人教版数学九年级上册21.1一元二次方程（拔高版） 教案（习题无答案）

第21章第1节
一元二次方程的相关概念
辅导科目
数学
年
级
九年级
教材版本
人教版
讲义类型
拔高版（适用于考试得分率高于80%的学员）
教学目的
1．理解一元二次方程的概念，能判断一个方程是否是一元二次方程；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确认识一元二次方程的项和系数；3.
理解一元二次方程根的概念.
重、难点
重点：一元二次方程的概念、一般形式及根难点：正确理解一般式中的“项”及“系数”
授课时长
建议授课时长2小时
教学内容
【课程导入】根据下面的问题,设一个未知数,列出方程,不需解方程.（1）：若一个正方形花坛的面积为64m?,则正方形的边长为多少m？
解：设正方形的边长为
x
m.x?
=
64.（2）某小区计划在楼间空地建造一个面积为120m?的长方形绿地,且长比宽多10m,那么这个长方形绿地的宽为多少m？
解：设长方形绿地的宽为
x
m,则长为（x+10）m.x（x+10）
=
120.通过类比一元一次方程一般形式（ax
+
b
=
0）,对下面所得方程进行整理.
（1）
x?
=
64；
（2）x（x
+
10）
=
1200.
x?
–
64
=
0；
x?
+
10x
–
1200
=
0.上述两个方程有什么共同特点？(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数是2；
(3)整式方程．【新知讲解】※知识点一：一元二次方程的定义与一般形式1.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2.
一元二次方程的一般形式是，其中ax?是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．题型一：根据定义直接判断一个方程是否是一元二次方程◎例题1.
下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）◎练习1.
判断下列各式哪些是一元二次方程？
（1）
（2）x2+2x+3
（3）-3=0
（4）3x-+6=0
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）2.
判断下列各式哪些是一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）题型二：将一元二次方程化为一般形式，并判断二次项以及系数、一次项以及系数、常数项指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要带上前面的符号。◎例题1.
方程化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（
）A．2，3，-6
B．2，-3，18
C．2，-3，6
D．2，3，62.
将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）3x?+2=5x
（2）4x?﹣5x=10
（3）8x﹣21=x?
（4）（x+1）（x﹣1）=2x
（5）4x（x﹣1）=5（x+2）
（6）（x﹣2）?=6x?+4◎练习1.
将一元二次方程化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．4，3
B．4，7
C．4，﹣3
D．4x2，﹣3x2.
把一元二次方程化成一般形式其中a、b、c分别为
A．2、3、﹣1
B．2、﹣3、﹣1
C．2、﹣3、1
D．2、3、13.
将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数以及常数项。
（1）3x?﹣2=x
（2）2y（4y+3）=13
（3）（x+2）（x﹣2）=3x?+2x
（4）x（x﹣a）=a（2x?+x）4.
写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）x?+3x+2=0；
（2）x?﹣3x+4=0；
（3）3x?﹣5=0；
（4）4x?+3x﹣2=0；
（5）6x?﹣x=0．题型三：判定一个方式是否是一元二次方程
a≠0是保证一元二次方程有意义的条件，判定一个方程是不是一个一元二次方程需要先化为一般形式再根据三个条件判定；◎例题下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）
（2）
（3）（4）
（5）
（6）◎练习1.
下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）4
（2）
（3）（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）ax?﹣5x+3=0
2.
下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）ax?+x=0
（2）ax?+2x﹣1=0
（3）x?+1=（x+1）（x﹣3）（4）x（x+3）=x?﹣1
（5）x（x+2）-x?=0
（6）（2x﹣1）?=4x（x﹣2）（7）（x+1）?=2（x+1）
（8）（2x+1）（x﹣3）=1
（9）5（x+1）=7?题型四：求一元二次方程中的字母参数1.
需要同时满足：①；②二次项次数为2。2.
当某一项为零时，需要满足：①该项为零；②。◎例题1.
若（k﹣1）x?﹣2kx﹣1=0是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是（　　）
A．k≠﹣1
B．k≠1
C．k≠0
D．k≥12.关于x的一元二次方程常数项为0，则m值等于（　　）
A．1
B．4
C．1或4
D．03.
若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　　　　　　。4.
关于x的方程。
（1）在什么条件下是一元一次方程？
（2）在什么条件下是一元二次方程？◎练习1.
