
四边形DEBF
是平行四边形
四边形
A
B
C
D
E
F
边
对角线
A
D
分析：
菱形ABCD
B
C
E
F
点E，F将对角线AC三等分
方法1
AE
=
EF
=
CF
1
2
3
4
∠1
=∠2
=∠3
=∠4
AB
=
BC
=
CD
=
AD
分析：
菱形ABCD
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
AB
=
BC
=
CD
=
AD
∠1
=∠2
=∠3
=∠4
点E，F将对角线AC三等分
AE
=
EF
=
CF
△AED≌△AEB≌△CFD≌△CFB
DE
=
BE
=
DF
=
BF
四边形DEBF是菱形
方法1
D
分析：
菱形ABCD
A
B
C
E
F
点E，F将对角线AC三等分
AE
=
CF
方法2
连接BD，
交AC于点O
O
AC⊥BD，OB
=
OD，OA
=
OC
四边形DEBF是菱形
垂直
平分
平分
OE
=
OF
证明：连接BD，交AC于点O.
∵
四边形ABCD是菱形，
∴
AC⊥BD，OB
=
OD，OA
=
OC.
∵
点E，F将对角线AC三等分，
∴
AE
=
CF.
∴
OE
=
OF.
A
B
C
D
E
F
O
证明：∵
AC⊥BD，OB
=
OD，OE
=
OF，
∴
四边形DEBF是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半.
A
B
C
D
E
F
O
例
如图，在菱形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，连接DE，DF，BE，BF.
（2）若∠DAB
=
60°，
AC
=
6，
求菱形DEBF的面积.
例
如图，在菱形ABCD中，∠DAB
=
60°，点E，F将对角线AC三等分，且AC
=
6，连接DE，DF，BE，BF.
（2）求菱形DEBF的面积.
A
B
C
D
E
F
O
分析：
求出EF，BD的长度
A
B
C
D
E
F
O
分析：
在菱形ABCD中，∠DAB
=
60°
A
B
C
D
E
F
O
分析：
在菱形ABCD中，∠DAB
=
60°
A
B
C
D
E
F
O
A
D
O
30°
3
分析：
在菱形ABCD中，∠DAB
=
60°
BD
=
2
点E，F将对角线AC
三等分，且AC
=
6
EF
=
AC
=
2
解
：
∵
四边形ABCD是菱形，
∴
AC⊥BD，
OA
=
AC，BD
=
2OD，∠DAC
=
∠DAB.
∵
AC
=
6，∠DAB
=
60°，
∴
OA
=
3，∠DAC
=
30°.
在Rt△AOD中，OA
=
3，∠DAC
=
30°，
∴
AD
=
2OD.
A
B
D
C
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
解：设OD长为x
，则AD
=
2x
，根据勾股定理，
解得x
=
.
∴
OD
=
.
∴
BD
=
2OD
=
2
.
A
B
C
D
E
F
O
解：∵
点E，F将对角线AC三等分，
∴
EF
=
AC
=
2.
∴
.
例题小结
菱形
边
角
对角线
性
质
判
定
平行四边形
矩形
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
课堂小结
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
课堂小结
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
课堂小结
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
课堂小结
菱形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
课堂小结
三个角是直角的四边形
一个角是直角的平行四边形
四条边相等的四边形
一组邻边相等的平行四边形
矩形判定方法
菱形判定方法
角
边
对角
线
对角
线
（对角线互相垂直平分的四边形）
对角线相等的平行四边形
（对角线相等且互相平分
对角线互相垂直的平行四边形
的四边形）
平行
四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
对角线相等
一组邻边相等
对角线互相垂直
两组对边分别平行
两组对角分别相等
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别相等
对角线相等且互相平分
对角线互相垂直平分
研究图形的一般思路
平行四边形
一个角是直角
一组邻边相等
矩形
菱形
互
逆
一般
特殊
类比
边
角
对角线
定义
性质
判定
1.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长
分别是12和
，这是一个特殊的平行四边形吗？
为什么？求出它的面积.