关于x的方程是一元二次方程的条件为（　　）
A．m≠1
B．m≠﹣1
C．m≠1
或
m≠﹣1
D．m≠1且
m≠﹣12.
关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是　　　　　。3.
关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为________。4.
若一元二次方程的常数项为0，则的值是
________。5.
已知关于的一元二次方程不含一次项，则a的值是______。6.
已知关于x的方程
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程；
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程。7.
若方程是关于x的一元二次方程，
（1）求m的值；
（2）写出关于x的一元二次方程。§知识小结
※知识点二：一元二次方程的根1．使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．2．将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根．3.代入法是常用的检验根的方法；代入方程的根，可以求方程中的未知字母系数或字母常数值。4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)必有一根为0.5.
对于一元二次方程ax?+bx+c=0(a≠0)的解的估算，当某个x的取值使代数式
ax?+bx+c的值等于0或接近于0时，这个x的值就是一元二次方程的近似解。题型一：判定一元二次方程的解
代入验证：左边=右边，即可。◎例题1.
方程的解为（
）A.
B.
C.
D.2.
关于x的方程必有一个根为（　　）
A．
B．
C．
D．◎练习1.
一元二次方程的解是
（
）
A．，
B．，
C．，
D．，2.
下列哪组数是方程x?+x﹣6=0的根是（　　）
A.﹣3和2
B．﹣3和﹣2
C．﹣2和3
D．2和33.
方程的一个根为（
）
A
B
1
C
D
题型二：已知某一根求字母参数1.
已知某一根，常用代入法，来解未知字母的值；2.
遇到求值的过程中，对字母讨论时，保证。◎例题1.
关于的一元二次方程有一根为0，则的值为（
）
A．
1
B．
－1
C．
1或－1
D．
2.
当m为何值时，关于x的一元二次方程（m﹣2）x?+x+m?﹣4=0有一个根是0（　　）A．m=2
B．m≠2
C．m=±2
D．m=﹣23.
已知关于的方程的一个解与方程的解相同。则=
。
4.
已知关于的一元二次方程
有一个根是0，则=
。◎练习1.
若0是关于的一元二次方程的一根，则的值为（　　）
A．1
B．0
C．1或2
D．22.
若关于x的一元二次方程（a+1）x?+x﹣a?+1=0有一个根为0，则a的值等于（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．1或者﹣13.
已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x?+3x+k?﹣1=0有一根为0，则k=（　　）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．04.
关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值为
。5.
已知关于的一元二次方程有一个解是0，则为______。6.
如果a是一元二次方程的一个根，-a是一元二次方程的一个根，那么a的值是（
）
A.
1或2
B.
0或
C.
或
D.
0或3题型三：给定式子求方程的根观察所给式子中b的系数，一般b前的系数即为代入x值。◎例题已知关于的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为
。◎练习1.
一元二次方程ax?+bx+c=0，若25a﹣5b+c=0，则它的一个根是（　　）
A．﹣7
B．5
C．﹣5
D．22.
一元二次方程ax?+bx+c=0，若4a+2b+c=0，则它的一个根是（　　）
A．﹣1
B．3
C．﹣4
D．23.
一元二次方程ax?+bx+c=0，若36a﹣6b+c=0，则它的一个根是（　　）
A．﹣6
B．6
C．﹣4
D．2题型四：求代数式的值1.
整体代入：适用于已知一个现成的一元二次方程；2.
赋值后代入：适用于已知方程的一根，代入，变形求值。◎例题1.
m是方程x?+x﹣1＝0的根，则式子m?+2m?+2028的值为（　　）A．2027
B．2028
C．2029
D．20302.
已知x=1是方程ax?+bx﹣6=0（a≠0）的一个解，若a≠b，则的值为（　　）
A．﹣3
B．3
C．﹣6
D．63.
已知a?﹣3a+1=0，求下列各式的值：
（1）2a?﹣6a﹣3；
（2）；
（3）。◎练习1.
已知是方程的两根，且则的值等于（　　）
A.-5
B.5
C.-9
D.92.
如果不为零的n是关于x的方程的根，那么m-n的值为（
）
A．-
B．-1
C．
D．13.
已知a是方程x?﹣2x﹣3=0的根，则代数式a（a+1）?﹣a（a?+a）﹣3a﹣2的值为_____。4.
已知k是方程（3x+1）(x-1)=0的一个根，则代数式（k﹣1）?+2（k+1）（k﹣1）+7的值为_____。5.
已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）；6.
已知a是方程x?﹣5x﹣1=0的一个根，求下列各式的值：
（1）a?﹣5a﹣1
（2）7.
已知m是方程x?﹣2024x+1=0的一个根，求代数式的值。§知识小结
※知识点三：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
◎例题1.
摄影兴趣小组的学生，将自己摄影的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了90张，若全组有x名学生，则根据题意列出的方程是_____________________.2.
根据题意，列出方程：有一面积为54m?的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？◎练习1.
从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．2.
根据下列问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般式（1）一个矩形的长比宽多1cm，面积是132cm?，矩形的长和宽各是多少?（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会?（3）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？§知识小结
【课堂检测】1.
若是关于x的一元二次方程，则(
)
A．p≠1
B．p≠0且p≠1
C．p≠0
D．p≠0且p≠12．如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（　　）
A．3
B．-3
C．0
D．13．已知m是方程的一个根，则代数式的值等于(
)
A．-1
B．0
C．1
D．24．若，是方程的两根，则的值是
(
)A．8
B．
4
C．2
D．05．若为方程式的一根，为方程式的一根，且、都是正数，则之值为何?(
)A．5
B．6
C．
D．6．已知方程有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是(
)
A．ab
B．
C．a+b
D．a-b7.
若x=2是方程x2﹣mx﹣6=0的一个解，则m的值为（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣3
D．28.
已知关于x的一元二次方程2x2﹣3kx+4=0的一个根是1，则k的值为（　　）
A．4
B．2
C．﹣2
D．﹣49.
若一元二次方程2x2﹣mx﹣6=0的一个根为2，则m的值为（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣210.
已知x=1是一元二次方程x2﹣2ax+1=0的一个根，则a的值是（　　）A．
B．0
C．2或﹣2
D．111.
方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（　　）．
A．0
B．1
C．2
D．
312.
若是一元二次方程，则不等式的解集应是(
).
A．
B．a＜-2
C．a＞-2
D．a＞-2且a≠013.
已知关于x的一元二次方程有一个非零根-b，则的值为（　　）
A．1
B．-1
C．0
D．-214.
若是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式1015(a-b+c+2)的值为（
）A．1015
B．2029
C．2030
D．203215.
已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（
）
A．
B．
C．
D．16.
已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m的值为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．817.
已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+2的值等于（　　）
A．4
B．1
C．0
D．﹣118.
已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是(
)．A．ab
B．
C．a+b
D．a-b19.
若，则的值为（
）．A．1
B．-5
C．1或-5
D．020.
若a为方程x2+x﹣5=0的解，则a2+a+1的值为（　　）
A．12
B．6
C．9
D．1621.
设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2026的值为（　　）
A．2026
B．2028
C．2030
D．203122.对于形如的方程，它的解的正确表达式是（
）.A．用直接开平方法解得
B．当时，
C．当时，
D．当时，23.
若m（m≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+m=0的根，则m+b的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣224.
已知m是方程x2﹣2026x+1=0的一个根，则的值为（　　）
A．2026
B．2025
C．
D．25.
若是方程的一个实数根，则的值为_____。26.
已知x=1是一元二次方程的一个根，则的值为_____。27.
若是关于的方程的根，则的值为_____。28．如果关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是
.29．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0的常数项为0，则m的值等于
.30．已知x＝1是一元二次方程的一个根，则的值为________．31．(1)当k________时，关于x的方程是一元二次方程；
(2)当k________时，上述方程是一元一次方程．32.
已知是关于x的方程x2﹣x+a=0的一个根，则的值为_____.33.已知x=－2是方程x2－mx+2=0的根，则
=
.34.根据题意，列出方程：（1）一个两位数，两个数字的和为6，这两个数字的积等于这个两位数的，设这个两位数的个位数为x，可列出关于x的方程为
.（2）有一个面积为20cm?的三角形，它的一条边比这条边上的高长3cm，设这条边的长度为x，可列出关于x的方程为
.【课堂总结】
尝试画出本次课所学知识结构图。【课后作业】1.
下列方程中，是一元二次方程的是（
）
A．
B．
C．
D．2.
下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.