布置作业
2.如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，
AD上，且BM
=
DN，
MG∥AD，
NF∥AB；点F，
G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.
求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形.
A
B
C
D
M
N
F
G
E
同
学
们
再
见！教
案
教学基本信息
课题
菱形的判定
学科
数学
学段：
第三学段
年级
八年级
教材
书名：数学
八年级下册
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2013年
9月
教学目标及教学重点、难点
本节课类比矩形判定方法的学习，探索并证明菱形的判定定理.通过经历判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，发展学生的合情推理和演绎推理的能力.通过3道例题的学习，巩固菱形的判定方法.
教学过程
教学环节
主要教学活动
设置意图
提出问题，引发思考
1.同学们还记得之前我们是如何探索平行四边形和矩形的判定方法的吗？
2.矩形的判定方法是什么？这些判定方法之间的关系是什么？
回忆平行四边形和矩形的判定方法的学习，为探究菱形的判定方法做铺垫.
探究判定，深化认知
1.回忆菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.这是判定菱形的一种方法.
2.启发学生探究菱形的性质定理的逆命题，证明逆命题的正确性，从而得到菱形的判定定理.
（1）猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD.
求证：ABCD是菱形.
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
OA
=
OC.
∵
AC⊥BD，
∴
DA
=
DC.
又
四边形ABCD是平行四边形，
∴
ABCD是菱形.
（2）猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB
=
BC
=
CD
=
AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵
AB
=
BC
=
CD
=
AD，
∴
AB
=
CD，
BC
=
AD.
∴
四边形ABCD是平行四边形.
又
AB
=
BC，
∴
四边形ABCD是菱形.
3.总结菱形的4种判定方法
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形；
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
分析菱形的四种判定方法之间的关系：
通过发现，猜想，证明的过程，探究菱形的判定定理.
为了使学生更好的理解记忆菱形的判定方法，分析它们之间的关系.从判定的前提看，可以从平行四边形出发，也可以从四边形出发进行判断；从判定的条件看，有两个判定方法是关于边的描述，有两个判定方法是关于对角线的描述.
应用练习，巩固知识
例
如图,ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB
=
5，AO
=
4，BO
=
3.求证:ABCD是菱形.
例题小结：本题利用勾股定理的逆定理得到一个直角三角形，从而有了直角，产生了对角线互相垂直的关系，这样就可以判定一个平行四边形是菱形.再次体会了三角形与菱形之间相互转化的关系.
例
如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，
BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD.
求证：四边形ABCD是菱形.
例题小结：
1.启发学生用多种方法解决此题，从而体会菱形这几种判定方法的灵活使用.
2.总结一些基本图形在菱形中的应用.
例
如图，在菱形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，连接DE，DF，BE，BF.
（1）求证：四边形DEBF为菱形；
（2）若∠DAB
=
60°，
AC
=
6，求菱形DEBF的面积.
例题小结：本题先由一个菱形出发，根据它的性质特点，关注这个菱形的边，角，对角线的特征，从而挖掘出了一些线段以及一些角之间的关系.条件重新组合，再次从边，角，对角线的角度出发，可以继续判定一个新的四边形是菱形.因此在解决问题的时候，无论是菱形的性质，还是判定，都是在关注它的边，角，对角线的特征，平行四边形和矩形也是一样的思路.
通过三道例题，巩固菱形的判定方法，学会根据已知条件的不同特点，选择恰当的判定方法.
课堂小结
1.总结菱形的判定方法.
2.对比平行四边形与矩形、菱形它们的判定方法之间的区别与联系.
3.回顾平行四边形与矩形、菱形的研究方法，体会其中蕴含的数学思想.
使学生体会从一般到特殊的研究图形的一般思路，感悟转化和化归等数学思想方法的运用.
课后作业
1.
一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长
分别是12和，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
2.
如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，
AD上，且BM
=
DN，
MG∥AD，
NF∥AB；点F，G
分别在BC，CD上，MG与NF
相交于点E.
求证：四边形AMEN，EFCG都
是菱形.
巩固课堂学习的内容.