下列方程中，关于x的一元二次方程是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
下列方程中，关于的一元二次方程是（
）
A.
　B.　
C.
　C．5.
下列方程中，关于x的一元二次方程是
（　　）
A.
B.
C.
D.6.
下列方程是不完全的一元二次方程的是（
）
A.
B.
C.
D.
7.
要使方程（a-3）+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（
）
A．a≠0
B．a≠3
C．a≠1且b≠-1
D．a≠3且b≠-1且c≠08.
若方程是关于x的一元二次方程，则（
）
A．
B．m=2
C．m=
—2
D．9.
方程的常数项是（
）
（A）5
（B）3
（C）-3
（D）0
10.
方程化成一般形式，并写出a，b，c的值是（
）。
（A）2，3，4
（B）4，5，6
（C）2，-6，-3
（D）2，3，611.
，当m=______时，方程为关于x的一元一次方程；当m_____时，方程为关于x的一元二次方程12.
当为
时，方程是一元二次方程.13.
一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x?+1的一般形式是
它的二次项系数是
；一次项系数是
；常数项是
.14.
关于的方程是一元二次方程，则
；15.
关于的方程是一元二次方程，则
；16.
若a+bx+c=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是________．17.
若（m+1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_______．18.
若（m-1）+2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_______．19.
当
时，方程是一元二次方程.
20.
当
时，关于x的方程是一元二次方程.21.
当d
时，关于x的方程是一元二次方程。22.
若关于x的方程（a﹣1）=1是一元二次方程，则a的值是　　　　。23.
若关于x的方程﹣3x+2=0是一元二次方程，则a的值为　　　　。24.
已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　　　　。25.
（m+2）x|m|+4x+3m+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　　　　。26.
若方程（m﹣2）x|m|+4mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为　　　　。27.
若（m﹣2）x|m|=5是一元二次方程，则m的值为　　　　。28.已知方程的一个根是1，则的值是
。
29.
若关于的方程的一个根是0，则=
。
30.
如果2是一元二次方程的一个根，那么常数的值为
．31.
已知关于的方程的一个根是1，则=
。
22.
已知关于的一元二次方程的一个根是1，则=
。
23.
若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，求a3+的值为　
　.24.
已知x=1是一元二次方程ax2+bx﹣20=0的一个解，且a≠b，则的值为_____.25.
已知a是方程的根，则的值为_____.26.
判断下列方程是否是关于x的一元二次方程
（1）（
）
（2）（
）
（3）（m为实数）（
）
（4）（
）
（5）（
）
（6）+=（
）
（7）（
）
（8）（
）27．若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m＝4的常数项为0，求m的值．28.
若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，求的值．29.
已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b，则求a-b的值30．若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2＝0的一个实数根．（1）求a的值；（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）?（m﹣+1）的值．31．已知方程x2﹣3x+1＝0（1）求x﹣
的值（2）若a为方程x2﹣3x+1＝0一个根，求2a2﹣6a+2027的值．32.
阅读下列材料：
（1）关于x的方程（x≠0）方程：
方程两边同时乘以得：，即
（2）
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则=　　，=　　，=　　；
（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求的值。33.
阅读下列例题的解题过程，给出问题的解答。
例题：已知x2﹣3x+1=0，求x3﹣2x2﹣2x+50的值。
解：∵x2﹣3x+1=0
∴x2=3x﹣1，x3=3x2﹣x
∴x3﹣2x2﹣2x+50=（3x2﹣x）﹣2x2﹣2x+50
=x2﹣3x+50=（3x﹣1）﹣3x+50=49
请参照例题的解题方法，解决以下问题：已知a2﹣4a﹣2=0，求a3﹣3a2﹣6a+30的值。34.
已知m是方程x2﹣2x﹣5=0的一个根，求m3﹣2m2﹣5m﹣9的值。35.
设α是一元二次方程x2﹣8x﹣5=0的一个正根，求α3﹣7α2﹣13α+6的值。36.
已知a是方程的根，求的值．37.
已知m、n都是方程x?+2030x-2031=0的根，试求代数式(m?+2030m-2030)(n?+2030n+1)的值．38.
已知△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝6，为实数，且，．(1)求x的值；(2)若△ABC的周长为10，求△ABC的面积．30.【解答】解：（1）a＝±3；（2）4．
31.【解答】解：（1）±；（2）2025．